24 一元一次不等式组的实际运用 -【期末·暑假】2024年七年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

４７　 　 　一元一次不等式组的实际运用 １．某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买２个 A种奖品和４个 B种奖品共需１００元,购买５个 A种奖品和２个B种奖品共需１３０元．学校准备购买 A、 B两种奖品共２０个,且 A种奖品的数量不小于B种奖品数量的２５ ,则在购买方案中最少 费用是　　　　元． ２．某饮料厂以３００kg的A种果汁和２４０kg的B种果汁为原料,配制生产甲、乙两种新型饮 料．已知每千克甲种饮料含０．６kgA种果汁,０．３kgB种果汁;每千克乙种饮料含０．２kg A种果汁,０．４kgB种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共６５０kg,设该厂生产 甲种饮料xkg． (１)列出满足题意的关于x的不等式组,并求出x的取值范围． (２)已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每千克３元,乙种饮料销售价是每千克４元,那么 该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克,才能使得这批饮料的销售总金额最大? ３．由于雾霾频发,市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩,已知１个 A型口罩 和３个B型口罩共需２６元,３个 A型口罩和２个B型口罩共需２９元． (１)一个 A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元? (２)该药店准备购进这两种型号的口罩共５０个,其中 A型口罩的数量不少于３５个,且不 多于B型口罩的３倍,有哪几种购买方案? 哪种方案最省钱? ４．为了解决农民工子女就近入学问题,某市第一小学计划扩大办学规模．学校决定花费 ８００００元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和计算机,要求购买的课桌凳与办公桌椅的数 量比为２０∶１,购买计算机的资金不低于１６０００元,但不超过２４０００元．已知一套办公桌 椅比一套课桌凳贵８０元,用２０００元恰好可以买到１０套课桌凳和４套办公桌椅．(课桌 凳和办公桌椅均成套购进) (１)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元? (２)求出有几种课桌凳和办公桌椅的购买方案． ４８　 　　５．去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾．“旱灾无情人有情”,某单位给某乡镇中小学 捐献一批饮用水和蔬菜共３２０件,其中饮用水比蔬菜多８０件． (１)求饮用水和蔬菜各有多少件． (２)现计划租用甲、乙两种货车共８辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡镇中小 学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水４０件和蔬菜１０件,每辆乙种货车最多可装饮用 水和蔬菜各２０件,则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案? 请你帮助设计出来． (３)在(２)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费４００元,乙种货车每辆需付运费３６０元． 运输部门应选择哪种方案可使运费最少? 最少运费是多少元? ６．为解决中小学大班额问题,某市各县区今年将改扩建部分中小学,某县计划对 A、B两类 学校进行改扩建．根据预算,改扩建２所 A类学校和３所B类学校共需资金７８００万元, 改扩建３所 A类学校和１所B类学校共需资金５４００万元． (１)改扩建１所 A类学校和１所B类学校所需资金分别是多少万元? (２)该县计划扩建 A、B两类学校共１０所,改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担． 若国家财政拨付资金不超过１１８００万元,地方财政投入资金不少于４０００万元,其中 地方财政投入 A、B两类学校的改扩建资金分别为每所３００万元和５００万元．请问共 有哪几种改扩建方案? ７．建设中的大外环路是某市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工 土方量为１２０万立方米,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工 １５０天完成．由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工４０天后甲队 返回,两队又共同施工了１１０天,这时甲、乙两队共完成土方量１０３．２万立方米． (１)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方米? (２)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证１５０天完成任务,公司为乙队新购进了一批 机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方米 才能保证按时完成任务? ６６　 ２１　解一元一次不等式 １．D　２．C　３．D　４．x＜－２　５．１　６．(１)去括号,得１＋ ２x－２≤３,移项、合并同类项,得２x≤４,系数化为１,得x≤２． 故不等式的解集为x≤２．将不等式的解集在数轴上表示如下: (２)去分母,得４x－２＞３x－１,移项,得４x－３x＞－１＋２,合并 同类项,得x＞１．将不等式的解集在数轴上表示如下: ７．C　８．a≥２　９．x＜８　１０．t＜－８　１１．方程组两式相加得 ５(x＋y)＝５a＋１０,∴x＋y＝a＋２．∵x＋y＞０,∴a＋２＞０, ∴a＞－２．　１２．(１)当m＝１时,不等式可化为２－x２ ＞ x ２－１ , 去分母,得２－x＞x－２;移项,得－x－x＞－２－２;合并同类 项,得－２x＞－４;系数化为１,得x＜２．　(２)将原不等式去分 母,得２m－mx＞x－２;移项并合并同类项,得(m＋１)x＜ ２(m＋１)．当m≠－１时,不等式有解．①当m＞－１时,不等式 的解集为x＜２;②当 m＜－１时,不等式的解集为x＞２．　 １３．(２)①－a＜x＜a　x＞a或x＜－a　②－２＜x＜８ ２２　解一元一次不等式组 １．C　２．B　３．A　４．B　５．(１)解不等式２x＋１≥x＋２,得 x≥１．解不等式２x－１＜１２ (x＋４),得x＜２．所以不等式组的 解集为１≤x＜２．　(２)解不等式５x－１０≤０,得x≤２．解不等 式x＋３＞－２x,得x＞－１．所以不等式组的解集为－１＜x≤ ２．将不等式组的解集在数轴上表示如下: ６．C　７．A　８．B　９． x－２≤２x①, x－１＜１＋２x３ ② ,{ 解不等式①,得x≥ －２．解不等式②,得x＜４．∴原不等式组的解集为－２≤x＜ ４,∴该不等式组的整数解是－２、－１、０、１、２、３．∵(－２)＋ (－１)＋０＋１＋２＋３＝３,∴该不等式组所有整数解的和是３． １０． ５x＋２y＝１１a＋１８①, ２x－３y＝１２a－８②,{ ① ×３ 得 １５x＋６y＝３３a＋５４③, ②×２得４x－６y＝２４a－１６④,③＋④得１９x＝５７a＋３８,解得 x＝３a＋２．把x＝３a＋２代入①,得５(３a＋２)＋２y＝１１a＋１８,解 得y＝－２a＋４,∴方程组的解是 x＝３a＋２, y＝－２a＋４．{ ∵x＞０,y＞０, ∴ ３a＋２＞０, －２a＋４＞０,{ ∴a的取值范围是－ ２ ３＜a＜２．　１１． 解不等 式５x＋１＞３(x－１),得x＞－２;解不等式１２x≤８－ ３ ２x＋２a , 得x≤４＋a,∴不等式组的解集为－２＜x≤４＋a．∵原不等式 组只有两个整数解,观察如图所示的数轴,得两个整数解为－１ 和０,∴０≤４＋a＜１,解得－４≤a＜－３,∴实数a的取值范围 为－４≤a＜－３． ２３　一元一次不等式的实际运用 １．C　２．A　３．１０　４．(１)３００　２４０　(２)设购买x件这种文 化用品．当０＜x≤４０时,在甲超市的购物金额为１０x元,在乙 超市的购物金额为０．８×１０x＝８x(元),∵１０x＞８x,∴选择乙 超市支付的费用较少．当x＞４０时,在甲超市的购物金额为 ４００＋０．６(１０x－４００)＝(６x＋１６０)(元),在乙超市的购物金额 为０．８×１０x＝８x(元),当６x＋１６０＞８x,即x＜８０时,选择乙超 市支付的费用较少;当６x＋１６０＝８x,即x＝８０时,选择两超市 支付的费用相同;当６x＋１６０＜８x,即x＞８０时,选择甲超市支 付的费用较少．综上所述,当购买数量不足８０件时,选择乙超 市支付的费用较少;当购买数量为８０件时,选择两超市支付的 费用相同;当购买数量超过８０件时,选择甲超市支付的费用较 少．　５．设小明答对了x道题．根据题意,得６x＋(２５－x)× (－２)＞９０,解得x＞１７１２．∵x 为整数,∴x至少为１８．答:小 明至少答对１８道题才能获得奖品．　６．(１)设购买甲种树苗 x株,乙种树苗y 株．根据题意,得 x＋y＝１０００, ２５x＋３０y＝２８０００,{ 解得 x＝４００, y＝６００．{ 答:购买甲种树苗４００株,乙种树苗６００株．　(２)设 购买甲种树苗a株,则购买乙种树苗(１０００－a)株．由题意得 ９０％a＋９５％(１０００－a)≥９２％×１０００,解得a≤６００．答:甲种 树苗最多购买６００株．　７．设购买该型号计算机x台时的费用 为w元．(１)当x＝８时,方案一:w＝９０％a􀅰８＝７．２a(元);方案 二:w＝５a＋(８－５)a×８０％＝７．４a(元)．∵a＞０,∴７．２a＜７．４a, ∴当x＝８时,应选择方案一,该公司购买费用最少,最少费用 是７．２a元．　(２)∵该公司采用方案二购买更合算,∴x＞５．方 案一:w＝９０％ax＝０．９ax(元);方案二:当x＞５时,w＝５a＋ (x－５)a􀅰８０％＝５a＋０．８ax－４a＝(a＋０．８ax)元．根据题意, 得０．９ax＞a＋０．８ax．结合a＞０,可解得x＞１０,∴x的取值范 围是x＞１０．　８．(１)设小樱桃的进价为每千克x元,大樱桃 的进价为每千克y 元．根据题意,得 ２００x＋２００y＝８０００, y－x＝２０,{ 解 得 x＝１０, y＝３０,{ ∴２００×[(４０－３０)＋(１６－１０)]＝３２００(元)．答:小 樱桃的进价为每千克１０元,大樱桃的进价为每千克３０元,销 售完后,该水果商共赚了３２００元．　(２)设大樱桃的售价为 a元/kg．根据题意,得(１－２０％)×２００×１６＋２００a－８０００≥ ３２００×９０％,解 得 a≥４１．６．答:大 樱 桃 的 售 价 最 少 应 为 ４１．６元/kg． ２４　一元一次不等式组的实际运用 １．３３０　２．(１) ０．６x＋０．２(６５０－x)≤３００, ０．３x＋０．４(６５０－x)≤２４０,{ 解得２００≤x≤４２５． (２)由于生产乙种饮料越多,销售额越大,且２００≤x≤４２５,则当 生产甲饮料最少为２００kg时,满足题意．答:甲、乙两种饮料分 别生产２００kg、４５０kg时才能使得这批饮料的销售总金额最大． ３．(１)设一个 A型口罩的售价是a元,一个B型口罩的售价是 b元．根据题意,得 a＋３b＝２６, ３a＋２b＝２９,{ 解得 a＝５, b＝７．{ 答:一个 A型口罩 的售价是５元,一个B型口罩的售价是７元．　(２)设购进 A型 口罩x个,B型口罩(５０－x)个．根据题意,得 x≥３５, x≤３(５０－x),{ 解 得３５≤x≤３７．５．∵x为整数,∴x＝３５、３６、３７．三种方案见下表: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６７　 方案 A型口罩/个 B型口罩/个 一 ３５ １５ 二 ３６ １４ 三 ３７ １３ 按方案一购进需要５×３５＋７×１５＝２８０(元),按方案二购进需要 ５×３６＋７×１４＝２７８(元),按方案三购进需要５×３７＋７×１３＝ ２７６(元)．∵２８０＞２７８＞２７６,∴方案三最省钱．　４．(１)设一套课 桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元．根据题意,得 y＝x＋８０, １０x＋４y＝２０００,{ 解得 x＝１２０, y＝２００．{ 答:一套课桌凳和一套办公桌 椅的价格分别为１２０元、２００元．　(２)设购买办公桌椅m 套,则 购买课桌凳２０m 套,由题意得１６０００≤８００００－１２０×２０m－ ２００×m≤２４０００,解得２１ ７１３≤m≤２４ ８ １３．∵m 为整数,∴m＝ ２２、２３、２４,有三种购买方案．　５．(１)设饮用水有x件,则蔬菜有 (x－８０)件．x＋(x－８０)＝３２０,解得x＝２００,x－８０＝１２０．答:饮 用水和蔬菜分别为２００件和１２０件．　(２)设租用甲种货车 m辆,则 租 用 乙 种 货 车 (８ － m)辆．由 题 意 得 ４０m＋２０(８－m)≥２００, １０m＋２０(８－m)≥１２０,{ 解得２≤m≤４．∵m 为正整数,∴m＝２ 或３或４,安排甲、乙两种货车时有３种方案．设计方案分别为: ①甲车２辆,乙车６辆;②甲车３辆,乙车５辆;③甲车４辆,乙 车４辆．　(３)３种方案的运费分别为:①２×４００＋６×３６０＝ ２９６０(元);②３×４００＋５×３６０＝３０００(元);③４×４００＋４× ３６０＝３０４０(元),∴方案①运费最少,最少运费是２９６０元．答: 运输部门应选择甲车２辆,乙车６辆,可使运费最少,最少运费 是２９６０元．　６．(１)设改扩建１所 A类学校需资金x万元,改 扩 建 １ 所 B 类 学 校 需 资 金 y 万 元．根 据 题 意,得 ２x＋３y＝７８００, ３x＋y＝５４００,{ 解得 x＝１２００, y＝１８００．{ 答:改扩建１所 A 类学校需 资金１２００万元,改扩建１所 B类学校需资金１８００万元．　 (２)设 A类学校有a所,则B类学校有(１０－a)所．根据题意,得 (１２００－３００)a＋(１８００－５００)(１０－a)≤１１８００, ３００a＋５００(１０－a)≥４０００,{ 解得３≤a≤ ５,故整数a为３、４、５．答:有３种改扩建方案,方案一:A类学校 有３所,B类学校有７所;方案二:A类学校有４所,B类学校有 ６所;方案三:A类学校有５所,B类学校有５所．　７．(１)设甲队 原计划平均每天的施工土方量为x万立方米,乙队原计划平均 每 天 的 施 工 土 方 量 为 y 万 立 方 米．根 据 题 意,得 １５０(x＋y)＝１２０, １１０x＋(４０＋１１０)y＝１０３．２,{ 解得 x＝０．４２, y＝０．３８．{ 答:甲队原计划 平均每天的施工土方量为０．４２万立方米,乙队原计划平均每天 的施工土方量为０．３８万立方米．　(２)设乙队平均每天的施工 土方量比原来提高a万立方米才能保证按时完成任务．根据题 意,得１１０×０．４２＋(４０＋１１０)􀅰(０．３８＋a)≥１２０,解得a≥ ０􀆰１１２．答:乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高 ０􀆰１１２万立方米才能保证按时完成任务． ２５　说理、定义与命题 １．C　２．D　３．如果b－a＜０,那么a＞b　４．①②④　５．(１)是 命题．如果在不等式两边同乘一个数,那么不等号方向不变．假 命题．　(２)是命题．如果连接两个点,那么在连接两点之间的 所有线中,线段最短．真命题．　(３)是命题．如果两个数的绝对 值相等,那么这两个数的平方相等．真命题．　６．甲商店买比 较合算,理由略．　７．A　８．A　９．如果两条直线垂直于同一 条直线,那么这两直线互相平行　两条直线垂直于同一条直线 两条直线互相平行　１０．小于等于５,证明略．　１１．４,发现 略,理由略．　１２．略 ２６　证明 １．B　２．对顶角相等　AH∥DG　同位角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等　等量代换　AB　CD　内错角相 等,两 直 线 平 行 　３．证 明:∵ ∠BDC ＝ ∠A ＋ ∠ACD, 又∵∠BCD＝∠A,∴∠BDC＝∠BCD＋∠ACD＝∠ACB．　 ４．(１)１８０°　(２)已知如图所示的△ABC． 求证:∠A＋∠B＋∠C＝１８０°．证明:过点C作CF∥AB．∵CF∥ AB,∴∠２＝∠A,∠B＋∠BCF＝１８０°．∵∠１＋∠２＝∠BCF, ∴∠B＋∠１＋∠２＝１８０°,∴∠B＋∠１＋∠A＝１８０°,即三角形 内角和等于１８０°．　５．D　６．B　７．１５　８．证明:在四边形 ABCD中,∠B＝∠D＝９０°,∴∠DAB＋∠DCB＝１８０°．又∵AE、 CF分别 平 分 ∠BAD 和 ∠DCB,∴ ∠１＝ １２ ∠DAB ,∠２＝ １ ２∠DCB ,∴ ∠１＋ ∠２＝９０°．在 Rt△FBC 中,∠B＝９０°, ∴∠２＋∠３＝９０°,∴∠１＝∠３,∴AE∥FC．　９．(１)∠F＝ ９０°－１２∠DAF　 (２)∠EGF＝９０°　１０．(１)∠APC＝３６０°－ ∠PAB － ∠PCD 　 (２)∠APC ＝ ∠PAB ＋ ∠PCD 　 (３)∠APC＝∠PCD－∠PAB　(４)∠APC＝∠PAB－∠PCD　 选择和理由略． ２７　互逆命题 １．B　２．A　３．A　４．略　５．＞　＞　＞　１８０°　三角形内 角和为１８０°　假设　原命题正确　６．B　７．(２)　８．８９°　 ９．相等,证明略．　１０．(１)∵BE 平分 ∠ABC,∴ ∠ABC＝ ２∠EBC＝６４°．∵ AD ⊥ BC,∴∠ADB＝ ∠ADC ＝ ９０°, ∴∠BAD＝９０°－６４°＝２６°．∵∠C＋∠EBC＝∠AEB,∴∠C＝ ∠AEB－∠EBC＝７０°－３２°＝３８°,∴∠CAD＝９０°－３８°＝５２°, ∴∠BAD∶ ∠CAD＝１∶２．　 (２)分 两 种 情 况:① 如 图 １, ∠BFE＝９０°,∴∠BEF＝９０°－∠EBC＝９０°－３２°＝５８°． ②如图２,∠FEC＝９０°,∴∠EFC＝９０°－３８°＝５２°,∴∠BEF＝ ∠EFC－∠EBC＝５２°－３２°＝２０°．综上所述,∠BEF 的度数为 ５８°或２０°． ２８　全等图形与全等三角形 １．C　２．２０　３．∠B′A′C′　∠A′B′C′　∠C′　A′B′　B′C′　 ４．５　８０　５．在△ABC 中,∠A＋∠B＋∠ACB＝１８０°(三角 形内角和为１８０°)．∵∠A＝３０°,∠B＝５０°(已知),∴∠ACB＝ １８０°－３０°－５０°＝１００°．∵△ABC≌△DEF(已知),∴∠ACB＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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