精品解析：河南省三门峡市陕州区2024—2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年上学期期中教情学情诊断 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝黑水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、 选择题（每小题3分，共30分 ） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：化为一般式，得 ， 二次项系数和一次项系数分别是5，， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是( ) A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，得顶点坐标是，对称轴是直线． 【详解】抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点的对称点的坐标特点：横、纵坐标都互为相反数，据此进行求解即可得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标系中关于原点对称的点的坐标关系，熟练掌握“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”是解题关键． 5. 如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=72°，则∠ACB的度数为（　　） A. 36° B. 24° C. 48° D. 144° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形外角性质以及三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10. 若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由与有两个交点，可知有两个不相等的实根，即，可得关于的不等式；再由，不等式左边展开，利用韦达定理可得关于的不等式，联立不等式组即可． 【详解】解：因为与有两个交点，所以，即有两个不相等的实根，即，解得：， 由整理得： ， 由韦达定理可知：，代入上式得，，解得：， 联立解得：， 故选：A． 【点睛】本题结合函数考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是理解图像有两个交点等价于方程有两个不相等实数根，从而得出含的不等式，利用韦达定理展开已知含两根的不等式得出含的不等式． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 【答案】x1=0，x2=2 【解析】 【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 12. 如图，四边形内接于 ，若它的一个外角 ，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据邻补角互补和圆的内接四边形对角互补可得：，进而求出求出答案； 【详解】解： 四边形 内接于 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质；掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 13. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转可得：再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵由旋转可得： ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：且 ． 15. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 【答案】3.5 【解析】 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米， 故答案为：3.5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握求根公式，配方法，因式分解法的运用是解题的关键． （1）确定，，运用求根公式，代入计算即可； （2）先移项，再提取公因式，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， ∴，． 17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每支支干长出7个小分支． 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出x2个分支,则共有x2+x+1个分支,即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1=57， 解得：x=7或x=﹣8（不合题意，应舍去）， ∴x=7 答：每支支干长出7个小分支． 18. 如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据圆周角定理求出，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵切于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上（点E不与点B重合）． （1）求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）试判断线段、的位置关系，并证明． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） ， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作，在上截取，连接即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出，再根据旋转的性质得出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平行线的判定，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，并写出各顶点的坐标； （2）请在图中画出绕点顺时针旋转180°后的图形． 【答案】（1） 如图所示． ，， （2） 如图所示． 【解析】 【分析】对于（1），将点A，B，C绕点O逆时针旋转，再连接三个顶点，并确定坐标； 对于（2），将三个点绕原点旋转，再连接三个顶点即可． 【小问1详解】 点的坐标，点的坐标是，点的坐标是； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了作旋转图形，确定图形各顶点旋转后的对应点是解题的关键． 21. 如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？ 【答案】通道应设计成2米． 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30－2x）m，宽为（20－x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30－2x）（20－x）=6×78． 【详解】设道路的宽为xm，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）=6×78， 整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0， 解得x=2或x=33舍去）， 答：通道应设计成2米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 22. 如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角性质，旋转的性质可得，，将绕点顺时针旋转得到，过作垂线交延长线于，过作于，作于，当点运动时，的最小值是，运用等腰三角形的性质，中点的定义得到，，，根据矩形的判定可得四边形为矩形，由此可得，在运用含角的直角形可得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到，过作垂线交延长线于，过作于，作于， 在是等边三角形中，，是的中点， 由旋转性质可得，，，， ∵是直线上一动点， ∴当点运动时，的最小值是， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，理解当点运动时，的最小值是，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，图形转换的解题方法是解题的关键． 23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元． （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本； （2）求与的函数关系式； （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），；（2）；（3）当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元． 【解析】 【分析】（1）用原来的利润加上涨价的利润即为现在的利润，销量在原来的基础上减少后即可； （2）用涨价后单件的利润乘以销售量即可列出函数关系式； （3）利用公式或配方后即可确定最大值． 【详解】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x−40）元，平均每天可销售90−3（x−50）＝（240−3x）本． 故答案为：， ； （2） （其中，）； （3）当时， ∴当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用和性质，解题的关键是掌握二次函数的应用和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期中教情学情诊断 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝黑水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、 选择题（每小题3分，共30分 ） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 3. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是( ) A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=72°，则∠ACB的度数为（　　） A. 36° B. 24° C. 48° D. 144° 6. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 10. 若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 12. 如图，四边形内接于 ，若它的一个外角 ，则的度数为___________． 13. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝______． 14. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____． 15. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？ 18. 如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 19. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上（点E不与点B重合）． （1）求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）试判断线段、的位置关系，并证明． 20. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，并写出各顶点的坐标； （2）请在图中画出绕点顺时针旋转180°后的图形． 21. 如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？ 22. 如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，求的最小值． 23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元． （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本； （2）求与的函数关系式； （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $