精品解析：山西省晋城市多校2024-2025学年高二上学期期中测评考试数学试题

2024—2025学年度高二年级第一学期期中测评考试试题 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：（）恒过定点，则该定点为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一组基底，是空间的另一组基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在过点且斜率为的直线上，的中点在上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则的面积为 11. “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，且共面，则______． 13. 已知平面内点，，平面内满足的动点的轨迹方程为______．（化简成最简形式） 14. 已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． （1）试用，，表示向量； （2）已知，，且，若，求的值． 16. 已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相切，求的值． 17. 如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面． （1）试确定点具体位置； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． （1）求的方程； （2）点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 19. 阅读材料：1．，是平面内两点，把这两点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，即，，若直线的斜率存在，则，，即；2．把圆上所有点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的（），或者把圆上所有点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的（），可以得到椭圆．即圆通过“拉伸”或“压缩”得到椭圆．阅读上述材料，并应用材料提供方法解决下面问题： （1），，是平面内不共线三点，把这些点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，得到点，，，，的面积分别记为，，求证； （2）若直线：与椭圆：交于，两点，且，问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由； （3）已知椭圆：的右焦点为，椭圆的左，右顶点分别为，，过的直线交椭圆于，，直线，的斜率分别为，，求证为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高二年级第一学期期中测评考试试题 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出该直线的斜率后即可得其倾斜角. 【详解】，设倾斜角为，则， 又，所以． 故选：D. 2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程化到一般方程，再作选择即可. 【详解】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为， 展开化为一般方程为． 故选：B． 3. 已知直线：（）恒过定点，则该定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程变形为，令，即可求解. 【详解】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：. 4. 若是空间的一组基底，是空间的另一组基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底的概念判断每一个选项即可. 【详解】，是空间的两组基底， 所以，，不共面，，，不共面，设， 当时， 即时，不能作为基底． 对于A，，，，，此时，，故不能作为基底； 对于B，，，，，此时，，故不能作为基底； 对于C，，，，，此时，无解，故可以作为基底； 对于D，，，，，此时，，故不能作为基底． 故选：C 5. 如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出点A坐标以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则可取， 则点到平面的距离为． 故选：B. 6. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何关系以及双曲线的对称性求解. 【详解】由题意，, 又为的中点，所以在△中，． 如图所示，设与平行的渐近线交于点，即，, 由双曲线的对称性可知，所以，所以． 因此为等边三角形，即， 可得直线的斜率为，则的渐近线方程为． 故选：. 7. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在过点且斜率为的直线上，的中点在上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可由几何关系得，从而得出直线OQ方程，再由表示出Q点坐标，再由Q在椭圆上代入Q点坐标，可得到关于离心率e的关系式，从而求得离心率. 【详解】如图所示， 由的中点为坐标原点，的中点为点，可知， 所以的斜率为，直线， 又，所以Q横坐标，故， 代入可得，联立， 得， 化简得，两边同除以， 得，解得，所以． 故选：B. 8. 已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析得到点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，设圆关于的对称圆为圆，转化为两圆上的点，的距离的最小值，由于两圆外离，点到的距离的最小值的两倍即为所求，得到答案. 【详解】点，的“对称距离”， 相当于点关于直线：的对称点与点的距离， 所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上， 又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值， 也即点到的距离的最小值的两倍， 其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即， 所以所求最小值为． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理可判断三向量共面和四点共面，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定能判断线面平行，还有可能线在面内，利用投影向量的定义来计算出结果. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以或，B错误； 对于C选项，对空间中任意一点，有， 则， 整理得，， 由此可得有公共点的三向量共面，即，，，四点共面，C正确； 对于D选项，则在方向上的投影向量为 ，D正确． 故选：ACD. 10. 已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出双曲线的两渐近线，数形结合得到的取值范围；B选项，根据，推出；C选项，由双曲线定义得到，求出，从而得到；D选项，由双曲线定义得到，结合余弦定理得到方程组，求出，求出三角形面积. 【详解】对于A，根据的渐近线方程为， 直线经过且与的右支交于，两点， 结合图象可得，所以A错误． 对于B，由题意得，解得，故， 在中，为的中点，且， 故， 因为， 所以，所以，所以B正确． 对于C，， 下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小， 设右支上的点为，， 则， 故随着的增大，增大， 由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时， 最小（不能达到）， 不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得， 所以， 则，所以C正确． 对于D，由，两边平方得①， 在中由余弦定理得， 即②，所以②－①得， 所以的面积为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】要利用向量的外积的定义，可知外积向量的方向是要依据右手法则，所以外积两向量没有交换律，若外积的两个向量交换，则外积向量取反向，理解后就可以作出各选项判断. 【详解】对于A，根据外积定义可得， 又，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反， 即，C错误； 对于D，，根据定义得与反向，， 所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，且共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据共面，结合空间向量共面定理先求出x的值，再计算的值. 【详解】共面，则存在非零实数，满足， 则 即解得 所以，则， 所以． 故答案为：. 13. 已知平面内点，，平面内满足的动点的轨迹方程为______．（化简成最简形式） 【答案】 【解析】 【分析】设坐标为，由题意得，化简得到答案. 【详解】设坐标为，由题意得， 变形为，两边平方得 ， 化简得， 两边平方得， 化简得. 故答案为： 14. 已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则______． 【答案】2或18 【解析】 【分析】由抛物线的定义求得坐标，代入抛物线方程即可求解. 【详解】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 故答案为：2或18 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． （1）试用，，表示向量； （2）已知，，且，若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由可得， 即， 即， 即， 即，． 16. 已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相切，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意先根据圆心在直线l上并且与坐标轴相切求出圆心坐标和半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程. （2）讨论两圆内切和外切的情况，利用两圆相切圆心距与两圆半径的关系可得到关于a的关系式，进而求出a的值. 【小问1详解】 由圆与两坐标轴都相切可知，圆的圆心在直线或上， 又直线与直线平行，所以圆心在直线上． 联立，可得圆心，半径， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意：， 可得圆心，半径， 所以． 当两圆外切时，，解得， 当两圆内切时，，解得． 综上，的值为或． 17. 如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面． （1）试确定点具体位置； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）是的中点． （2）． 【解析】 【分析】（1）过作交于，通过说明四边形是平行四边形，即可求解； （2）建系，求得两平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 ，， 又平面，平面，， 又，都在平面内，平面，． ，，即在线段上，过作交于， 又，，即，且． 平面，则平面与平面交于，且点在上， ，平面， 平面平面，． 又，四边形是平行四边形 ，是的中点． 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 由，得， 所以， 设为平面的一个法向量， 则取，可得：，则， 平面的法向量可取为， 所以 即二面角的余弦值为． 18. 已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． （1）求的方程； （2）点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【答案】（1） （2） 如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为， 设为，与联立消去整理得 ， 由， 整理得， 设两条切线，的斜率分别为，，则． ①因为，， 直线的方程为，则， 所以， 故是的中点． ②由题意，，，， 所以，， 由，得， 所以， 得证． 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的几何性质，分别得出c的取值、的长度表达式，根据题意建立等量关系从而求出a，b，c的值，最终得到双曲线的标准方程. （2）根据题意设出点B坐标，以及过B点与双曲线相切的直线方程，可得P，Q纵坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得出两条切线斜率的关系，再表示出直线BF方程，可表示出R点坐标，进而结合中点坐标公式证得是的中点；同样可表示出坐标，进而得到各条线段长度表达式，代入后再结合前面的关系得证. 【小问1详解】 如图所示， 由右焦点为得， 因为，所以， 若，则，即，无解； 若，则，即，所以， 故的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确表示出题干所述各点的坐标，利用直线与双曲线相切的关系，结合得出两条切线斜率的关系，再表示出各条线段长度，通过化简最终证得题中结论. 19. 阅读材料：1．，是平面内两点，把这两点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，即，，若直线的斜率存在，则，，即；2．把圆上所有点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的（），或者把圆上所有点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的（），可以得到椭圆．即圆通过“拉伸”或“压缩”得到椭圆．阅读上述材料，并应用材料提供方法解决下面问题： （1），，是平面内不共线三点，把这些点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，得到点，，，，的面积分别记为，，求证； （2）若直线：与椭圆：交于，两点，且，问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由； （3）已知椭圆：的右焦点为，椭圆的左，右顶点分别为，，过的直线交椭圆于，，直线，的斜率分别为，，求证为定值． 【答案】（1） 当轴时，， ，，， ，． 当不平行于轴时，过作轴的平行线交直线于点， 则． 把平面内所有点横坐标不变，纵坐标伸缩成原来的倍， 则，，，， 则， 所以． （2） 把椭圆上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的，得到圆． 其中，，所以，， 所以，又，所以， 即，所以， 又，所以． （3） 把椭圆上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的，得到圆． ，，直线，的斜率分别为，， ，，所以． 设，，则，． 又，，，四点共圆，所以． 如图弦，的中点为，连接，则，过作， 则，所以， 所以，即． ． 【解析】 【分析】（1）通过和不平行于轴，两类情况求解即可； （2）由伸缩得到，，再结合，进而可求解； （3）通过伸缩得到圆，，，得到，，再设，，通过，可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $