精品解析：福建省福州三牧中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

福州三牧中学2024～2025学年第一学期 九年级数学期中考试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上！） 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 2. 已知方程由一个根是，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，把代入方程转化为一元一次方程，然后解方程即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：物线的顶点坐标为， 故选：A． 4. 下列事件：①通常温度降到时，纯净的水结冰；②明天太阳从东方升起；③随意翻到本书的某页，这页的页码是偶数，其中是必然事件的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：①通常温度降到时，纯净的水结冰；是必然事件； ②明天太阳从东方升起，是必然事件； ③随意翻到本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件； 其中是必然事件的个数有2个； 故选：B． 5. 两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为　　) A. 48 cm B. 54 cm C. 56 cm D. 64 cm 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 解：两个相似多边形的面积比是9：16， 面积比是周长比的平方， 则大多边形与小多边形的相似比是4：3． 相似多边形周长的比等于相似比， 因而设大多边形的周长为x， 则有=， 解得：x=48． 大多边形的周长为48cm． 故选A． 考点：相似多边形的性质． 6. 如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长． 【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D． ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键． 7. 小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，确定等量关系是解决本题的突破点．平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件， ∴可列方程为：， 故选：A． 8. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为 A. （3，2） B. （3，3） C. （3，4） D. （3，1） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据A与A′关于C点对称，设A′的坐标为（a，b），可知，，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A 考点：中心对称 9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点可判断②正确；由对称轴为直线可判断③错误；由时，函数取得最小值，可判断④正确；由②③可求得和的值可判断⑤错误；据此即可求出答案． 【详解】解：①二次函数的图象开口向上，，函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①错误，不符合题意； ②将点代入函数表达式得：，故②正确，符合题意； ③函数的对称轴为直线，即，故，故③错误，不符合题意； ④当时，函数取得最小值，又，则，即，故④错误，不符合题意； ⑤由②③得：，，则，故，故⑤错误，不符合题意； 综上，②正确． 故选：A． 10. 如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，取的中点M，连接，根据圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理解答即可． 【详解】解：连接， ∵为直径的圆交于点E， ∴， 取的中点M，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上！） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法得或，即可求解 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， 故答案为： 12. 如果将抛物线向上平移一个单位，那么所得新抛物线的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据上加原则计算即可． 本题考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的原则是解题的关键． 【详解】解：抛物线向上平移一个单位，得． 故答案为：． 13. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、等边对等角、旋转的性质，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质可得：，，最后由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知圆锥的底面半径和母线长，直接利用圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：依题意知母线长 ，底面半径 ， 则由圆锥的侧面积公式得： . 15. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小茗同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上).若飞镖板中的直角三角形的两条直角边长为1和2，则投掷飞镖一次扎在小正方形的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投掷飞镖一次扎在小正方形的概率等于小正方形的面积比上大正方形的面积进行求解. 【详解】S小正方形=（2-1） （2-1）=1；S大正方形= =5；所以投掷飞镖一次扎在小正方形的概率为 . 【点睛】本题考查了图形面积与事件概率的关系，熟练掌握图形面积与事件概率的关系是本题解题关键. 16. 如图，为等边三角形，P为上一点，为等边三角形，与相交于点M，则下列结论中正确的是__________．①；②；③；④若，则． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据得，结合等边三角形的性质，可判定①②．根据可判定③；根据等腰三角形三线合一性质可判定④． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①②正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 故③正确； ∵，为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴． 故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的判定，三角形相似的判定和性质性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上！） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）方程无实数根 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵, 在这里， ∴方程无实数根． 18. 已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）利用数形结合思想，根据函数的增减性，最值解答即可． 本题考查了抛物线顶点坐标计算，二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用，熟练掌握二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：当，时， 抛物线解析式为， ∴， ∴函数图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为， ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为7， 当时，， 当时，， ∴． 19. 如图，在中，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，在同一条直线上，求出，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ∵可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点， ，，，，， ， ， ， ， ， ． 20. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； （2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 【答案】（1） 解：把“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式分别记为A，B，C． 列表如下： 马老师 赵老师 A B C A B C （2） 【解析】 【分析】此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果； （2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种， ∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为． 21. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作出圆的内接正六边形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若半径为6，求的长度（结果保留π）． 【答案】（1） 如图，六边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于半径． （1）连接，以A为圆心，为半径作弧交于B，F，再以B为圆心，为半径作弧交于C，以C为圆心，为半径作弧交于D，以D为圆心，为半径作弧交于E，连接，六边形即为所求； （2）由作图知的长度是周长的，进而可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵六边形是正六边形， ∴， ∴的长度是周长的， ∴的长度为． 22. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 【答案】（1） 解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是． ∴可设抛物线的解析式是． 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中． （2） 当时，， 能够盖帽拦截成功． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入求出值． （1）观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解； （2）代入求出值，由该值小于可得出盖帽拦截成功． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知是的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接，，，与交于点E，过点D作于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连结交于点， 点为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连结交于点，由圆周角定理可得，可推出，即可证明为的切线． （2）首先由点C为的中点，得到，由可得，，从而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点C为的中点， ， ， 由（1）得， ， ， ∴， ，， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题关键是正确作出辅助线． 24. 如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ，D，E，F分别为的中点， ，， ， ， （2）， 理由如下，连接，如图， ，D，E，F分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点D顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，过点作于， 中，, ， ， ， ， ， ， ， 中， ， 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； （3）如图2，经过点的一次函数图象与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F，利用特殊角的三角函数值，待定系数法，解方程组解答即可； （3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数关系定理，公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得（舍去），， ∵，且点D是第三象限内抛物线上的点， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理，特殊角的三角函数值，根与系数关系定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法，勾股定理，特殊角的三角函数值，根与系数关系定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三牧中学2024～2025学年第一学期 九年级数学期中考试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上！） 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知方程由一个根是，则 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件：①通常温度降到时，纯净的水结冰；②明天太阳从东方升起；③随意翻到本书的某页，这页的页码是偶数，其中是必然事件的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为　　) A. 48 cm B. 54 cm C. 56 cm D. 64 cm 6. 如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（　　） A. B. C. D. 7. 小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为 A. （3，2） B. （3，3） C. （3，4） D. （3，1） 9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 10. 如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上！） 11. 方程的解是______． 12. 如果将抛物线向上平移一个单位，那么所得新抛物线的表达式为__________． 13. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则________． 14. 某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 15. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小茗同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上).若飞镖板中的直角三角形的两条直角边长为1和2，则投掷飞镖一次扎在小正方形的概率是______. 16. 如图，为等边三角形，P为上一点，为等边三角形，与相交于点M，则下列结论中正确的是__________．①；②；③；④若，则． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上！） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 19. 如图，在中，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，在同一条直线上，求出，的长． 20. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； （2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 21. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作出圆的内接正六边形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若半径为6，求的长度（结果保留π）． 22. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 23. 如图，已知是的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接，，，与交于点E，过点D作于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长度． 24. 如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； （3）如图2，经过点的一次函数图象与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $