专题：二元一次方程组三这种特殊解问题 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

专题：二元一次方程组三这种特殊解问题 答案 类型一 1． 【分析】根据两个方程组解相同，可先由求出x、y的值，再将x和y的值代入得到m、n的二元一次方程组，解方程组求出m和n． 【详解】解：∵方程组和有相同的解， 与原两方程组同解． 由5y-x=3可得：x=5y-3， 将x=5y-3代入3x-2y=4，则y=1． 再将y=1代入x=5y-3，则x=2． 将代入得： ①②， 将（1）×2-（2）得：n=-1， 将n=-1代入（1）得：m=4． ∴． 【点睛】考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2． 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于、的方程，求解即可计算求值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解集为， 方程组与方程组的解相同， ， 解得：， 3．(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组，掌握解方程组的方法，是解题的关键． （1）将两个不含参数的方程组成方程组，求出方程组的解即可； （2）将两个含参数的方程组成方程组，将（1）中的解代入，两个方程相减后，求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴这两个方程组的相同解为． （2）联立，将代入，得： ， ，得：， ∴， ∴． 4． 【详解】解：示例：选择小明的方法． 解方程组 由②，得．③ 把③代入①，得，解得． 把代入③，得， 所以该方程组的解为 把代入中，得， 解得． 类型二 1．-40 【详解】解：把代入ax+by=2得：﹣2a+2b=2，即﹣a+b=1①， 把代入ax+by=2得：3a﹣2b=2②， 代入cx﹣7y=8得：3c+14=8，即c=﹣2， 联立①②，解得：a=4，b=5， ∴abc=﹣40． 故答案为﹣40． 2． 【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得 ∴， 解得， ∵乙看错了方程②中的b，解得 ∴， 解得， ∴原方程组为， 由①得③， 把③代入②得，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键． 3． 【分析】设原方程组为 ，把 代入②，求出c，把和 代入①，得出方程组，求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】设原方程组为 ， 把代入②得：3c+14=8， 解得：c=-2， 把和代入①得：， 解得：a=4，b=5， 即原方程组为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能够根据题意得出方程或方程组是解此题的关键． 4． 【分析】把甲的解代入第二个方程求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】把代入得：，即， 把代入得：，解得， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙两人求出的解分别代入两个方程中，求出的值是解题的关键． 类型三 1．C 【分析】将x看做已知数表示出y，即可确定出正整数解的组数． 【详解】方程2x+y=8， 解得：y=-2x+8， 当x=1时，y=6；当x=2时，y=4；当x=3时，y=2； 则方程的正整数解有3组， 故选C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数． 2．C 【分析】先解关于x的方程组，再讨论解为正整数时m的值． 【详解】解：， 解方程组得：， ∵方程组有正整数解， ∴当正整数时不符合题意， 当正整数时，，符合题意； 当正整数时，，符合题意； ∴只有或8时，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，以及二元一次方程组解与系数的关系． 3．5 【分析】首先解方程组求得方程组的解是，则是和的公约数，且是正整数，据此即可求得的值，再代入，计算即可． 【详解】解：两式相加得：， 则， 把代入第二个方程得：， ∴方程组的解是． ∵为正整数，且关于、的方程有整数解， ∴是和的公约数，且是正整数， ∴， ∴， 则． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．正确理解是和的公约数是关键． 4．（1）；（2）原方程有5组正整数解． 【分析】（1）先化简原方程，由材料可求解； （2）先求出原方程的整数解，根据材料即可求解． 【详解】（1）∵(15，20)=5，(4，8)=4， ∴原方程变形为：5x+4y=99， ∴x， ∴99﹣4y是5的倍数， ∴当y=1时，x=19， ∴是原方程的解； （2）∵5x+4y=99的有正整数解， 方程所有整数解为(t为整数)． 其中 方程所有正整数解记为(t为整数)． 当时，正整数解为：， 当时，正整数解为：， 当时，正整数解为：， 当时，正整数解为：， ∴原方程有5组正整数解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题：二元一次方程组三这种特殊解问题 类型一：相同解问题 1． 已知方程组和有相同的解，求m和n的值． 2． 已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 3．关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 4．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题： 已知满足，且，求m的值． 小璐同学说：“先解关于的方程组再求m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含m……” 请你选择其中一种方法，求出m的值． 类型二：错解问题 1.在解方程组时，小明由于粗心把c看错了，解得方程组的解为，而他对照后面的正确答案批改时发现解是，则abc= ． 2.甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解． 3.小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来． 4．甲、乙两人共同解方程组时，由于甲看错了方程组中方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程组中方程②中的．得到方程组的解，求代数式的值． 类型三：整数解问题 1．关于x，y的二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．已知二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值为（　　） A．4或5 B．5或6 C．4或8 D．6或8 3．若m为正整数，且关于x．y的方程有整数解，则m2+1的值为 ． 4．阅读下列材料： 材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为(a，b)，如(12，18)=6；(7，9)=1． 材料二：求7x+3y=11的一组整数解，主要分为三个步骤： 第一步，用x表示y，得y； 第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1=3(4﹣3x)+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x=2； 第三步，将x=2代入y，得y=﹣1．∴是原方程的一组整数解． 材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c均为整数)有整数解，则它的所有整数解为(t为整数)． 利用以上材料，解决下列问题： （1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一组整数解； （2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有几组正整数解． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$