精品解析：山西省太原市小店区崇实中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

崇实中学初中部2024-2025(上) 第二次专项训练九年级数学 姓名: 班级: 考号: 一、单选题(共10题，每题3分) 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、 、 、 C. 、、、 D. 、 、、 2. 已知是关于的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 D. 菱形的四个内角都是直角 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A. 1000 B. 1100 C. 1210 D. 1331 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 10. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和乙同学正确 D. 三个同学都正确 二、填空题(共6题，每题3分) 11. 一元二次方程5x2﹣1＝4x的一次项系数是______． 12. 不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有________个． 13. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______． 14. 如图，在中，点、、分别是边、、上的点，连接，，，且，那么等于________． 15. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 16. 如图，菱形中，对角线和交于点O，，，E为的中点，P为对角线上一动点，则的最小值为________． 三、解答题 17. 解方程 （1）用公式法解方程： （2）用配方法解方程： （3） 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 19. 一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，2个白球．这些小球除颜色外都相同． （1）甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为________； （2）将袋中小球摇匀，甲从中随机摸出1个小球，记下颜色后不放回，乙再从中随机摸出1个小球，用列表或画树状图的方法，求两人摸到的小球颜色相同的概率． 20. 如图，在菱形中，与相交于点，过点作，使，连接．求证：四边形是矩形． 21. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 22. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？ 23. 如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部、小芳的头顶及小亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，．然后测出两人之间的距离，小芳与楼之间的距离（，，在一条直线上），小芳的身高，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．请帮他们求出住宅楼的高度． 24. 如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 25. 已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： （1）； （2）． 26. 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇实中学初中部2024-2025(上) 第二次专项训练九年级数学 姓名: 班级: 考号: 一、单选题(共10题，每题3分) 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、 、 、 C. 、、、 D. 、 、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，若四条线段成比例，根据内项积等于外项积，则有四条线段中，两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积，解决本题的关键是根据四条线段中是否存在其中两条线段的长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积进行判断． 【详解】解：A选项：、、、中不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故A选项不符合题意； B选项：、、、中，故B选项符合题意； C选项：、、、中不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故C选项不符合题意； D选项：、、、中不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知是关于的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解 ∴，即 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键． 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 D. 菱形的四个内角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的性质，熟知平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，不一定互相垂直，原说法错误，不符合题意； C、正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，原说法正确，符合题意； D、菱形的四个内角不一定都是直角，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A. 1000 B. 1100 C. 1210 D. 1331 【答案】D 【解析】 【分析】设传染速度为x，求出x的值，即可得出答案. 【详解】设传染速度为x 由题意得： 解得： 所以第三轮传染后，患流感的人数为： 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依题意建立方程并求出传染速度是解题关键. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根”可得，解不等式即可求出的取值范围，然后从各选项中选择合适的值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 四个选项中只有选项满足要求， 故选：． 7. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8. 如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答． 根据菱形的判定解答即可． 【详解】解：A．由图可知，平行四边形的一个角为，一边与对角线夹角，则另一边与对角线夹角为，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，该选项不符合题意； B．平行四边形的一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：，所以对角线相互垂直，故是菱形，符合题意； C．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，故不是菱形，不符合题意； D．由图可知，故对角线不垂直，所以不是菱形，不符合题意； 故选： 9. 如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D 10. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和乙同学正确 D. 三个同学都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， ， 甲同学正确； ，，， ， ， 乙同学正确； 当时， ， ， ， ， ， ， 即为的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 二、填空题(共6题，每题3分) 11. 一元二次方程5x2﹣1＝4x的一次项系数是______． 【答案】-4 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵5x2﹣1＝4x， 方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0， 则一次项系数是﹣4， 故答案为：﹣4 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 12. 不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中蓝球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中蓝球约有8个， 故答案为：8． 13. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，点、、分别是边、、上的点，连接，，，且，那么等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，菱形中，对角线和交于点O，，，E为的中点，P为对角线上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点M，连接，根据菱形的性质得出，且，即是的垂直平分线，根据垂直平分线性质得出，求出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即的值最小，且最小值为，根据三角形中位线性质和勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 连接，取的中点M，连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，且，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，最小，即的值最小，且最小值为， ∵点E是的中点，点M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质． 三、解答题 17. 解方程 （1）用公式法解方程： （2）用配方法解方程： （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先利用判断出根的情况，再代入求根公式计算即可． （2）先把2移动到方程的右边，然后方程两边同时加上1，利用配方法解方程即可． （3）把方程右边移动到方程的左边，然后提公因式，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴ ∴， 【小问2详解】 解： ∴， 【小问3详解】 解： 或 ∴， 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据的范围可知，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案． 【小问1详解】 ∵原方程有实数根， 【小问2详解】 ∵为正整数，又， 当时，原方程为， 即， 解得，． 因此，原方程的根为； 【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于的一元一次不等式；（2）确定的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键． 19. 一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，2个白球．这些小球除颜色外都相同． （1）甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为________； （2）将袋中小球摇匀，甲从中随机摸出1个小球，记下颜色后不放回，乙再从中随机摸出1个小球，用列表或画树状图的方法，求两人摸到的小球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人摸到的小球颜色相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个小球，其中有2个红球，且每个球被摸到的概率相同， ∴甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为， 故答案为；； 【小问2详解】 解：设用A、B表示2个红球，C、D表示2个白球，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两人摸到的小球颜色相同的结果数有4种， ∴两人摸到的小球颜色相同的概率为． 20. 如图，在菱形中，与相交于点，过点作，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，进而可得出结论． 【详解】略． 21. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ， ∴ 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 22. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？ 【答案】每套应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每套“竹编篮”降价元，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润每套的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每套降价元， 由题意，得， 解得：，， ∵每套降价幅度不超过6元， 故， 答：每套应降价元． 23. 如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部、小芳的头顶及小亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，．然后测出两人之间的距离，小芳与楼之间的距离（，，在一条直线上），小芳的身高，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．请帮他们求出住宅楼的高度． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答． 过点作，垂足为，交于点，由相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的对应边成比例可得出的长，最后与相加得到的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：住宅楼的高度为． 24. 如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．本题中两个三角形相似存在两种情况：当时，；当时，，对应角不同相似三角形的对应边也不相同，所以本题要分两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：如下图所示， 点运动的时间为，点运动的时间为， 当运动时间为时，，， 则有 中，，以，，为顶点的三角形中， 如果和以，，为顶点的三角形相似， 则有或， 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述当运动的时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 25. 已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 又， （2） 证明：， ， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 即 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． （1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可； （2）先根据相似三角形的性质，得出，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． 由折叠的性质，得，，． ，， ． 又， ． ． ，， ． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，推导出，结合等边三角形，可得，得到，结合，，可得． （2）结合正方形性质和折叠性质课推导出，设，表示．在中，用勾股定理可求、，用相似比，即可求． （3）由等腰直角三角形性质三角形内角和、平角定义可推导出，结合，可得，设，在中，用勾股定理求得，由相似比可求，得到．过点作于点，可证，相似比求，则可求． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ，． 由折叠的性质，得，． ，， ． 又， ． ． 是的中点，． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ，． ， ． ． （3）与都是等腰直角三角形， ，，，． ，， ． 又， ． ． ，，． 设． 在中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去）． ． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点，则． 又为公共角， ∴． ，即．． ． 【点睛】本题考查勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等的综合应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定，并能正确作图是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $