三角函数的图象与性质 课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第25讲 三角函数的图象与性质 1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小） 值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质,正切函数在 上的性质. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1） 在函数，的图象中，五个关键点是： ，_______, ,_ __________， . （2） 在函数，的图象中，五个关键点是： ，_______， ,_ ________, . 3 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 ） 函数 性质 图象 定义域 _ __________________ 值域 ________ ________ 最小正周期 ____ ___ 4 函数 性质 奇偶性 _________ _________ _________ 单调递增区 间 _ _____________________ _____________ ___________ _ __________________ 单调递减区 间 _ ______________________ _____________ ____________ 无 奇函数 偶函数 奇函数 ， 续表 5 函数 性质 对称中心 _________ _ _____________ _ ________ 对称轴方程 _ ____________ _________ 无 续表 6 常用结论 1.函数和的最小正周期 ,函数 的最小正周期 . 2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 ,相邻的对 称中心与对称轴之间的距离是,其中 为最小正周期.正切曲线相邻两对称中心之 间的距离是,其中 为最小正周期. 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.函数 的最大值为___,最小正周期为_____. 3 [解析] 由知,, 其最小正周期 . 8 2. 函数 的定义域为_________________________. [解析] 因为，，所以，， 故函数 的定义域为 . 9 3. 函数 的单调递增区间为 _ _____________________________. , [解析] 由 ,，解得, ， 所以函数的单调递增区间为, . 10 4. 函数 的最小正周期为___. [解析] 的图象是由的图象将 轴下方的部分向上翻折， 并保留轴及其上方的部分得到的,所以的最小正周期为 . 11 题组二 常错题 ◆ 索引：记错（或）中 与最小正周期 的关系致误;忽 视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的取值范围致误. 5.设 为实数，函数的最小正周期为，则 的值为_____. [解析] 由题意可得，则 . 12 6.函数 的最大值为___. 1 [解析] ,, 当时, . 13 7.函数在 上的最大值是_____. [解析] , 当 时，， 当，即时，取得最大值 . 14 探究点一 三角函数的定义域 例1（1） 函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. [解析] 由,得,,, 函数的定义域为 .故选D. ［思路点拨］（1）根据对数函数的定义域可得 ,求解即可. 15 （2） 函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. [解析] 由，得， 且 ，，， ，故选A. ［思路点拨］（2）根据正切函数的定义域及分母不等于零构造不等式组求解即可. 16 （3） 函数 的定义域为 _ _______________________________________. ［思路点拨］（3）思路一：根据偶次根式的被开方数大于或等于0,结合正弦、余 弦函数的图象与性质进行求解；思路二：对进行三角恒等变换，化为 ，进而求解. 17 [解析] 方法一：要使函数有意义，则 . 在同一坐标系中画出和在 上的图象，如图所示. 在 内，当，时，满足 ， 再结合正弦、余弦函数的最小正周期是 ， 可知原函数的定义域为 . 18 方法二：要使函数有意义，则 ， 由正弦函数的图象和性质可知 ， ， 解得， ， 所以原函数的定义域为 . [总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式（组）,常借助三角函数的 图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解. 20 变式题 函数 的定义域为_ ____________________. [解析] 由知解得 ， 或， 函数 的定义域为 . 21 探究点二 三角函数的值域或最值 例2（1） 函数在区间 上的 最小值为( ) C A. B. C.1 D.2 [解析] ， 因为,所以，则， 所以在 上的最小值为1.故选C. ［思路点拨］（1）利用辅助角公式化简，然后结合三角函数的性质求解即可. 22 （2） 已知函数的定义域为，值域为 ，则 的最大值是( ) C A. B. C. D. [解析] 因为的值域为，所以 . 又，所以 ，根据正弦函数的图象可知， 解得，所以的最大值是 .故选C. ［思路点拨］（2）根据已知可推得， ，结合正弦函数的图象可知 ，解不等式即可. 23 （3） [2023·重庆南开中学质检] 函数 的值 域为_ ______. [解析] ， 令，则， 则的值域转化为， 的值域， ，所以， 所以函数 的值域为 . ［思路点拨］（3）利用换元法和二次函数的性质即可求得 的值域. 24 [总结反思] 求三角函数的值域（最值）的几种方法: ①形如的三角函数,可化为 的形式,再 求值域（最值）; ②形如的三角函数,可设,化为关于 的二次函数,再 求值域（最值）; ③形如的三角函数,可设 ,化 为关于 的二次函数,再求值域（最值）； ④形如 的可考虑基本不等式. 25 变式题（1） [2023·山东泰安期末] 已知函数在 处取得最大值，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为， 其中 ,， 当 时，取得最大值，所以 , ， 所以 ,， 所以 ， ,故选A. 26 （2） 已知函数，则 的最大值为 ___________. [解析] 设，则 ， ， ， 当 时，，即 . 27 探究点三 三角函数的性质有关问题 微点1 三角函数的周期性 例3（1） （多选题）下列函数中，最小正周期为 的是( ) ABC A. B. C. D. ［思路点拨］（1）根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出 结论. 28 [解析] 对于A，， 所以它的最小正周期为 ，满足题意； 对于B，的最小正周期为 ，满足题意； 对于C，的最小正周期为 ，满足题意； 对于D， 的最小正周期为，不满足题意.故选 . 29 （2）已知函数 的最小正周期为，若,为的零点，则 的最小值为___. 3 [解析] 因为，所以最小正周期 ， 因为， ，所以 ， 即，又为的零点，所以 , ， 解得,，因为，所以 . ［思路点拨］（2）首先表示出，根据求出 ，再根据 为函数的零 点，即可求出 的取值，从而得解. 30 [总结反思] 求三角函数的最小正周期的常用方法 （1）公式法:函数或的最小正周期 ,函 数的最小正周期 ; （2）图象法:利用三角函数图象的特征求最小正周期. 31 微点2 三角函数的奇偶性与对称性 例4（1） 已知函数 ，则下列说法正确的是 ( ) B A.为奇函数 B. 为偶函数 C.为奇函数 D. 为偶函数 ［思路点拨］（1）利用降幂公式及辅助角公式化简 ，然后分别求出 ，，判断奇偶性即可. 32 [解析] . ，所以 为偶函数， 故A错误，B正确； ， 所以函数 为非奇非偶函数，故C，D错误.故选B. 33 （2） [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记函数 的最小正周 期为，若 ,且的图象关于点中心对称，则 ( ) A A.1 B. C. D.3 ［思路点拨］（2）根据函数 图象的对称中心得到,再根据函数的最小正周期 的范围和图象的对称中心得到 的值,进而得到所求. 34 [解析] 因为 ,即 ，所以. 因为 的图象关于点中心对称， 所以，且 ， ,解得,, 又，所以,,所以 ， 所以 . 35 [总结反思] （1）对于函数 ,其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点 或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线或点 是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验 的值进行判断. （2）函数的图象的对称性与最小正周期 之间有如下结论: ①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线与直线 ,则最小正周期 ;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点与点 ,则最小 正周期;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点 与直线 ,则最小正周期 . 36 微点3 三角函数的单调性 例5（1） 函数 的单调递减区间为 ( ) A A.， B.， C.， D.， [解析] 由 ,,解得 , ， 故的单调递减区间为, ，故选A. ［思路点拨］（1）根据整体法列不等式求解. 37 （2） [2022·北京卷] 已知函数 ,则( ) C A.在上单调递减 B.在 上单调递增 C.在上单调递减 D.在 上单调递增 [解析] ，令 , ， 得,， 函数的单调递减区间为 . 同理，的单调递增区间为 .结合选项可知，C选项正确. ［思路点拨］（2）化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断 可得出正确的选项. 38 [总结反思] （1）解决形如的函数的单调性问题,一般是将 看成一个 整体,再结合图象利用 的单调性求解.如果函数中自变量的系数为负值,那 么要根据诱导公式先把自变量的系数化为正值,再确定其单调性. （2）已知函数的单调性求参数,可先求出 的取值范 围,再根据是函数 的单调区间的子区间列不等式（组）求解. 39 1.【微点3】下列区间中，函数 单调递增的区间是( ) A A. B. C. D. [解析] 方法一：当， ， 即，时，函数 单调递增，故选A. 方法二：当时，，函数单调递增； 当 时，，函数不单调递增， 同理可知，区间, 均不是函数 的单调递增区间.故选A. 40 2.【微点1、微点2】[2023·天津卷] 已知函数 的图象的一条对称轴为直线 ,一个周期为4，则 的解析式可能为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为函数 的一个周期为4，且C，D选项中函数的最小正周期为8， 所以排除C，D. 对于A，当时，， 所以直线 不是该函数图象的对称轴，排除A.对于B， 当 时，， 所以直线 是该函数图象的对称轴.故选B. 41 3.【微点1、微点2】 记函数 的 最小正周期为.若 ，且点和直线分别是 图象的对称 中心和对称轴，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 点和直线分别是 图象的对称中心和对称轴， ，得， , , ，故选A. 42 4.【微点3】 已知函数 在 区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 43 [解析] 依题意，函数,， 由 ，得， 因为在区间 上单调递增， 所以且，解得且，即. 当 时，， 因为在区间 上只取得一次最大值， 所以 ，解得，所以 的取值范围是 .故选B. 44 5.【微点2、微点3】（多选题）[2024·九省联考] 已知函数f(x)=sin+ cos,则 ( ) A.函数f为偶函数 B.曲线y=f(x)的对称轴为x=kπ,k∈Z C.f(x)在区间单调递增 D.f(x)的最小值为-2 AC 45 [解析]由题知f(x)=sin=-sin 2x, 则f=-sin 2=cos 2x,∴f为偶函数,A正确; 令2x=+kπ,k∈Z,得x=+π,k∈Z,即曲线y=f(x)的对称轴为x=+π,k∈Z,B错误; 当x∈时,2x∈,∴f(x)在区间单调递增,C正确; f(x)min=-,D错误. 故选AC. 46 提升习题 47 【备选理由】例1考查三角函数在给定区间上的最值问题;例2考查三角函数的周 期性与其图象的对称性问题;例3考查三角函数的周期性、单调性、函数图象的对 称性的综合问题;例4考查三角函数的周期性与单调性及利用单调性确定参数的最 值问题. 48 1 ［配例2使用］ 已知函数， 的值域为 ，则 的取值范围为_ _______. [解析] 当时，,的值域为 , ，解得，即 的取值范围为 . 49 2 ［配例3、例4使用］ 已知函数 的最 小正周期为 ，则 图象的对称轴方程可能是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为的最小正周期为 ，所以恒成立， 故 ，，故. 令，，得， ， 所以图象的对称轴方程为，，当时， .故选B. 50 3 ［配例3、例4、例5使用］ （多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是( ) AB A.函数的一个周期为 B.直线是 图象的一条对称轴 C.点是 图象的一个对称中心 D.在区间 上单调递减 51 [解析] 对于A，的最小正周期 ，故A正确； 对于B，, 所以是 的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，因为的图象可由函数 的图象向上平移2个单位得到， 所以 的图象的对称中心的纵坐标为2，故C错误； 对于D，当时，， 故在上不单调，故D错误.故选 . 52 4 ［配例3、例5使用］ 已知函数 的最小正周期为 .若在区间 上单调 递增，则 的最大值为_ ___. [解析] ， 因为的最小正周期为 ，所以 ，得. 当 时，， 因为在区间上单调递增，所以 ，解得， 所以的最大值为 . 53 $$