湖北省京山市2024-2025学年八年级上学期期中教学质量监测数学试卷

京山市2024－2025学年度上学期期中教学质量监测八年级试卷 数 学 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（　▲　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，2，5 2．利用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A B C D 3．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（　　） A B C D 4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 5．将一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）按如图所示位置摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE＝40°，则∠BAF的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．10° 6．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两个点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠BAC的度数是（ ） A．100° B．120° C．130° D．150° 7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在∠边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 10．如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点A（1，－2）关于x轴对称的点的坐标为 　． 12．已知等腰△ABC的一个角是80°，则△ABC的底角的度数是 　． 13．在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　cm． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC＝ 　． 15．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF－∠C；③∠F＝（∠BAC－∠C）；④∠BGH＝∠ABE＋∠C，正确的序号是 　． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16．（本题6分）在△ABC中，∠B＝∠A ＋10°，∠C＝∠B ＋10°，求△ABC的各内角的度数． 17．（本题6分）如图，点E、F在AC上，∠A＝∠C，AD＝CB，AE＝CF．求证：△AFD≌△CEB． 18．（本题6分）如图，在4×4的正方形网格中，A、B为格点，请你画出三个以AB为腰的等腰△ABC． （要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） ( 图1 图2 图 3 ) 19．（本题8分）阅读小明和小红的对话，解决心里问题： （1）这个“多加的锐角”的度数是 　； （2）小明求的是几边形的内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角的度数是多少？ 20．（本题8分） 目标 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离． 图示 ( 图1 图 2 图 3 ) 方案1 甲：如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 方案2 乙：如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 方案3 丙：如图3，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 任务一 （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：_______________；丙：_______________． 任务二 （2）请你选择其中一种方案进行说明理由． 21．（本题8分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交边AB，BC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于DE的相同长度为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线BF交AC于点G．则BG是△ABC的 线． （1）根据上述步骤补全作图过程并填空（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB＝8，BC＝12，S△ABG＝18，求S△BCG． 22．（本题10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，求证：（1）BE＝CF；（2）AD垂直平分EF． 23．（本题11分）已知，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，求证：∠BQA＋∠BPA＝180°； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为：　 　． ( 图1 图2 备用 图 ) 24．（本题12分） 【问题发现】（1）如图1，在△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，求BE的长． 【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求S△BCD． 【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，S△ACD＝12且CD＝6，求S△BCD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 京山市2024－2025学年度上学期期中教学质量监测八年级试卷 数 学 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，2，5 解：A、3＋4＜8，不能组成三角形； B、5＋6＝11，不能组成三角形； C、5＋6＞10，能够组成三角形； D、2＋2＜5，不能组成三角形． 故选：C． 2．利用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　▲　） A B C D 解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A． 3．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（　　） A B C D 解：A．三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意． B．四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意． C．五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意． D．六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意． 故选：B． 4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 解：补充BE＝CF，理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS），故选：C． 5．将一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）按如图所示位置摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE＝40°，则∠BAF的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．10° 解：由图可得，∠CDE＝40°，∠C＝90°， ∴∠CED＝50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF＝50°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝60°－50°＝10°，故选：D． 6．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两个点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠BAC的度数是（▲） A．100° B．120° C．130° D．150° 解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ， ∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． 又∵∠BAP＋∠ABP＝∠APQ，∠C＋∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠CAQ＝30°． ∴∠BAC＝120°． 故∠BAC的度数是120°．故选：B． 7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在∠边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 解：在△COM和△CON中， ∴△COM≌△CON（SSS）， ∴∠COM＝∠CON， 即OC是∠AOB的平分线，故选：D． 8．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm 解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝DC，AE＝CE＝AC， ∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm， ∴AB＋BC＋AC＝19cm，AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13cm， ∴AC＝6cm，∴AE＝3cm，故选：A． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 解：延长BE交AC于M， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° ∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AB＝AM＝5， ∵BE⊥AE， ∴BM＝2BE＝6， ∵∠4是△BCM的外角， ∴∠4＝∠5＋∠C， ∵∠ABC＝3∠C， ∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5， ∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C， ∴∠5＝∠C， ∴CM＝BM＝6， ∴AC＝AM＋CM＝AB＋2BE＝11．故选：B． 10．如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝AE． ∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE， ∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”． 同理可得， △ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”． △ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”． △ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”． ∴图中的“伪全等三角形”共有4对．故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点A（1，－2）关于x轴对称的点的坐标为 　． 解：点A（1，－2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，2）． 12．已知等腰△ABC的一个角是80°，则△ABC的底角的度数是 　． 解：由题意知，分两种情况： （1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°－80°）÷2＝50°； （2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°． 故答案为：50°或80°． 13．在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　cm． 解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB－BE＝AB－BC＝8－6＝2（cm）， ∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC＝ 　． 解：∵CM平分∠ACB交AB于点M， ∴∠NCM＝∠BCM， ∵MN∥BC， ∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC， ∵MN平分∠AMC， ∴∠AMN＝∠NMC＝∠B， ∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC， ∴∠B＝30°， ∴∠AMN＝∠B＝30°， ∵AN＝2， ∴MN＝2AN＝4， ∴NM＝NC＝4， ∴AC＝AN＋NC＝6， ∴BC＝2AC＝12． 15．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF－∠C；③∠F＝（∠BAC－∠C）；④∠BGH＝∠ABE＋∠C，正确的序号是 　． 解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD＋∠F＝90°， ∵FH⊥BE，∴∠BGH＋∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，①正确； ②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE＋∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC＋2∠C，∠BAF＝∠ABC＋∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF＋∠C，②错误； ③∠ABD＝90°－∠BAC， ∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝∠ABE－90°＋∠BAC＝∠CBD－∠DBE－90°＋∠BAC， ∵∠CBD＝90°－∠C，∴∠DBE＝∠BAC－∠C－∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC－∠C－∠DBE，∴∠F＝（∠BAC－∠C），③正确； ④∵∠AEB＝∠EBC＋∠C，∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE＋∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE＋∠C，④正确， 故正确的序号是：①③④． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16．（本题6分）在△ABC中，∠B＝∠A ＋10°，∠C＝∠B ＋10°，求△ABC的各内角的度数． 解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°， ∴∠C＝∠A＋10°＋10°＝∠A＋20°， 由三角形内角和定理得：∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠A＋10°＋∠A＋20°＝180°， 解得：∠A＝50°， ∴∠B＝50°＋10°＝60°，∠C＝50°＋20°＝70°． ∴∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°． 17．（本题6分）如图，点E、F在AC上，∠A＝∠C，AD＝CB，AE＝CF．求证：△AFD≌△CEB． 证明：∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF， ∴AF＝CE， 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． 18．（本题6分）如图，在4×4的正方形网格中，A、B为格点，请你画出三个以AB为腰的等腰△ABC． （要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） ( 图1 图2 图 3 ) ( 图1 图2 图 3 ) 19．（本题8分）阅读小明和小红的对话，解决心里问题： （1）这个“多加的锐角”的度数是 　； （2）小明求的是几边形的内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角的度数是多少？ 解：（1）∵多边形内角和公式为（n－2）×180°， ∴当n＝12时，多边形内角和为（12－2）×180°＝1800°， 当n＝13时，多边形内角和为（13－2）×180°＝1980°， ∵小红说：“多边形的内角和不可能是1830°，你一定多加了一个锐角”， ∴这个“多加的锐角”是1830°－1800°＝30°， 故答案为：30°； （2）设多边形为n边形， ∴（n－2）×180°＝1800°， ∴n＝12， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）∵正12边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为360°， ∴这个正多边形的一个外角为＝30°， ∴这个正多边形的一个外角是30°． 20．（本题8分） 目标 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离． 图示 ( 图1 图 2 图 3 ) 方案1 甲：如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 方案2 乙：如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 方案3 丙：如图3，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 任务一 （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：_______________；丙：_______________． 任务二 （2）请你选择其中一种方案进行说明理由． 解：（1）乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离； 丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠ADB＝∠CDB或AD＝CD，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 故答案为：BC＝CD；∠ADB＝∠CDB或AD＝CD； （2）答案不唯一． 选甲：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝ED； 选乙：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDE＝90°， 在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； 选丙： 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB＝BC． 或∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝∠CBD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AB＝BC． 21．（本题8分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交边AB，BC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于DE的相同长度为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线BF交AC于点G．则BG是△ABC的 线． （1）根据上述步骤补全作图过程并填空（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB＝8，BC＝12，S△ABG＝18，求S△BCG． 解：（1）如图，即为补全的图形， BG是△ABC的角平分线； 故答案为：角平分； （2）如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N． 由作图可知，BG平分∠ABC， ∵GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， ∴GM＝GN， ∴＝＝， ∵AB＝8，BC＝12，S△ABG＝18， ∴＝， ∴S△BCG＝27． 22．（本题10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，求证：（1）BE＝CF；（2）AD垂直平分EF． 证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝CF． （2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F， ∴DE＝DF， ∴点D在EF的垂直平分线上， 由（1）知：Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB－BE＝AC－CF， ∴AE＝AF， ∴点A在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 23．（本题11分）已知，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，求证：∠BQA＋∠BPA＝180°； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为：　 　． ( 图1 图2 备用 图 ) （1）证明：过点B作BM⊥AE于点M， ( 图1 )∵AB平分∠EAF，BC⊥AF，∴BM＝BC， 在Rt△BMQ和Rt△BPC中， ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL），∴∠BQA＝∠BPC， 又∵∠BPC＋∠BPA＝180°，∴∠BQA＋∠BPA＝180°； （2）解：AQ－AP＝2AC，理由如下：过点B作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ( 图2 )∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°， 在Rt△ABM和Rt△ABC中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC， 在Rt△BMQ和Rt△BCP中， ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL），∴PC＝QM， ∴AQ－AP＝（AM＋QM）－（PC－AC）＝AM＋AC＝2AC； （3）AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC． ①当点P在线段AC上时，如图，AQ－AP＝2PC， 过点B作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°， ( 备用 图 ① )∵∠BQA＋∠BPA＝180°，∠BPC＋∠BPA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM， 在△QBM和△PBC中， ， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC， 在Rt△ABM和Rt△ABC中， ( 备用 图 ② )， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），∴AM＝AC， ∴AQ－AP＝AM＋QM－（AC－PC）＝QM＋PC＝2PC； ②当P在线段AC的延长线上时，如图，AP－AQ＝2PC， 过点B作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA＋∠BPA＝180°，∠BQM＋∠BQA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM， 在△QBM和△PBC中， ， ∴△QBM≌△PBC（AAS），∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC， 在Rt△ABM和Rt△ABC中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），∴AM＝AC， ∴AP－AQ＝AC＋CP－（AM－QM）＝MQ＋PC＝2PC． 故答案为：AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC． 24．（本题12分） 【问题发现】（1）如图1，在△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，求BE的长． 【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求S△BCD． 【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，S△ACD＝12且CD＝6，求S△BCD． 解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°， ∴∠ACB＝90°－∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4， ∴BE＝BC＋CE＝7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC， ∴∠E＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°－∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4， ∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵S△ACD＝12且CD＝6， ∴×6•AE＝12， ∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝4， ∴CE＝CD－DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACE＝90°－∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2， ∴S△BCD＝CD•BF＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $$