2.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题 直线的倾斜角与斜率 课程标准 1、 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； 2、 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 教材分析 1、教材所处地位及前后的联系 《直线的倾斜角与斜率》是选修一第二章第一节，是解析几何的入门课，此时学生对几何的认识还停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此从学生最熟悉的直线入手，去研究刻画直线性质的量—--倾斜角与斜率，通过对这一问题的探索去揭示解析几何的本质：用代数方法研究图形的几何性质.学生通过这一节的学习，初步感受复杂问题简单化、数形紧密结合的思想. 2、教学内容 本节主要讲直线的倾斜角和斜率，共一课时，主要学习的内容是直线的倾斜角和斜率的概念以及斜率公式. 直线的倾斜角和斜率都是描述直线的倾斜程度，倾斜角是几何概念，是用几何位置关系刻画的；而斜率从数量关系刻画的，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标来表示。斜率公式建立的过程，很好地体现了坐标法的基本思想：通过代数运算研究几何图形的性质，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件就是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。 因此，从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑，倾斜角是本节课的基础，斜率的概念是本节课的核心概念。 学习目标 1、结合具体图形，在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素； 2、通过实例探索刻画直线倾斜程度的量—倾斜角和斜率的概念，建立二者之间的联系； 3、经历用代数法刻画直线斜率的过程，并能用过两点的直线斜率公式解决相关问题。 学情分析 作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面研究学生，理解学生。 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的，事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”，在教学中要注意引导学生建立这种联系。 由于学生还没有系统学习三角函数，所以在倾斜角与斜率转换，特别是倾斜角是钝角的斜率求解中，需要先补充正切的诱导公式，学生需要一个熟悉的过程。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题，它们都体现了数形结合思想，但角度不同，.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程. 高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣.。 评价任务 1、让学生掌握倾斜角的概念及其范围，通过课堂提问来检测； 1、 通过典型例题一检测学生对直线的斜率的理解与掌握； 2、 通过合作探究让学生得出过两点的直线斜率的公式，熟练解决相关问题。 学习重点 直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率的公式. 学习难点 斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式. 教学方法 本节课主要采用教师创设问题情境，学生在问题的激励下主动探究，教师适时讲解的方法 教学手段 多媒体教学（flash,电子白板）可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素——倾斜角的变化与斜率的变化之间的关系等，借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程 教学过程 教学内容 设计意图 引 言 在平面几何里，我们直接依据图形中的点、线、面的关系，研究图形的性质，现在，我们采用另一种研究方法：坐标法。坐标法，是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期，解析几何由此成为近代数学的基础之一. 本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的翅膀，通过直线方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离等 本节课我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想 使学生了解学习的新内容的特点及意义 创 　　 　　 设 　　 情 　　 景　 引 入 概 念 尝 试 探 究 形 成 概 念 合 作 探 究 典 型 例 题 理 解 概 念 合 　　作 　　小 　　结 　　消 　　化 　　概 　　念 （一）新课引入 探究1：在直角坐标系中，一条直线位置由哪些条件确定呢？ 问题1、两点可以确定一条直线，一点能确定一条直线吗？ 问题2、如图中，过P的三条直线区别在哪里？ （学生联系生活中的实例可以很自然的得出答案） ( P (1，0) 0 x ) ( y ) （二）新课讲解 1、 直线的倾斜角的定义 当直线与轴相交时，以轴为基准，轴的正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角； 当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为. 注意：①直线向上的方向 　　　②轴的正方向 倾斜角的取值范围: 探究2：倾斜角是从几何方面定性的刻画直线的倾斜程度的，而我们数学都是从数量的角度来刻画的，比如表示速度大小的速率；那么在日常生活中，我们也有类似可以刻画倾斜程度的量吗？ 汽车在坡面上的运动可以看成是向前的前进量与向上的升高量的合成运动，当前进量不变，升高量加倍时，坡面与地平面所成的角有怎么样的变化呢？（更大了） 自然合理地提出问题，从最简单问题着手，创造轻松的氛围。　 提出问题，引出本节课要讲的主要内容——刻画直线倾斜程度的两个概念：直线的倾斜角与斜率。 探究确定直线位置的几何要素， 用回答问题的形式让学生知道如何确定直线位置，逐步引导学生得出倾斜角概念。 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 通过实例探究引出斜率概念； 为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度 确定直线位置的几何要素转化为代数化 通过构造直角三角形，用坐标法去推导两点直线的斜率,学生容易掌握,但是一定要强调斜率公式与点的位置无关且不适用直线与轴垂直的时候 为了及时巩固，帮助学生对所学概念的理解，本节课设计了两道例题，两道变式练习，以达到巩固新知识的目的 练习题由浅入深,螺旋上升，逐步提高学生的思维能力，借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程，强调易错点。 归纳小结，是为了体现师生平等,更突出教师主导,学生主体的地位,既有利于训练学生概括归纳知识的能力，又能使学生在归纳中把学知识系统化、条理化. 那么这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？ ( 升高 量　 )坡度（比）＝ 直线的斜率——直线的倾斜角的正切值 前进量 思考下列问题： 问题1：倾斜角为时，斜率存在吗？ 问题2：倾斜角为时，斜率存在吗？ （可提示学生，类比坡度模型，得出结论） 2、直线斜率的概念 一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,通常用小写字母表示。 思考：当倾斜角取不同的范围时，会如何变化呢？ 直线情况 平行于情况 由左向右上升 垂直于轴 由右向左上升 的大小 的情况 问题1：所有的直线都有倾斜角，但是所有的直线都有斜率吗？ 问题2：当直线的倾斜角大于时，如何求直线的斜率？ （正切的诱导公式） （可让学生通过例题和变式训练总结出结论） 3、两点确定直线的斜率 探究3：两点可以确定一条直线，也就确定了这条直线的位置，确定了它的倾斜角和斜率，那么 已知两点则由这两点确定直线的线率如何用两点的坐标表示呢？ 问题1：当直线与轴平行或重合时， 问题2：当直线与轴平行或重合时，？ 问题3：直线的斜率与两点的顺序有关吗？ 直线两点间的斜率公式 （三）典型例题 例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)  ；(2); (3) (4)  [变式训练1]：已知直线的斜率，求其倾斜角.  （1）=0； （2）= 1 ；（3）= ； ⑷不存在.  例2：求经过两点A(3，2),B(-4,1)的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角. [变式训练2] 1、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.  （1） A(2,3),B( 1,4)  （2）A(3,-4), B(3, -2)  （3） A（2,2），B（-3,2） 2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线. （四）归纳小结 ( 两点间斜率公式 ) ( 倾斜角 ) ( 两点 一点一方向 　（倾斜角） ) ( 斜率 ) ( 直线 ) 1、直线倾斜角定义与取值范围 2、直线斜率的定义 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系 4、两点间斜率公式 （五）、课后练习 1、课本86页练习 2、课本89页1、2题 预设教学效果： 本节课立足于课本，着力设计一个简单、合理的递进过程，结合实例，借助现代教育各种技术与媒体，期望帮助学生掌握直线确定的几何要素及其代数化，初步理解解析几何解决几何问题的思想与方法，努力创设师生，生生之间心灵沟通与交流的空间，创设愉快学习的氛围，增强学生的学习兴趣，使教与学形成共鸣，达到共振。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$