4.5.1函数零点与方程的解（第1课时）学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解（第1课时） 高一（ ）班 姓名： 学号： 【学习目标】 一、教学目标： 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系。（数学抽象） 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间。（逻辑推理） 3.能借助函数的单调性及图象判断零点的个数。（直观想象） 【学习重难点】 教学重点：1. 方程的根与函数零点的关系的理解。 2. 函数零点存在定理的探究、构建与应用。 教学难点：引导学生自主探究函数零点存在定理，及数学结合思想方法的渗透。 【课前预习】 1.阅读课本P142~P144，初步理解函数零点与对应方程的根的关系及零点存在定理，并完成教材P144的练习题 以上内容请在课前完成 【导学过程】 问题1：什么是函数的零点？函数的零点与方程关系？函数的零点与函数图象又有什么关系呢？ （一）函数零点的概念 1、零点定义：对于函数y=f(x),我们把使________的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2、等价关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有_______⇔函数y=f(x)的图象与x轴有____. 题型一、函数的零点的理解 例1、根据零点的定义判断对错与填空. （1）任何函数都有零点.（ ） （2） 函数 的零点是.（ ） （3）如右图所示，函数 的零点 是 . 例2、 求下列函数的零点. （1） f(x)＝－8x2＋7x＋1； （2）f(x)＝1＋log3x. 即学即练1： 若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-1,4,则函数g(x)=bx-a的零点是　　　　　 （二）函数零点存在定理 函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条__ _____的曲线,且有 ___________,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内______________,即存在c∈(a,b),使得 ________,这个c也就是方程f(x)=0的解. 题型二：判断函数的零点个数 例3、 求方程的实数解的个数. 即学即练2：判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数。 题型三：判断函数的零点、方程的根所在的区间 例4、(1)函数的零点所在的大致区间为（   ） (2)根据表格内的数据,可以断定方程的一个解所在的区间是(　　) x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+3 2 3 4 5 6 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 即学即练3：函数的零点所在的区间是（ ） A．（—2，—1） B．（—1，0） C．（0，1） D．（1，2） 【课时小结】 【课堂测试】 1．函数的零点为（   ） A.，  B.   C. 0,4  D.4 2. 函数的零点所在的一个区间是（   ） A. B. C. D. 3.已知函数的图象是连续不断的,有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 23 9 -7 11 -5 -12 那么函数在区间[1,6]上的零点个数是（   ） A.2个    B.3个    C.4个    D.至少三个 4． 若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法 正确的是(　　) A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点 B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点 C．f(x)在区间(1,2)上可能有零点 D．f(x)在区间(1,2)上一定有零点 5、若f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－x的零点。 6（选做）、已知函数f(x)＝其中a>0，且a≠1。 (1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，求实数a，b的取值范围； (2)当a＝2时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上只有一个零点，求实数b的取值范围。 五、课后作业： 课本P144 T1；P155 T1,2,7；课时评价作业（三十五）T1、2、3、4、6 答案：例1、（1）错，与x轴无交点的函数没有零点，（2）错，零点是函数与x轴交点的横坐标，而不是交点；（3） ，根据图象，函数与x轴的交点横坐标是 ，所以零点即为 。 即学即练1： 3/4 例2、(1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－或x＝1．所以函数的零点为－和1． (2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝．所以函数的零点为。 例3、(课本143页）; 即学即练2：解法一(图象法)：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0， 所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点 个数。在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图所示)。 由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根， 即函数f(x)＝lnx＋x2－3有一个零点。 解法二(定理法)：由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0， 所以f(1)f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是连续不断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个。 例4、(1)C ，(2)C ; 即学即练3： B 课堂检测：1C,2B,3D,4AC， 5解析由f(x)＝x，得或解得x＝1＋或x＝1 6、解　(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，f(x)在(－∞，0)上单调递增， 所以f(x)在[0，＋∞)上也是单调递增的，所以a>1，且f(0)＝1＋b≥－1，解得b≥－2。 (2)因为x<0时，f(x)<－1，所以f(x)在(－∞，0)上无零点， 所以x≥0时，f(x)＝2x＋b只有一个零点。 因为f(x)在[0，＋∞)上递增，且f(x)∈[1＋b，＋∞)， 所以f(0)＝1＋b≤0，所以实数b的取值范围是(－∞，－1]。 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$