简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第24讲 简单的三角恒等变换 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式 进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不 要求记忆）. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1. 半角公式 （1） 公式 ； （2） 公式： ； （3） 公式： （符号由角的范围确定）. 3 2.常用的部分三角公式 （1） _________, _________.（升幂公式） （2） _ __________________.（升幂公式） （3） ,_ ________, _________.（万能公式） （4） _______________________,其中 , .（辅助角公式） 4 3. 三角恒等变换的基本技巧 （1） 变换函数名称：使用诱导公式. （2） 升幂、降幂：使用倍角公式. （3） 常数代换：如 . （4） 变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式. 5 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1. 的值是______. [解析] . 6 2. 已知,则 的最小正周期是___. [解析] ,故的最小正周期 . 7 3.若，，则 的值为_____. [解析] 由,得，， . 8 题组二 常错题 ◆ 索引：公式的结构套用错误;已知三角函数值求角时范围不清致误; 中 的值确定错误. 4. 的值为___. [解析] . 9 5.已知 , 均为锐角,且,,则 ____. [解析] , 因为 ， 均为锐角，所以 ,所以 . 10 6.中的 ________________. , [解析] ,则, , 所以, . 11 探究点一 三角函数式的化简 例1（1） 化简 的结果是 ( ) D A. B. C. D. [解析] 原式 .故选D. ［思路点拨］（1）利用正弦、余弦的二倍角公式化简即可. 12 （2） 化简 的值为( ) D A. B.2 C. D.1 [解析] ，故选D. ［思路点拨］（2）将 化切为弦，利用诱导公式、二倍角公式化简即可. 13 [总结反思] 1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则: ①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”. 2. 三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角 函数式时，一般需要升次. 14 变式题（1） 已知 ,化简: _______. [解析] ,, ， . 15 （2） 化简： __________. [解析] 原式 . 16 探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值 例2（1） [2023·新课标Ⅰ卷] 已知， ，则 ( ) B A. B. C. D. ［思路点拨］（1）根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式或积化和差公式 求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 17 [解析] 方法一：因为， ， 所以，所以 ， 所以 . 方法二：由， ， 可得，所以 . 18 （2） [2023·江苏南通一调] 已知,则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 , 所以，所以 , 则 ,故选B. ［思路点拨］（2）根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式、二倍角的余弦公式 求解. 19 [总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值（或三角函数式的值）求与该角相关的其 他三角函数值（或三角函数式的值）的问题,解题关键是“变角”,使角相同或具有某 种关系. 20 变式题（1） 已知，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为，所以由得 , 则 ,故选A. 21 （2） 设 为锐角，若，则的值为___， 的值为_ ___. [解析] 为锐角，,又， ， . 22 角度2 给角求值 例3（1） [2023·重庆渝中区六调] 的化简结果为( ) B A. B.1 C. D.2 [解析] 原式 ,故选B. ［思路点拨］（1）利用二倍角公式及辅助角公式可化简所求代数式. 23 （2） ( ) B A.1 B. C. D. [解析] ，故选B. ［思路点拨］（2）利用同角三角函数公式化切为弦，整理后利用辅助角公式与二倍角公式化简求值. 24 [总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角, 或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 25 变式题（1） 计算： ( ) C A.1 B.2 C. D. [解析] 原式 . 26 （2） 计算： _ _____. [解析] . 27 角度3 给值求角 例4 已知, . （1） 求 的值; 解：因为,所以 , 又,所以 , 所以 . ［思路点拨］（1）根据,得到 ,由同角三角函数关系式求 得的值,然后由两角差的余弦公式求解 即可; 28 （2） 若,,求 的值. 解： 由（1）可知 , 所以 , 因为,所以 . ［思路点拨］（2）由（1）可知 ,然后由两角差的正切公式求解即可. 29 [总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则: （1）已知正切函数值,则选正切函数. （2）已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是 ,则选正、余 弦函数皆可;若角的范围是,则选余弦函数较好;若角的范围为 ,则选正 弦函数较好. 30 变式题（1） 已知 ，, 与 是方程 的 两个根，则 ( ) C A. B. C. D.或 [解析] 与 是方程 的两个根， ，，,， ,，， ， .故选C. 31 （2） 已知 ，，且 ， 为锐角，则 ___. [解析] 因为，且 为锐角，所以 . 因为，且 为锐角，所以 ， 则 ， ， 所以. 因为 ，，所以，故 . 32 探究点三 三角恒等变换的综合应用 例5 已知向量,, . （1） 若，求 的值； 解：因为，所以 ， 所以 ，所以 ， 则原式 . ［思路点拨］（1）由求出 的值，然后将原式的分子、分母同时除以 ，将其转化为关于 的式子，由此求出结果； 33 （2） 若，求 的值. ［思路点拨］（2）由 求出的值，然后再将表 示为 ，结合两角和的正弦公式求出结果. 解： 因为，且 ， 所以 ， 整理得 ，所以，即 . 34 因为 ，所以 ， 又，所以 ，所以 ， 所以 . [总结反思] （1）进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其要注意角之 间的关系,注意公式的逆用和变形使用. （2）把化为 的形式,可进一步研究函 数的周期性、单调性、最值等. 36 变式题 已知函数 的最小正周期为8. （1） 求 的值及函数 的单调递减区间； 解：由已知可得，， 的最小正周期，，， . 由得， 的单调递减区间为 . 37 （2） 若，且，求 的值. 解： ，则， 由 ，知 ， ，则 38 探究点四 三角恒等变换的实际应用 例6 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对该小区内一 块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形 为停车 场，其余部分建成绿地，点在弧上，点和点分别在 和上，且米，，设 . 39 （1） 求停车场的面积（单位：平方米）关于 的函数关系式，并指出 的 取值范围. 解：因为四边形为平行四边形，所以， . 在中，由正弦定理得 ， 即，得 ， 所以 ，其中 . ［思路点拨］（1）在中，利用正弦定理用 相关的三角函数表示出 ， 再根据面积公式可求停车场的面积（单位：平方米）关于 的函数关系式，结 合题意可得 的取值范围； 40 （2） 当 为何值时，停车场的面积最大？其最大值为多少？（ ， 结果精确到0.1平方米） 解： 由（1）知 ，当，即时，停车场的面积 最大， 其最大值为 （平方米）. ［思路点拨］（2）利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数的单调性可 求最大值． 41 [总结反思] 应用三角恒等变换解决实际问题的步骤 42 变式题 [2023·上海青浦高级中学质检] 一年之计在于春， 春天正是播种的好季节.小林的爷爷对自己的一块正方形菜 园做了一些计划.如图， 是边长为80米的正方形菜园， 扇形区域计划种植花生，矩形 区域计划种植蔬 菜，其余区域计划种植西瓜.，分别在，上，, 分别在,上，在弧上，米，设矩形 的面积为 （单位：平方米）. 43 （1） 若 ，请写出（单位：平方米）关于 的函数关系式； 解：延长交于 ，如图， 则 米， 米， 米，米， . 44 （2） 求矩形 面积的最小值. 解： 由（1）得 ， 令 ，则 ， ， ， ， ， 当时， ， 即当时，矩形 的面积取得最小值，最小值为1400平方米. 45 提升习题 46 1 ［配例1使用］ 等于( ) B A. B. C. D. [解析] ，， ， ， ， 原式 . 47 2 ［配例2使用］ [2023·江苏扬州中学模拟] 已知 ，且 ，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 设 ,,则， ， 即 ,即 , 又 ,所以,则 . 故选D. 48 3 ［配例3使用］ _____. [解析] . 49 4 ［配例4使用］ 已知，，若，则 _ __. [解析] 由，，得 . 由，得， 又 ， . 由， 得 ， . 50 5 ［配例6使用］ [2024·唐山模拟] 如图，扇形 的 半径为1，圆心角为，平行四边形的顶点 在扇形弧 上，在半径上，，在半径 上，记平行四边形 的面积为， . 51 （1） 用 表示平行四边形的面积 . 解：如图，分别过点，作的垂线， ，垂足分别为，， 则四边形为矩形，所以， . 在中， ， .在中， ， 所以 ，所以 . 因为为平行四边形的高， 所以平行四边形 的面积， . 52 （2） 当 取何值时，平行四边形的面积 最大？并求出这个最大面积. 解： 由（1）知， . 因为，所以. 当，即时， 取得最大值，最大值为 . 53 $$