6.1幂函数【7大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

6.1幂函数 【考点梳理】 · 考点一：幂函数的定义及参数问题 · 考点二：幂函数的值域问题 · 考点三：幂函数的定点和图像问题 · 考点四：判断幂函数的单调性 · 考点五：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数） · 考点六：幂函数的奇偶性问题 · 考点七：幂函数的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二：五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三：一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：幂函数的定义及参数问题 1．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一上·四川成都·期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 题型二：幂函数的值域问题 4．（22-23高一上·安徽·阶段练习）已知幂函数的图像过点，则（    ） A．为减函数 B．的值域为 C．为奇函数 D．的定义域为R 5．（19-20高一上·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 题型三：幂函数的定点和图像问题 7．（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，的图象如图所示，则、，的大小关系为 ． 9．（24-25高一上·全国·课堂例题）如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 题型四：判断幂函数的单调性 10．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数 在区间上单调递增，则实数k的值是 （   ） A． B．或 C． D．且 11．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．为偶函数，且在上单调递减 B．为偶函数，且在上单调递增 C．为奇函数，且在上单调递减 D．为奇函数，且在上单调递增 题型五：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数） 13．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·重庆·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·河北保定·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：幂函数的奇偶性问题 16．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 17．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是 ． 18．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 题型七：幂函数的综合性问题 19．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数. ①判断的奇偶性； ②判断在上的单调性，并用定义加以证明. 20．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·山西·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 24．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 25．（24-25高一上·福建福州·期中）幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 26．（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知幂函数，其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的图象是中心对称图形 D．恒过定点 31．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，若对于任意的两个不相等实数都有，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的有（　　） A．为偶函数 B．在定义域内为增函数 C．若，则 D．若，则 33．（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数，则以下结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是减函数 C．的值域为 D．是偶函数 34．（24-25高一上·湖南·期中）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 三、填空题 35．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ． 36．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 37．（24-25高一上·四川内江·期中）已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是 . 38．（24-25高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为 . 39．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则 . 40．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是 ． 四、解答题 41．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 42．（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 43．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 44．（24-25高一上·安徽滁州·期中）幂函数的定义域是全体实数 (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 45．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 46．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m、n的值； (2)求满足条件的实数的取值范围. 47．（24-25高一上·江苏苏州·期中）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1幂函数 【考点梳理】 · 考点一：幂函数的定义及参数问题 · 考点二：幂函数的值域问题 · 考点三：幂函数的定点和图像问题 · 考点四：判断幂函数的单调性 · 考点五：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数） · 考点六：幂函数的奇偶性问题 · 考点七：幂函数的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二：五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三：一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：幂函数的定义及参数问题 1．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解. 【详解】设幂函数，将点代入得，所以. 所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则， 故函数的解析式为（）. 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 题型二：幂函数的值域问题 4．（22-23高一上·安徽·阶段练习）已知幂函数的图像过点，则（    ） A．为减函数 B．的值域为 C．为奇函数 D．的定义域为R 【答案】B 【分析】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】解：设，将代入，得，解得， 故，易知在上单调递增，在上单调递减，且值域为，故A选项错误，B选项正确； 的定义域为，且，为偶函数， C，D选项错误； 故选：B． 5．（19-20高一上·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【分析】根据幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 题型三：幂函数的定点和图像问题 7．（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，的图象如图所示，则、，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的图象可确定幂指数的取值范围，即可得答案. 【详解】由函数，，的图象可知， 故， 故答案为： 9．（24-25高一上·全国·课堂例题）如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 【答案】2、、、 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以、、、相对应的依次为2、、、. 故答案为：2、、、. 题型四：判断幂函数的单调性 10．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数 在区间上单调递增，则实数k的值是 （   ） A． B．或 C． D．且 【答案】A 【分析】根据幂函数的形式得到方程，解出后再验证其单调性即可. 【详解】由题意得，解得或4， 当时，，此时其在区间上单调递减，故， 当时，，此时其在区间上单调递增，符合题意，则. 故选：A. 11．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 12．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．为偶函数，且在上单调递减 B．为偶函数，且在上单调递增 C．为奇函数，且在上单调递减 D．为奇函数，且在上单调递增 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数，又因为幂函数的图象经过点， 所以，解得, 所以，定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又因为，所以在上单调递减，故C正确. 故选：C. 题型五：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数） 13．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 14．（24-25高一上·重庆·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式性质比较相关自变量大小，根据幂函数的单调性比较函数值大小 【详解】由，则，又在上单调递增， 所以. 故选：A 15．（24-25高一上·河北保定·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数以及幂函数的单调性，结合分段函数的的性质即可列不等式进而即得. 【详解】根据题意，函数是上的增函数， 必有，解可得， 即的取值范围为 故选：C． 题型六：幂函数的奇偶性问题 16．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质. 【详解】设幂函数，由，解得， 由，A选项错误； 的定义域是，B选项错误； 在上为减函数，C选项正确； 由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误. 故选：C 17．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将点代入求出的值，再根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】由幂函数的图象过点，得，解得， 则，定义域为． 由可得为偶函数． 由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减． 所以等价于，等价于，解得或． 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 18．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【答案】或 【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解. 【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数， 所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数. 故答案为：或 题型七：幂函数的综合性问题 19．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数. ①判断的奇偶性； ②判断在上的单调性，并用定义加以证明. 【答案】(1) (2)①为奇函数；②在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解； （2）①由（1）得，利用函数奇偶性的定义即可判断；②利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】（1）依题意，设幂函数， 则，解得， 所以. （2）①为奇函数，理由如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 20．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，解得的值，再根据常见幂函数的奇偶性即可求解； （2）转化问题为对恒成立，即，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或，又函数为偶函数，故，. （2）由（1）知，， 则原题可等价转化为对恒成立， 分离参数得，因为对恒成立，则， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 所以实数的取值范围为. 21．（24-25高一上·山西·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可； （2）由幂函数的单调性列出不等式即可； （3）由题意通过，及，即可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增， 可得，解得， 所以； （2）因为在上单调递增， 则可化为，解得，所以的取值范围为； （3）由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为8，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 且内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递减区间为. 故选：A. 23．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答. 【详解】因为函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数， 所以，解得， 故选：A 24．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【答案】D 【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【详解】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故C错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故D正确. 故选：D. 25．（24-25高一上·福建福州·期中）幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数，所以， 即，定义域为， 则， 所以是奇函数， 故A、B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 26．（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案. 【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A 27．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 28．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间[2，4]上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数列出系数的等式，解方程得的两个值，由偶函数，确定的值得到函数，代入得到解析式，由对称轴得出单调区间，列出不等式，求出的范围. 【详解】因为是幂函数， 所以，所以或， 又因为是偶函数， 所以时，是奇函数，舍去；时，是偶函数， 所以， 所以关于对称， 所以在区间上单调递减， 所以，所以. 故选：A. 29．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 则，解得. 故选：B 二、多选题 30．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知幂函数，其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的图象是中心对称图形 D．恒过定点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义域性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，故A正确； 当时，，根据幂函数性质可知， 此时在上是增函数，所以，故B正确； 当时，，满足，此时的定义域为， 所以是偶函数，不是中心对称图形，故C错误； 根据幂函数性质可知恒过定点，故D正确． 故选：ABD 31．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，若对于任意的两个不相等实数都有，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】通过分段函数的单调性确定的范围，即可求解. 【详解】由题意可知在其定义域上单调递增， 所以需满足：解得：， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC 32．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的有（　　） A．为偶函数 B．在定义域内为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质可判断ABC，利用，作差可判断D. 【详解】将点代入函数得：，则， 所以， ∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确； 函数在定义域上为增函数，所以B正确； 当时，，即，所以C正确； 若时， = =. 即成立，所以D正确. 故选：BCD. 33．（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数，则以下结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是减函数 C．的值域为 D．是偶函数 【答案】AC 【分析】由幂函数的性质，判断的定义域值域单调性和奇偶性. 【详解】幂函数，函数定义域为，A选项正确； 由幂函数的性质可知，在上单调递增，值域为， B选项错误，C选项正确； 函数定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误. 故选：AC. 34．（24-25高一上·湖南·期中）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D. 【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A正确； 对B：由，其定义域为，故B错误； 对C：由，故是偶函数，故C正确； 对D：由，故在上单调递减，又是偶函数， 故可得，对，即有， 整理得，解得， 由、可得、， 故，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 35．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由幂函数解析式结合图象过点得，则，由分母中根式内部的代数式大于0求解定义域. 【详解】设幂函数． 的图象过点， ，． ， ， 则，即， 的定义域为． 故答案为：. 36．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义以及单调性即可列关系求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：3 37．（24-25高一上·四川内江·期中）已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，进而得的定义域与单调性，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题可设，因为函数过点， 所以，所以函数， 所以函数是定义在上的增函数， 所以若，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 38．（24-25高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再将题目转换为解一元二次不等式即可得解. 【详解】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：， 而是偶函数且它在上单调递增，所以在上单调递减， 即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 39．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值. 【详解】若函数在上递减，则. 当时，函数为偶函数，符合题意； 当时，函数为奇函数，不符合题意. 综上所述，. 故答案为：. 40．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据的单调性结合作差法判断的正负，然后逐项分析可得结果. 【详解】①：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以，所以，故（ii）满足； 所以具有“丰彩”性质； ②：在上单调递增，故（i）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； ③：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以， 所以， 所以具有“丰彩”性质； ④：的对称轴且开口向下， 所以在上单调递减，故（i）满足； 因为， 又因为，，所以，所以，故（ii）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； 故答案为：①③. 四、解答题 41．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得，，解得， 则. （2）由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 42．（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数和偶函数的性质求解即可； （2）构造，问题转化为，结合二次函数的性质分析即可； 【详解】（1）∵幂函数为偶函数 ∴    即，解得或， 当时，为偶函数，符合条件；   当时，为奇函数，不符合条件； ∴函数的解析式是. （2）由（1）知，，则 由，得，即， 令，依题意，对任意，恒成立， ∴      ∵函数在上单调递减， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 43．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义求得的值，再检验对应的值时的奇偶性，从而得解； （2）根据题意，利用参变分离法，结合配方法解决恒成立问题，从而得解. 【详解】（1）由题意，为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，舍去； 当时，，是偶函数，满足题意； 所以； （2）依题意，知，在上恒成立， 则当时，，所以恒成立， 又， 所以当，即时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 44．（24-25高一上·安徽滁州·期中）幂函数的定义域是全体实数 (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于实数的等式，解出的值，再由函数的定义域为进行检验，即可得解； （2）分析可知，不等式对任意的实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 化简得，解得或， 当时，，该函数的定义域为，满足题意； 当时，的定义域为，不满足题意， 所以的解析式为． （2）不等式即，其解集为， 则对任意的实数恒成立， 当时，，得，不合题意； 当时，则有，解得． 因此，实数的取值范围是. 45．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数定义，结合单调性可解； （2）运用单调性定义，且，作差比较大小即可. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，，解得， 由幂函数在上单调递增，可得， 所以． （2）证明：由的图象经过点，得，所以． 则． 对，且，则有 ， 因为，所以，， 所以． 因为，所以，所以， 则， 故函数在上单调递增． 46．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m、n的值； (2)求满足条件的实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数为幂函数，则，解得， 又因为该的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数， 又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 47．（24-25高一上·江苏苏州·期中）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)4； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用增函数的定义推理证明. （2）根据给定条件，分离参数，利用函数的单调性求出最小值即可. （3）假定存在，构造方程，借助函数在上的最小值推理判断即得. 【详解】（1）函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. （2）对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. （3）由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$