山东省济南第一中学2024-2025学年高三上学期期中学情检测数学试题

nullnull 第1页/ 共4页 济南一中 2022 级高三上学期期中学情检测 数学试题 本试卷共 4页，19题，全卷满分 150分.考试用时 120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合  35 5 , { 3, 1,0,2,3}A x x B= −   = − −∣ ，则 A B =（ ） A．{ 1,0}− B．{2,3} C．{ 3, 1,0}− − D．{ 1,0,2}− 2. 已知 i 2 2i z = − ，则 z ＝（ ） A. 2 B. 1 C. 2 4 D. 2 2 3. 若 a b a b+ = − ， ( ) ( )1,2 , ,3a b m= = ，则实数m =（ ） A. 6 B. 6− C. 3 D. 3− 4. 函数 ( )f x 的定义域为[1, )+ ，数列 na 满足 ( )na f n= ，则“函数 ( )f x 为减函数”是 “数列 na 为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．一组数据按从小到大的顺序排列为 1，4，𝑚，12，14，21，若该组数据的中位数是极 差的 3 5 ，则该组数据的第 45 百分位数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 6. 已知 (3 1)( 1)nx x− + 的展开式中所有项的系数之和为 64，则展开式中含𝑥4的项的系数为 （ ） 第2页/ 共4页 A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 7．已知 0m  ， 0n  ，直线 2 e y x m= + 与曲线 2ln 4y x n= − + 相切，则 1 1 m n + 的最 小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．函数 ( ) 1 1 ln sin 2 1 x f x x x + = − − 的零点个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0分. 9．下列命题正确的是（ ） A．线性回归直线 ˆ ˆy bx a= + 不一定经过样本点的中心 ( ),x y B．设 ~ ( , )B n p ，若 ( ) 30E  = ， ( ) 20D  = ，则 90n = C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1 D．一个袋子中有 100个大小相同的球，其中有 40个黄球、60个白球，从中不放回地 随机摸出 20个球作为样本，用随机变量 X表示样本中黄球的个数，则 X服从二项分 布，且 ( ) 8E X = 10．已知 ( ) sin( )f x A x = + （ 0A  ， 0  ， π 0 2   ）的部分图象如图所示，则（ ） A． 2A = B． ( )f x 的最小正周期为 π C． ( )f x 在 5π 5π , 12 6   −    内有 2 个极值点 D． ( )f x 在区间 11π , 2π 6       上的最大值为 2 第3页/ 共4页 11. 已知抛物线 2: 2C x y= 的焦点为F ，准线为 l，A 、 B 是C 上异于点O的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（ ） A. 若A 、F 、 B 三点共线，则 AB 的最小值为2 B. 若 3 2 AF = ，则∆𝐴𝑂𝐹的面积为 2 4 C. 若OA OB⊥ ，则直线 AB 过定点 ( )2,0 D. 若 60AFB = ，过 AB 的中点D作 DE l⊥ 于点E ，则 AB DE 的最小值为1 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知 A工厂库房中的某种零件 60％来自甲公司，正品率为 90％；40％来自乙公司，正 品率为 95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为 ． 13．古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立 地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之 二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为 8 6π，则该模型中圆柱的表面积为 ． 14．已知 b是𝑎, 𝑐的等差中项，直线 0ax by c 与圆 2 2 4 1 0x y y+ + − = 交于 ,A B两点，则 AB 的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.（13 分）如图，在平面内，四边形 ABCD满足 B ，D点在 AC 的两侧， 1AB = ， 2BC = ，∆𝐴𝐶𝐷为正三角形，设 ABC  = . (1)当 π 3  = 时，求 AC ； (2)当 变化时，求四边形 ABCD面积的最大值. 16.（15 分）如图，在四棱锥P ABCD− 中， AD BC∥ ， 2 2 4PA BC AD AB= = = = ， AD⊥平面PAB，PA AB⊥ ，E 、F 分别是棱 PB 、PC 的中点． (1)证明： / /DF 平面 ACE； (2)求平面 ACE与平面PAD的夹角的正弦值． 第4页/ 共4页 17.（15 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   的离心率为 3 2 ，且过点 3 (1, ) 2 . (1)求椭圆C 的方程； (2)过点 ( )1,0M 的直线 l与椭圆C 交于点A 、 B ，设点 1 ( ,0) 2 N ，若𝛥𝐴𝐵𝑁的面积为 3 10 ，求 直线 l的斜率 k . 18.（17 分）已知函数 3( ) exf x ax a= − − ． (1)当 1a = 时，求曲线 ( )y f x= 在点 ( )1, (1)f 处的切线方程； (2) 当 0a  时, （i）求 ( )f x 的极值； （ii）若 ( )f x 的极小值小于 0，求 a的取值范围． 19.（17 分）已知数列 na 满足 1 1a = ，且对任意正整数 ,m n都有 2m n n ma a a mn+ = + + . (1)写出 2 3,a a ，并求数列 na 的通项公式； (2)设数列 ( 1)n na− 的前n 项和为 nS ，若存在正整数 k ，使得 12 9 0k kS S+ + + = ，求 k 的值； (3)设 1 1 1 1 ln 1 , 2 n n n n b T a a +   = + +    是数列 nb 的前n 项和，求证： 1 n n T n  + . 济南一中2022级高三上学期期中学情检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知，则＝（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】考查复数除法和复数的模. 故选：C. 3. 若，，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】因为，所以 ， 即 ，所以， 因为，，所以， 所以，解得. 故选：B. 4. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 5．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是， 根据六个数的中位数是：，解得， 故选：D. 6. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】所有项的系数之和为64，∴，∴ ，展开式第项， 时，，， 时，，，， 故选：B． 7．已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】由于直线 与曲线 相切， 设切点为，且，所以， 则切点横坐标 ，则，即 . 所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1. 故选：D 8. 函数的零点个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】由，可得，即定义域为， 所以， 由于，故， 即，当且仅当时取等号， 即在上为单调递增函数，又， 所以仅有一个零点． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（  ） A．线性回归直线不一定经过样本点的中心 B．设，若，，则 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 【答案】BC 【解析】A：线性回归直线一定经过样本点的中心，故A错误； B：由，得，解得，故B正确； C：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确； D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本， 所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，得，故D错误； 故选：BC 10．已知（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在内有2个极值点 D．在区间上的最大值为2 【答案】ABC 【解析】对于AB，根据函数的部分图象知，， ，，故AB正确， 对于C，由五点法画图知，，解得， 由于，所以，. 令，则， 时，，时，， 当时，，当时，，当时，， 故在内有2个极值点，分别为，，故C正确， 对于D，，可得：， 故当此时取最大值，故D错误.故选：ABC. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的最小值为 B. 若，则的面积为 C. 若，则直线过定点 D. 若，过的中点作于点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，易知抛物线的焦点为， 当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 易知，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，设点，，可得，所以，， 则，所以，，B对； 对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为， 设点、，由于直线不过原点，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得，所以，， 因为，则，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点，C错； 对于D选项，过点作于点，过点作于点， 设，，所以， 因为 ， 所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为 【答案】0.92 【解析】因为A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％， 所以从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为， 故答案为：0.92 13．古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 【答案】 【解析】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ， 故答案为：. 14．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 【解析】（1）因为，，， 由余弦定理可得：. （2）由余弦定理可得， 因为为正三角形，所以， ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故当时，四边形面积的最大值为. 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【解析】（1）如图所示，连接．    因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，, 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 17．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得， 解得， 由椭圆过点，得， 联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， ，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ， 解得， 所以直线的斜率.    18．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2) 当时（i）求的极值； （ii）若的极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）（i）因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. （ii）由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二： 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19.本小题17分 已知数列满足，且对任意正整数都有. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； (3)设是数列的前项和，求证：. 【详解】（1）因为对任意正整数都有， 故，， 令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以； （2）由（1）得，当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， . 综上所述，； 若为偶数，则为奇数，由，得， 解得（舍去）或； 若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解， 不合题意，舍去. 综上，所求的值为2. （3）由 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以. 故 学科网（北京）股份有限公司 $$