14.2.1平方差公式 同步练习 2024-2025学年人教版数学八年级上册

14.2.1� �平方差公式 一、单选题 1．计算：（    ） A．30 B．300 C．900 D．3000 2．（    ） A． B． C． D． 3．若，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D．5 4．若，则n的值是（    ） A．12 B．10 C．8 D． 5．若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 6．等于（    ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（    ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 9．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则 ． 12．若，，则，的数量关系为 ． 13．计算：的结果是 ． 14．若，，则 ． 15．若正方形的边长增加，其面积增加，则该正方形的边长是 ． 三、解答题 16．化简：． 17．先化简，再求值：，其中． 18．化简求值：，其中，． 19．阅读下面问题： 你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：______； _______； ______；… 由此猜想________． (2)利用得出的结论计算： 20．如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形． (1)【探究】 ①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________； ②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）； (2)【应用】请应用这个公式完成计算：． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 2．B 【分析】根据平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 【详解】解：（3+2y）（3-2y） =32-（2y）2 =9-4y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键． 3．B 【分析】先进行整式的混合运算将原式化简，再整体代值计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．A 【分析】利用平方差公式将原式变形为，可得，从而得到n值． 【详解】解： = = = = ∴n=12， 故选A． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是利用平方差公式将已知式子变形． 5．B 【分析】把利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可． 【详解】， 又， ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便． 6．B 【分析】把原式变形为利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故选：B 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的内容是解题的关键． 7．B 【分析】先利用平方差公式，得=，再整体代入化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴=====． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算法则以及平方差公式是解题的关键． 8．A 【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是完美数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是完美数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是完美数， ∴B，D选项都是完美数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是完美数， 所以C选项是完美数，不符合题意， A选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是完美数，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记）是解题的关键． 9．D 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：， ∵两图中阴影部分的面积相等， ， ∴可以验证成立的公式为， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 11． 【分析】设，将变为：，解出x的值，根据，，得出，即，即可得出答案． 【详解】解：设，则可变为： ， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴舍去， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体思想． 12． 【分析】由平方差公式计算出b的值，由零指数幂计算出a的值，比较即可得数量关系． 【详解】解： ， 而， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，零指数幂等知识，灵活运用平方差公式是解题的关键． 13．0 【分析】本题考查了整式的运算，利用平方差公式计算即可， 【详解】解： ． 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：6． 15．3 【分析】本题考查用方程解应用题，涉及平方差公式、解一元一次方程，设该正方形的边长是，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设该正方形的边长是，则 ，解得， 设该正方形的边长是， 故答案为：3． 16． 【分析】根据平方差公式，多项式除以单项式，进行计算即可求解． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，掌握平方差公式，多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 17．， 【分析】先去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：[（3﹣2x）（2x+3）﹣x（2x﹣3）﹣9]÷3x ＝（9﹣4x2﹣2x2+3x﹣9）÷3x ＝（﹣6x2+3x）÷3x ＝﹣2x+1， 当x＝3时，原式＝﹣2×3+1 ＝﹣6+1 ＝﹣5． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．， 【分析】先利用平方差公式去小括号，再合并同类项，最后计算除法，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式＝﹣5×（） ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 19．(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键． （1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④； （2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④由此猜想， 故答案为：，，，； （2）解： ． 20．(1)①；；②； (2)3999999． 【分析】（1）①、图①阴影部分的面积为两个正方形面积的差，图②阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积； ②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，即可列出式子； （2）将转化为，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①、在图①中： 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 阴影部分的面积为：； 在图②中： 阴影部分为长方形，且长为，宽为， 阴影部分的面积为：； ②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等， 可得到乘法公式：； （2）原式． 【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，用代数式表示阴影部分的面积是得出平方差公式的关键． 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$