精品解析：湖南师大附中博才实验中学2024一2025学年上学期 九年级期中考试数学试题卷

湖南师大附中博才实验中学2024—2025学年度第一学期 九年级期中考试试题卷·数学 满分120分时量：120分钟 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．我们把形如的函数叫做二次函数，解决本题的关键是根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是正比例函数，故A选项不符合题意； B选项：是一次函数，故B选项不符合题意； C选项：是二次函数，故C选项符合题意； D选项：是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可. 【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， ∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 3. 已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设为圆半径，为点到圆心距离．当时，点在圆内；当时，点在圆外；当时，点在圆上；据解决本题的关键是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断的长度． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点在内， ， 的长度可以是．   故选： D． 4. 若二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：B． 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 7. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据，两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数（为常数）， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∵二次函数图象开口向上，且， ∴， 故选：A． 8. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 9. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据、关于y轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，、关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 10. 如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后可判断． 【详解】解：①：当时，或，故①错误； ②：由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③：将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④：令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标 ：求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 【详解】解：将代入，得：， ． 故答案为：2． 13. 如图，已知的半径，弦的弦心距，那么__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，根据弦心距得到，即可得到，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵弦的弦心距， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象中的数据，可以得到函数的对称轴和与轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后根据函数图象即可得到当，的取值范围． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，则该函数与x轴的另外一个交点为， 故当时，x轴的取值范围为， 故答案为：． 15. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 16. 平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为___． 【答案】4或2cm 【解析】 【分析】当点在圆外时，最长距离-最短距离=直径，当点在圆内时，最长距离+最短距离=直径，即可求解.. 【详解】解：(1)当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm. (2)当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm. 故答案为4或2. 【点睛】本题考查点到圆的距离与直径的关系及直径的一半是半径.，熟悉掌握即可. 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用配方法或公式法解； （2）将等号右边的移到左边，提公因式计算即可． 【小问1详解】 解：解法一： ∴ 解法二 这里 ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解： 或 ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择合适的方法是解题关键． 19. 在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）把向上平移个单位长度得到，作出； （3）已知与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】（1） 如下图所示， ； （2） 如下图所示， （3）． 【解析】 【分析】作出点、、关于原点的对称点、、，连接点、、得到，与关于原点成中心对称，根据图中点的位置写出坐标； 把点、、分别向上平移个单位长度得到点、、，连接点、、得到； 关于某点成中心对称的两个图形的对应点连线的交点就是对称中心，本题中连接、交于一点，这个交点就是对称中心，从图可以看出对称中心的坐标为． 【小问1详解】 解：连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接点、、得到， 与关于原点成中心对称， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：把点、、分别向上平移个单位长度得到点、、， 连接点、、得到； 【小问3详解】 解：如下图所示， 连接、交于一点，这个交点就是对称中心， 从图可以看出对称中心的坐标为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． 20. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根  满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． （1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵方程两实根 ， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，是的外接圆，，且且恰好经过圆心． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论； （2）连接，直径所对圆周角，中，，则，可证．则，进一步得到，即可得的半径为2． 本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 由（1）得， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 即的半径为2． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：是直径， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形； （2）． 【解析】 【分析】根据：是直径，可知，根据等腰三角形的三线合一定理可证、，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证四边形是平行四边形，从而可得四边形是菱形； 连接，可得，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可以求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 为直径， ， 在菱形中，设， 则，， ， 在中， 在中，， ， ， 解得或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆、菱形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理求出边的长度． 24. 我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； （2）已知抛物线上的两点，，若时，，且的顶点在其“幸福抛物线”的图象上，试探究抛物线的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点M，其“幸福抛物线”与y轴交于点N（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截x轴得到的线段长度l的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据“幸福抛物线”的定义求解即可； （2）根据题意确定出的对称轴为直线，得出，求出的顶点坐标代入求解即可； （3）联立，得出与的交点在直线上运动，根据，，，得出，表示出，结合，得出，再结合，化简求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线的“幸福抛物线”是，可得：，，， 解得：，，． 【小问2详解】 解：∵，在抛物线上，，， ∴的对称轴为直线，即，， ，其顶点为；代入得， ，令，得 所过定点为； 【小问3详解】 解：联立， 得， 发现是方程的一个根， 故与的交点在直线上运动， ，，， ，得， 对于， ， ， ，即，， 又， ，且， 且， 即， （且）， 且． 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，求根公式等知识点，解题的关键是理解题意，掌握以上知识点． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且． （1）若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标； （3）如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）定值， 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点坐标代入，即可求解； （2）过F作于H，过F作轴，交直线于Q，由切线的性质得H在上，，由勾股定理得，设，，可求，即可求解； （3）设，设抛物线解析式为，将代入得，，设直线解析式为，联立直线与抛物线的解析式得，，同理可求出，由中点得，待定系数法得直线解析式为，可求出 ，由可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：A的坐标是， ， ， ， 可设抛物线的解析式为， ， ， 解得：， ， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过F作于H，过F作轴，交直线于Q， 为的切线， H在上，， 直线， ， ， 设，， ， ， 当时， ， ， ， F； 【小问3详解】 解：定值， 设， ，， ，， 设抛物线解析式为， 将代入得， ， 的内心在x轴上， ， 设直线解析式为：， 联立， 解得：， ， 平分，且在轴上， 直线与直线关于轴对称， 同理设直线解析式为：， 同理可求出， K是的中点， ， ， ， 设直线解析式为：，则有 ， 解得：， 直线解析式为：， 当时， ， 解得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，切线的性质，三角形的内心定义，勾股定理等；能熟练使用待定系数法求函数解析及辅助未知数表示点的坐标，掌握切线的性质，并能利用二次函数性质求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中博才实验中学2024—2025学年度第一学期 九年级期中考试试题卷·数学 满分120分时量：120分钟 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 若二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的值有关 8. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 13. 如图，已知的半径，弦的弦心距，那么__________． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______． 15. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 16. 平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为___． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1） （2）． 19. 在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）把向上平移个单位长度得到，作出； （3）已知与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 20. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根  满足，求的值． 21. 如图，是的外接圆，，且且恰好经过圆心． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； （2）已知抛物线上的两点，，若时，，且的顶点在其“幸福抛物线”的图象上，试探究抛物线的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点M，其“幸福抛物线”与y轴交于点N（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截x轴得到的线段长度l的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且． （1）若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标； （3）如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $