第五章 一元一次方程 单元测试 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

· 七上第五章一元一次方程单元测试卷 · 考试时间120分钟,满分120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），是一元一次方程的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列方程变形正确的是（    ） A．由，得 B．由去括号得： C．由，得 D．由，去分母得： 4．已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（　　　） A．1 B． C． D．﹣2 5．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？设买一个物品共有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某电器商场购进一批冰箱，每台进价为2000元，为了促进销售，商场决定所有商品按标价八折再减80元销售，若想按这种方式销售每台冰箱仍能获利，该冰箱的标价应是（    ） A．2280 B．2850 C．2880 D．3000 7．一件夹克衫先按成本价提高60%标价，再将标价打7折出售，结果获利36元．设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为（    ） A．﹣2 B．4 C．6 D．8 9．某商场经销一种商品，由于进货价格比原来价降低了，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率为（    ）． A． B． C． D． 10．整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(每题3分,共18分) 11．若关于x的方程是一元一次方程，则 ； 12．若代数式与互为相反数，则 ． 13．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺26本．这个班有多少学生？若设这个班有名学生，则可列方程 ． 14．姐姐7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当姐姐 岁时，正好是妹妹年龄的3倍． 15．小军同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为 ． 16．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过 分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°． 三、解答题(第17.18.19题每题6分,第20题7分,第21题8分,第22题8分,第23题9分,第24题12分,第25题10分) 17. 解方程： 18. 解方程： 19. 解方程： ． 20．下面是解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写对应步骤的变形依据． 解：原方程可变形为分数的基本性质 去分母，得　　． 去括号，得　　． 　　，得　　． 合并同类项，得　　． 　　，得　　． 21．有两支同样长的蜡烛，甲能点燃4小时，乙能点燃3小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现乙的剩余部分是甲的剩余部分的一半，则一共停电时间几小时． 22．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 23．甲、乙两人同时从A地去B地，A、B两地相距12千米，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲到达B立刻返回在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时，求乙的速度． 24．对数轴上的点和线段，给出如下定义：若点是线段的中点，点是线段的中点，则称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点A在点的左侧），（点在点的左侧）．          (1)若点的位置如图1所示，则线段的中点表示的数是 ，线段的中点表示的数是 ，线段与的“中距离”为 ； (2)在图2中，线段在数轴上同时向数轴正方向运动，点A从表示的点出发，点从表示的点出发，线段的速度为每秒1个单位长度，线段的速度为每秒2个单位长度． 设运动时间为． ①当时，线段与的“中距离”为 ； ②当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度的2倍时，求的值． 25．【理解新知】如图①，已知，在内部画射线，得到三个角分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”． （1）角的平分线______(填“是”或“不是”）这个角的“2倍角线”； （2）若，射线为的“2倍角线”，则=_____． 【解决问题】如图②，已知，射线从从发，以每秒的速度绕点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转；射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动时间为秒． （3）当射线、旋转到同一条直线上时，求的值． 参考答案： 1．C 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，用定义逐一判断即可． 【详解】（1）符合定义，是一元一次方程； （2）有两个未知数，不是一元一次方程； （3）符合定义，是一元一次方程； （4）未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程； （5）不是整式方程，不是一元一次方程； 所以（1）（3）是一元一次方程， 故选C． 2．C 【分析】根据等式的性质依次判断即可． 【详解】解：∵等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立， ∴若，则； ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴若，则，故②正确； ∴若，则，故③正确； ∴若，当时，故④错误； 故选：C． 3．C 【分析】根据等式的性质、去括号法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，得，故A错误； B．由去括号得：，故B错误； C．由，得，故C正确； D．由，去分母得：，故D错误． 故选：C． 4．B 【分析】把x=2代入方程ax=5-3x得出2a=5-6，再求出方程的解即可． 【详解】解：把x=2代入方程ax=5-3x得：2a=5-6， 解得：a=， 故选：B． 5．D 【分析】根据题意“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程即可． 【详解】解：设买一个物品共有人，根据题意， 可列方程为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题题意，找到等量关系是解题关键． 6．B 【分析】设标价为元，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：设标价为元，则由题意可得：， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 7．D 【分析】根据售价=成本+利润，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】由题意可得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．C 【分析】根据图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再结合即可求出的值． 【详解】解：依题意得：, 解得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设原来的利润率为，根据进货价格比原来价降低了，使得利润率增加了8个百分点，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来的利润率为，依题意得： ， 解得：， 即这种商品原来的利润率为． 故选：D． 10．D 【分析】设先安排x人工作，则x人工作2小时完成的工作量为： 再增加3人和他们一起做4小时，完成的工作量为： 利用两部分工作量之和等于1，从而可得答案. 【详解】解：设先安排x人工作，则 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“工程问题中，各部分的工作量之和等于1”列方程是解本题的关键. 11．﹣1 【分析】根据一元一次方程的定义知道未知数的次数是1，未知数的系数不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键． 12． 【分析】根据两个数互为相反数，则和为零，再根据解一元一次方程即可求解． 【详解】解： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相反数的性质，解一元一次方程的综合，掌握相反数的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 13． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设这个班有名学生，则书的本数可以表示为：本或本，根据书的本数相同，即可列出方程． 【详解】解：设这个班有名学生，根据题意得： ． 故答案为：． 14．18 【分析】由姐姐7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，可得出姐姐和妹妹差12岁，设当姐姐x岁时，正好是妹妹年龄的3倍，由姐姐的年龄是妹妹年龄的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设当姐姐x岁时，正好是妹妹年龄的3倍， 根据题意得：， 解得：， ∴当姐姐18岁时，正好是妹妹年龄的3倍． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15． 【分析】由题意可知是方程的解，然后可求得的值，然后将的值代入原方程求解即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 移项合并得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 16．或30 【分析】利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可. 【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°， 分两种情况： 如图： 此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x， 则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°， 解得x=； 如图： 此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x， 则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°， 解得x=30； 综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°， 故答案为：或30 【点睛】本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键． 17. 18. 19. 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 17.先去括号，再移项合并同类项，系数化为1可求解； 18.先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1可求解． 【详解】17. 解：去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为1： 18. 解：去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为1： 19. 解：方程整理得：， 移项合并得：， 解得：． 20．见解析 【分析】解方程要先去分母，去括号，移项合并同类项，系数化1，最后求得解． 【详解】解：原方程可变形为（分数的基本性质） 去分母，得．（等式的基本性质） 去括号，得．（去括号法则） （移项），得．（等式的基本性质） 合并，得．（合并同类项法则） （系数化为），得．（等式的基本性质） 21．一共停电小时 【分析】设停电x小时，根据题意可列方程，求解即可． 【详解】解：设停电x小时． ， 解得， 答：一共停电小时． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． 22．(1)元； (2)折． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． （）设每件服装的标价是元，根据题意列出方程即可求解； （）由（）求出每件服装的进价，再设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意列出方程即可求解； 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， 由题意得，， 解得， 答：每件服装的标价是元； （2）解：由（）可得，每件服装的进价为元， 设打折销售能恰好保证利润率为， 由题意得，， 解得， 答：打折销售能恰好保证利润率为． 23．乙的速度是2千米时 【分析】从题意可以理解甲、乙两人从出发到相遇时共走了12×2千米，设乙速度为x千米/小时，则甲的速度为（2x＋2）千米/小时，以路程作为等量关系可列方程求解． 【详解】设乙的速度是x千米时，则 ， 解得， 答：乙的速度是2千米时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意的能力，关键是知道到相遇时他们共走了12×2米，然后根据路程＝速度×时间，以路程作为等量关系列方程求解． 24．(1)3； ； 7 (2)① 5；② 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解相关概念，找准等量关系是解题关键． （1）根据数轴上两点间距离，线段的中点，中距离的概念分析求解； （2）①根据各点的运动方向和运动速度分别表示出其在运动过程中所表示的数，然后根据中距离的概念分析求解； ②根据题意分别求出的中点表示是数是，的中点表示的数是，由方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：（点A在点B的左侧），点A表示2， ∴点B表示的数为4， ∴线段的中点表示的数为， 由题意，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为， 故答案为：3； ； 7 （2）解： ①由题意得，点A表示的数为,点B表示的数为, 点E表示的数为,点F表示的数为， 当，线段同时都向数轴正方向运动，线段的速度为每秒1个单位长度，线段的速度为每秒2个单位长度， 点A表示的数为，点B表示的数为1，点E表示的数为3，点F表示的数为7， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； 故答案为：5. ② 因为线段（点在点的左侧），（点在点的左侧）， 所以当点与表示的点重合，点与表示的点重合时，的中点表示的数是，的中点表示的数是． 根据题意得，点的运动速度为每秒1个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度， 所以运动过程中，点始终在点的右边， 当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为． 当线段与的“中距离”时， 即． 解得． 25．（1）是；（2）20°或30°或40°；（3）3或9或15 【分析】（1）由角平分线的定义和2倍角线的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求t的值； （3）分三种情况讨论，列出方程可求t的值． 【详解】（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若∠BOC=2∠AOC时，且∠AOC+∠BOC=60°， ∴∠AOC=20°； ②若∠AOB=2∠AOC=2∠BOC时，且∠AOC+∠BOC=60°， ∴∠AOC=30°； ③若∠AOC=2∠BOC时，且∠AOC+∠BOC=60°， ∴∠AOC=40°． 故答案为：20°或30°或40°； （3）由题意得，运动时间范围为：0＜t≤18，则有： ①90+20t+10t=180，解得t=3， ②90+20t+10t=360，解得t=9， ③90+20t+10t=180+360，解得，t=15， 综上，t的值为3或9或15． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义习题中的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键． 答案第14页，共14页 答案第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$