荆门市湖北省京山市2024-2025学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷

京山市2024－2025学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷 数 学 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将一元二次方程4x2＋5x＝81化成一般式后，若二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．5，81 B．5，－81 C．－5，81 D．5x，－81 解：一元二次方程4x2＋5x＝81化成一般式为4x2＋5x－81＝0， 二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，－81， 故选：B． 2．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列我国国产部分新能源品牌汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A B C D 解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．抛物线y＝（x－3）2－2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（　▲　） A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 解：抛物线y＝（x－3）2－2的顶点坐标为（3，－2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，－2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0）， 抛物线y＝（x－3）2－2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2． 故选：D． 4．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．256（1－2x）＝196 B．196（1＋x）2＝256 C．256（1－x）2＝196 D．256（1＋2x）＝196 解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为256×（1－x）元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为256（1－x）×（1－x）元， 所以可列方程为256（1－x）2＝196． 故选：C． 5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABO的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 解：∵∠C＝40°， ∴∠AOB＝2∠C＝80°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°－∠AOB）＝50°， 故选：C． 6．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋6的一部分，则杯口的口径AC长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 解：∵OD＝13， ∴点D的坐标为D（0，13）， 当y＝13时，x2＋6＝13，解得：x＝±， ∴A（－，0），D（，0）， ∴AD＝－（－）＝7， 故选：B． 7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 解：连接OA， 设⊙O的半径是r寸， ∵直径CD⊥AB， ∴AE＝AB＝×10＝5寸， ∵CE＝1寸， ∴OE＝（r－1）寸， ∵OA2＝OE2＋AE2， ∴r2＝（r－1）2＋52， ∴r＝13， ∴直径CD的长度为2r＝26寸． 故选：D． 8．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD 解：如图，设AD与BE的交点为O， ∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE， ∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE， 故选：A． 9．已知a，b是一元二次方程x2＋x－8＝0的两个实数根，则代数式a2＋2a＋b－ab的值为（　　） A．－1 B．1 C．15 D．17 解：∵a，b是一元二次方程x2＋x－8＝0的两个实数根， ∴a＋b＝－1，ab＝－8，a2＋a－8＝0， ∴a2＋a＝8， ∴a2＋2a＋b－ab ＝（a2＋a）＋（a＋b）－ab ＝8＋（－1）－（－8） ＝15． 故选：C． 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，0＜x1＜1，下列结论：①abc＞0；②x1＋x2＝－2；③4a－2b＋c＞0；④am2＋bm≥a－b（m为任意实数），正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵－＝－1， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线 与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故结论错误； ②∵抛物线对称轴是直线x＝－1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点， ∴＝－1， ∴x1＋x2＝－2，故结论正确； ③根据对称轴为直线x＝－1，0＜x1＜1，则－3＜x2＜－2， ∴x＝－2时，y＜0， ∴4a－2b＋c＜0，故结论错误； ④当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c为最小值， ∴a－b＋c≤am2＋bm＋c，即am2＋bm≥a－b（m为任意实数），故结论正确． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点（－1，2）关于原点对称的点的坐标是 ▲ ． 解：（1，－2） 12．写出一个两根互为倒数的一元二次方程　 　． 解：答案不唯一： ∵两根互为倒数， ∴一元二次方程的二次项系数与常数项相等，且△≥0， ∴满足条件的一元二次方程为x2－2x＋1＝0． 13．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是56°，则∠BCD的度数为 ▲ ． 解：连接OD， ∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∠ACB＝90°， ∴点A，B，C，D共圆（△ABC是以AB为直径的外接圆的内接三角形）， ∵点D对应的刻度是56°， ∴∠AOD＝56°， ∴∠ACD＝∠AOD＝28°， ∴∠BCD＝90°－∠ACD＝62°． 14．若关于x的函数y＝mx2＋（m＋2）x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为　 　． 解：当m＝0时，函数为一次函数，解析式为y＝2x＋1，其图象与x轴只有一个交点． 当m≠0时，函数为二次函数， ∵关于x的函数y＝mx2＋（m＋2）x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点， ∴△＝0，即（m＋2）2－4m（m＋1）＝0． 解得：m＝±2． ∴当m＝0，或m＝±2时，函数y＝mx2＋（m＋2）x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点． 故答案为：0或2或－2． 15．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，点F为AD中点，折叠后，EC的对应边EH经过点A，D点的对应点为点G．若AH＝BE，CD＝，则BC＝　 　． 解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝， ∴AB＝CD＝，BC＝AD，BC∥AD，∠B＝90°， ∴∠CEF＝∠AFE， 由折叠得∠CEF＝∠AEF，EH＝EC， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∵点F为AD中点， ∴BC＝AD＝2AF＝2AE， ∵AH＝BE，EH＝EC， ∴BC＝BE＋EC＝BE＋EH＝BE＋AH＋AE＝2BE＋AE， ∴2AE＝2BE＋AE， ∴AE＝2BE， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2－BE2， ∴AB＝＝＝BE， ∵AB＝CD＝， ∴BE＝， ∴BE＝1， ∴BC＝2AE＝4BE＝4×1＝4． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16．（本题6分）小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框： 小敏： 两边同除以(x－3)，得 3＝x－3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得 (x－3) (3－x－3)＝0． 则x－3＝0或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 解： 小敏： 两边同除以(x－3)，得 3＝x－3， 则x＝6． （×） 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得 (x－3) (3－x－3)＝0． 则x－3＝0或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． （×） 正确解答：3(x－3)＝(x－3)2， 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得 (x－3) [3－(x－3)]＝0， 去括号，得(x－3) (3－x＋3)＝0， (x－3) (6－x)＝0， 则x－3＝0或6－x＝0， 解得x1＝3，x2＝6． 17．（本题6分）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上． （1）求证：BE＝AD； （2）△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到△EBC的过程． 证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD于△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE； （2）解：∵△ECD是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， 同理CA＝CB，∠ACB＝60° ∴以点C为旋转中心将△DAC逆时针旋转60°就得到△EBC． 18．（本题6分）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线AF，使AF∥EC； （2）如图2，正六边形ABCDEF，在图中画一条直线GH，使GH垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线EF，使EF∥AD． 解：（1）如图，直线AF即为所求作． （2）如图，直线GH即为所求作． （3）如图，直线EF即为所求作． 19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋3＝0有一个根是x＝3，求b的值及方程的另一个根． 解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得3＋t＝－b，3t＝3， 解得t＝1，b＝－4， 即b的值为－4，方程的另一个根为1． 20．（本题8分）小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数y＝ax2＋bx＋c中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与x轴相交于点（－1，0），（3，0），与y轴相交于点（0，－3）． （1）直接写出二次函数的解析式为　 　； （2）当0≤x≤3时，函数的最大值为　 　，最小值为　 　； （3）利用图象直接写出不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为　 　． 解：（1）∵二次函数的图象与x轴相交于点（－1，0），（3，0）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－3）， ∵二次函数的图象与y轴相交于点（0，－3）， ∴－3＝a（0＋1）（0－3）， ∴a＝1， ∴y＝a（x＋1）（x－3）＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3， ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3； （2）y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵0＜1＜3，a＝1＞0， ∴当x＝1时，二次函数取得最小值为y＝1－2－3＝－4， ∵|3－1|＞|0－1|， ∴当x＝3时，二次函数取得最大值为y＝0， 故答案为：0，－4； （3）如图，记抛物线与直线y＝－3右边交点为A， 联立， 解得：x＝2或x＝0， ∴xA＝2， ∴由图象可得不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为：x＜0或x＞2． 21．（本题8分）如图，已知⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求BC、AD、BD的长； （2）求CD的长． 解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝AB＝5cm， ∴BC＝8cm，AD＝BD＝5cm； （2）方法1：作BH⊥CD于H，如图， ( （方法1） )∵∠BCH＝45°， ∴△BCH为等腰直角三角形， ∴BH＝CH＝BC＝4（cm）， 在Rt△BDH中，DH＝BD2＋BH2， ∴DH＝＝3（cm）， ∴CD＝CH＋DH＝4＋3＝7（cm）， ∴BC＝8 cm，AD＝BD＝5 cm，CD＝7cm． 方法2：作DF⊥CA于F，作DG⊥CB于G，连接DA，DB． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD， ( （方法 2 ） )∴DF＝DG，＝，∴DA＝DB． ∵∠AFD＝∠BGD＝90°， ∴△AFD≌△BGD，∴AF＝BG． 易证△CDF≌△CDG，∴CF＝CG． ∴CA＋CB＝CF＋CG＝2CG， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴CG＝7cm， ∴CD＝CG＝7cm． 方法3：延长CB到E，使BE＝AC，连接DE， ( （方法 3 ） )相当于将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°， 易证△ADC≌△BDE， ∴CA＋CB＝CB＋BE＝CE＝CD， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴6＋8＝CD， ∴CD＝7cm． 22．（本题10分）已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品　 　 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为　　 ，x的取值范围是　 　 ，每星期售出商品的最大利润是　 　元； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ （3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件， ∴每星期实际可卖出（300－10x）件， y＝（60－40＋x）（300－10x）＝－10x2＋100x＋6000， ∵， ∴0≤x≤30； ∵y＝－10x2＋100x＋6000＝－10（x－5）2＋6250． ∴当x＝5时，y最大＝6250， ∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250． 故答案为：（300－10x），－10x2＋100x＋6000，0≤x≤30，6250； （2）由题意得：－10（x－5）2＋6250＝2250， 解得：x1＝25，x2＝－15（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）①y＝（60－40－x）（300＋20x） ＝（20－x）（300＋20x） ＝－20x2＋100x＋6000（0≤x≤20）； ②y＝－20x2＋100x＋6000＝－20（x－2.5）2＋6125（0≤x≤20）， 当x＝2.5时，y最大＝6125， 当x＝2.5时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元． 23．（本题11分）【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P． 【数学思考】（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当∠CAE＝45°时，求线段BP的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE＝∠B时，求线段BP的长． （1）解：PC＝PE， 理由：如图1，连接AP， 由旋转的性质知，AC＝AE，∠AED＝∠C＝∠AEP＝90°， ∵AP＝AP， ∴Rt△APE≌Rt△APC（HL）， ∴PC＝PE； （2）解：①如图2，延长AE，交BC于点F， ∵∠CAE＝45°，∠C＝∠AEP＝90°， ∴∠EPF＝∠EFP＝∠CAE＝45°， ∴PE＝EF，AC＝CF＝6， 由（1）知，PC＝PE， 设PC＝PE＝x， 则PF＝＝＝ x， ∴x ＋x ＝CF＝6， ∴x ＝6－6， ∴BP＝BC－PC＝8－（6－6）＝14－6； ②如图3， ∵∠C＝90°，CA＝6，CB＝8， ∴AB＝ ＝10， 由旋转的性质知，AD＝AB＝10，DE＝BC＝8，∠B＝∠D，∠C＝∠AED＝90°， 当∠CAE＝∠B时， ∵∠B＋∠EAD＝90°， ∴∠CAE＋∠D＝∠CAD＝90°， ∴∠CAD＋∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠D， ∵∠B＝∠D， ∴∠1＝∠D，∠2＝∠B， ∴AO＝DO，BO＝PO， ∵AO＋BO＝AB＝10， ∴PO＋DO＝PD＝10， ∴PE＝PD－DE＝10－8＝2， ∴PC＝PE＝2， ∴BP＝BC－PC＝6． 24．（本题12分）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）如图1，求△ABC的面积； （2）如图2，点P是抛物线上第一象限的一点，且∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标； （3）若点N是直线y＝2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 解：（1）将点A（－2，0），B（4，0）代入y＝－x2＋bx＋c， 可得b＝2，c＝8， ∴y＝－x2＋2x＋8， ∴AB＝4－（－2）＝6，OC＝8， ∴S△ABC＝AB•OC＝×6×8＝24； （2）在x轴上截取AD＝OC，过D作DE⊥x轴交AP的延长线于P，则∠AOC＝∠ADE＝90°， ∵∠PAB＝∠ACO， ∴△AOC≌△EDA（ASA）， ∴AO＝ED，CE＝FN， ∵A（－2，0），OC＝8， ∴AO＝ED＝2，AD＝OC＝8， ∴OD＝6， ∴E（6，2）， 设直线AE的解析式为y＝mx＋n， 将A（－2，0），E（6，2）代入得：，解得：， ∴直线AE的的解析式为y＝x＋； 由得：，， ∴P（，）； （3）设直线y＝2与y轴交于H，过M作ME⊥y轴于E，MF⊥直线y＝2于F， 当点M在第二象限时，如图3， ∵直线y＝2⊥y轴， ∴四边形EHFM是矩形， ∴EM＝FH，EH＝MF，∠EMF＝90°， ∵△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠CMN＝90°，CM＝NM， ∴∠CME＝∠NMF， ∵∠CEM＝∠MFN＝90°， ∴△CME≌△NMF（AAS）， ∴ME＝MF，CE＝FN， 设M（a，－a2＋2a＋8）， ∴a＝－a2＋2a＋8－2， 解得a＝3或a＝－2（不合题意，舍去）， ∴M（3，5）． 当点M在第二象限时，同理可得M（，）． 故存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，满足条件的点M的坐标为M1（3，5），M2（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 京山市2024－2025学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷 数 学 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将一元二次方程4x2＋5x＝81化成一般式后，若二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．5，81 B．5，－81 C．－5，81 D．5x，－81 2．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列我国国产部分新能源品牌汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A B C D 3．抛物线y＝（x－3）2－2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（　　） A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 4．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．256（1－2x）＝196 B．196（1＋x）2＝256 C．256（1－x）2＝196 D．256（1＋2x）＝196 5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABO的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋6的一部分，则杯口的口径AC长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 8．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD 9．已知a，b是一元二次方程x2＋x－8＝0的两个实数根，则代数式a2＋2a＋b－ab的值为（　　） A．－1 B．1 C．15 D．17 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，0＜x1＜1，下列结论：①abc＞0；②x1＋x2＝－2；③4a－2b＋c＞0；④am2＋bm≥a－b（m为任意实数），正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点（－1，2）关于原点对称的点的坐标是 ． 12．写出一个两根互为倒数的一元二次方程　 　． 13．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是56°，则∠BCD的度数为 ． 14．若关于x的函数y＝mx2＋（m＋2）x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为　 　． 15．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，点F为AD中点，折叠后，EC的对应边EH经过点A，D点的对应点为点G．若AH＝BE，CD＝，则BC＝　 　． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16．（本题6分）小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框： 小敏： 两边同除以(x－3)，得 3＝x－3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得 (x－3) (3－x－3)＝0． 则x－3＝0或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 17．（本题6分）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上． （1）求证：BE＝AD； （2）△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到△EBC的过程． 18．（本题6分）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线AF，使AF∥EC； （2）如图2，正六边形ABCDEF，在图中画一条直线GH，使GH垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线EF，使EF∥AD． 19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋3＝0有一个根是x＝3，求b的值及方程的另一个根． 20．（本题8分）小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数y＝ax2＋bx＋c中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与x轴相交于点（－1，0），（3，0），与y轴相交于点（0，－3）． （1）直接写出二次函数的解析式为　 　； （2）当0≤x≤3时，函数的最大值为　 　，最小值为　 　； （3）利用图象直接写出不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为　 　． 21．（本题8分）如图，已知⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求BC、AD、BD的长； （2）求CD的长． 22．（本题10分）已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品　 　 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为　　 ，x的取值范围是　 　 ，每星期售出商品的最大利润是　 　元； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ （3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 23．（本题11分）【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P． 【数学思考】（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当∠CAE＝45°时，求线段BP的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE＝∠B时，求线段BP的长． 24．（本题12分）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）如图1，求△ABC的面积； （2）如图2，点P是抛物线上第一象限的一点，且∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标； （3）若点N是直线y＝2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $$