精品解析：江苏省泰州市靖江市靖城中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

靖城中学2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式正确的是（　　） A. ± B. C. D. 3. 下列数组中的数字，刚好是勾股数的一组是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 下列实数：，，，，，，，中，无理数有_________个． 8. 地球上七大洲的面积约为．将数字精确到，可以表示为_____． 9. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 10. 已知m为的整数部分，则m的平方根为_____． 11. 已知实数x，y满足，则＝_____． 12. 如图，是等边三角形，若，，，则______°． 13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为_____． 14. 如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10m，高为13m，一只壁虎在距底面1m的A处，C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为_____m． 15. 如图，点P在的内部，且，M、N分别为点P关于直线、的对称点，若，则___________． 16. 如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知为4的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 19. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 20. 如图，点、在上，，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，点在边的延长线上，点是外一点．若 ，则 ．现有三个选项如下：；；平分．从这个选项中选择两个作为条件，另一个作为结论（写序号），使结论成立，并说明理由． 22. 如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的D处修建了一个临时车站，由D处亦可直达A处，若，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求路线的长． 23. 在正方形中，点E，F分别在边和上（不与端点重合），连接，，，过点D作，交的延长线于点G，平分． （1）写出，和之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形的边长为8，．求的长． 24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 25. 如图，在中，，D为上一点，M为上一点，且． （1）若，则 （用含α的式子表示）； （2）求证：； （3）求证：． 26. 如图1，在长方形纸片中，，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）若连接，当点Q落在上时，的长为_____； （2）如图2，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长； （3）如图3，点M是的中点，连接，． ①的最小值为______； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖城中学2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故正确； B、不是轴对称图形，故错误； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 下列等式正确的是（　　） A. ± B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根立方根的性质即可化简判断. 【详解】A. =2，故错误； B. =2，故错误； C. =-2，正确； D. =0.1，故错误， 故选C. 【点睛】此题主要考查平方根立方根的性质，解题的关键是熟知平方根立方根的性质. 3. 下列数组中的数字，刚好是勾股数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的特点：三个数为正整数且符合勾股定理的一组数为勾股数，据此即可判断求解，掌握勾股数的特点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、三个数是小数，不是一组勾股数，该选项不合题意； 、三个数是分数，不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵且三个数为正整数， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 4. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意已知 ，是公共边，选项A可利用全等三角形判定定理“角边角”可得，选项B可利用全等三角形的判定定理“角角边”可得；选项C可利用全等三角形判定定理“边角边”可得，唯有选项D不能判定. 【详解】选项A，∵∴ 即 ∵ ，是公共边，，∴（角边角），故选项A不符合题意； 选项B，∵，，是公共边，∴（角角边）， 故选项B不符合题意； 选项C，∵，，是公共边，∴（边角边） 故选项C不符合题意； 添加DB=CB后不能判定两个三角形全等，故选项D符合题意； 故选D 【点睛】本题旨在考查全等三角形判定定理，熟练掌握此知识点是解题的关键. 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE（SAS），可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，从而知BF最小值是2． 【详解】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图： ∵△BDM和△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°， ∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE， ∴△BDF≌△MDE（SAS）， ∴BF＝ME， ∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图： 过M作MN⊥BC于N， ∵BC＝3，CD＝1， ∴BD＝2， ∴ND＝0.5BD＝1，NC＝2， 而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°， ∴四边形MNCE是矩形， ∴ME＝NC＝2， 而BF＝ME， ∴BF最小值是2． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 下列实数：，，，，，，，中，无理数有_________个． 【答案】4##四 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【详解】解：，，， 所以，无理数有、、、，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了无理数，解题关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的；②无限不循环小数；③含有的数． 8. 地球上七大洲的面积约为．将数字精确到，可以表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法、近似数，先根据精确位数四舍五入取近似值，再写成的形式． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 10. 已知m为的整数部分，则m的平方根为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算和求平方根等知识．先估算出，得到，根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴m的平方根为， 故答案为： 11. 已知实数x，y满足，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，求立方根，负整数指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．根据算术平方根和偶次方的非负性求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是等边三角形，若，，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形性质得出，再由证得，得出，由三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可求的长，利用割补法求出的面积，由三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10m，高为13m，一只壁虎在距底面1m的A处，C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为_____m． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意画出圆柱的侧面展开图的平面图形，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：AD=5m，CD=12m， 则AC=(m)， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，正确画出平面图形是解题的关键． 15. 如图，点P在的内部，且，M、N分别为点P关于直线、的对称点，若，则___________． 【答案】90 【解析】 【分析】分别连接根据P、M两点关于直线AB对称，N，P，两点关于直线BC对称可得，进而可得，再根据SSS证明和，得和进而计算即可得到解答． 【详解】解：分别连接如下图所示， ∵P、M两点关于直线AB对称，N，P两点关于直线BC对称， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B在线段MN上，且B为线段MN的中点， ∴， ∴， ， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，则该点在直线上，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 16. 如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH，∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH， ∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝． 故填：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查了用平方根和立方根的意义解方程． （1）根据平方根的意义得到，即可求出方程的解； （2）根据立方根的意义得到，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解： ∴， 则， 解得； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴， 解得 18. 已知为4的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵，， ， 则的平方根是． 19. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 【答案】（1） 如图 （2） 如图 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，作角平分线，作线段垂直平分线，利用网格的特点结合问题灵活处理是解题的关键． （1）找到格点G，使，连接，它与的交点P满足条件； （2）作出的垂直平分线，与射线相交，交点Q即满足条件． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 如图，点、在上，，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． （1）根据已知，利用判定即可； （2）根据得到，推出即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 21. 如图，在中，点在边的延长线上，点是外一点．若 ，则 ．现有三个选项如下：；；平分．从这个选项中选择两个作为条件，另一个作为结论（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】 解：若，，则平分，理由如下 如下图所示， ， ， ， ， ， 平分； 若，平分，则，理由如下， ， ， 平分， ， ， ； 若，平分，则，理由如下， ， ， 平分， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定和性质．本题是一道开放性试题，用其中的任意两个作为条件另一个作为结论都可以组成一个真命题，本题共分三种情况． 【详解】略 22. 如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的D处修建了一个临时车站，由D处亦可直达A处，若，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求路线的长． 【答案】（1） 解：是直角三角形． 理由如下： ，，， ，，， ， 是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解； （2）根据勾股定理计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直角三角形， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中整理出直角三角形，并根据勾股定理求解． 23. 在正方形中，点E，F分别在边和上（不与端点重合），连接，，，过点D作，交的延长线于点G，平分． （1）写出，和之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形的边长为8，．求的长． 【答案】（1） ，理由如下， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴, ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点， （1）先证得，，再证出得，进而即可得解； （2）设，利用勾股定理得出，解方程即可得解； 熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，， ∵， ∴， ∵正方形的边长为8， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 【答案】（1）EF⊥AC，理由如下： 连接AE、CE，如图所示： ∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，点E是BD的中点， ∴， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）EF=8 【解析】 【分析】（1）连接AE、CE，根据题意易得AE=CE，然后根据等腰三角形的性质可证； （2）由题意易得∠AEC=90°，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可得：△AEC是等腰三角形，AE=BE，BE=EC， ∴∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB， ∴∠AED=2∠ABE，∠DEC=2∠EBC， ∵∠ABC=45°=∠ABE+∠EBC， ∴∠AEC=∠AED +∠DEC=2∠ABC=90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AC=2EF， ∵AC=16， ∴EF=8． 【点睛】本题主要考查直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，D为上一点，M为上一点，且． （1）若，则 （用含α的式子表示）； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，设与交于点F， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：如图所示，过点A作交于点G，交于点Q，过点M作交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识点， （1）利用三角形的外角的性质和等边对等角的性质即可推出； （2）如图，设与交于点F，由三角形的内角和与（1）的结论可推出，由等边对等角的性质可推出，进而即可得解； （3）如图所示，过点A作交于点G，交于点Q，过点M作交于点N，先证出，再证出得出，然后代入化简即可得证； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 如图1，在长方形纸片中，，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）若连接，当点Q落在上时，的长为_____； （2）如图2，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长； （3）如图3，点M是的中点，连接，． ①的最小值为______； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）①；②或6或16 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． （1）由Q点在上，利用勾股定理先求出的长，再由折叠的性质得，进而即可求解； （2）如图，连，设，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案； （3）①通过，可得出Q点的运动轨迹，是以A点为圆心，6为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的Q点为最短的长度；②分，两种情况讨论，即可得解． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：如图，连接，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴Q点的运动轨迹，是以A为圆心，6为半径的圆弧， ∴的最小值在的连线上，如图，即为所求，   ∵M是中点，， ∴，， 故答案为：； ②如图， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，若点Q在上， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在上方时，如图，过点M作于N， ∵， ∴，， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或6或16． 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