9 正方形 -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

２２　 　 　正　方　形 １．矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (　　) A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 ２．已知四边形ABCD 中,∠A＝∠B＝∠C＝９０°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是 正方形,那么这个条件可以是 (　　) A．∠D＝９０° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD ３．如图,正方形ABCD 的边长为８,E 是CD 的中点,HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于 点 H、G,则BG＝　　　　． (第３题) 　　　　　　 (第４题) ４．如图,在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE,则∠AEB 的度数为　　　　． ５．如图,边长为６的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S１、S２,则 S１＋S２ 的值为 (　　) A．１６ B．１７ C．１８ D．１９ (第５题) 　　　　　　 (第６题) ６．如图,在正方形 ABCD 中,F 为CD 上一点,BF 与AC 交于点E．若∠CBF＝２０°,则 ∠AED＝　　　　°． ７．如图,四边形ABCD 是边长为２的正方形,G、E 分别是边AB、BC 的中点,∠AEF＝９０°, 且EF交正方形外角的平分线CF 于点F． (１)求证:∠BAE＝∠FEC． (２)求证:△AGE≌△ECF． (３)求△AEF的面积． ２３　 　　８．如图,在正方形ABCD 中,点E、F分别在BC、CD 上移动,但点A 到EF 的距离AH 始终 保持与AB 的长相等,问在点E、F移动过程中: (１)∠EAF的大小是否变化? 请说明理由． (２)△ECF的周长是否变化? 请说明理由． ９．如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠A＝９０°,P、Q 分别是AB、AC 上的一动点,且满足 BP＝AQ,D 是BC 的中点． (１)求证:△PDQ 是等腰直角三角形． (２)当点P 运动到什么位置时,四边形APDQ 是正方形? 并说明理由． １０．如图,正方形ABCD 的边长为２,E 为与点D 不重合的动点,以 DE 为一边作正方形 DEFG．设DE＝d１,点F、G与点C的距离分别为d２、d３,则d１＋d２＋d３ 的最小值为 (　　) A．２ B．２ C．２２ D．４ (第１０题) 　　　　 (第１１题) 　　　　 (第１２题) １１．如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF． 设∠CBE＝α°,则∠AFP 的度数为 (　　) A．(２α)° B．(９０－α)° C．(４５＋α)° D．(９０－１２α)° １２．如图,在正方形ABCD 中,M 是AB 上一动点,E 是CM 的中点,AE 绕点E 顺时针旋转 ９０°得到EF,连接DE、DF．给出结论:①DE＝EF;②∠CDF＝４５°;③AMDF＝ ７ ５ ;④若正方 形的边长为２,则点 M 在射线AB 上运动时,CF有最小值 ２．其中结论正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ ７２　 综上所述,当EH 的长度为２或 ２时,△AQG为等腰三角形． ６　平行四边形(１) １．C ２．C ３．B ４．２０ ５．证明:(１)∵O为对角线BD 的中 点,∴OD＝OB．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DF∥EB, ∴∠DFE＝∠BEF．在△DOF和△BOE中, ∠DFO＝∠BEO, ∠DOF＝∠BOE, DO＝BO, ì î í ïï ï ∴△DOF≌△BOE(AAS)．　(２)∵△DOF≌△BOE,∴DF＝ BE．∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,∴DE＝BF． ６．C ７．C ８．１２cm２　９．AB＝８cm,BC＝１２cm １０．１０ １１．连接BF,猜想BF＝DE．∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC,∴ ∠DAE＝ ∠BCF．∵AE＝CF, ∴△ADE≌△CBF,∴BF＝DE． １２．２ ７　平行四边形(２) １．B ２．C ３．C ４．D ５．２ ６．(１)证明:∵BE、DG 分 别平 分 ∠ABC、∠ADC,∴ ∠CBE＝ １２ ∠CBA ,∠ADG＝ １ ２∠ADC．∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ ∠CBA＝ ∠ADC,CB＝AD,CB∥AD．∴ ∠CBE＝ ∠ADG,∠BCE＝ ∠DAG．∴△BCE≌△DAG．∴BE＝DG,∠BEC＝∠DGA． ∴∠BEG＝∠DGE．∴BE∥DG．　(２)过点E 作EH⊥BC 于 点H．∵BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,∴EH＝EF＝６． ∵▱ABCD 的周长为５６,∴AB＋BC＝２８,∴S△ABC ＝１２AB 􀅰 EF＋１２BC 􀅰EH＝ １２EF 􀅰(AB＋BC)＝ １２ ×６×２８＝８４． ７．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD＝AB,AD＝CB, ∠DAB＝ ∠BCD．又 △ADE 和 △BCF 都 是 等 边 三 角 形, ∴DE＝BF,CF＝AE,∠DAE＝ ∠BCF＝６０°．∵ ∠DCF＝ ∠BCD－ ∠BCF,∠BAE＝ ∠DAB－ ∠DAE,∴ ∠DCF＝ ∠BAE,∴△DCF≌△BAE,∴DF＝BE．又DE＝BF,∴四边形 BEDF是平行四边形． ８．证明:连接BD 交AC于点O．∵四 边形DEBF为平行四边形,∴OD＝OB,OE＝OF．∵AF＝CE, ∴AF－EF＝CE－EF,即 AE＝CF,∴AE＋OE＝CF＋OF, 即OA＝OC．又∵OD＝OB,∴四边形ABCD 是平行四边形． ９．互相平分．理由如下:在 ▱ABCD 中,AB∥CD 且AB＝ CD．∵点E、F分别在AB、CD 上,∴DF∥BE．又∵DF＝BE, ∴四边形BEDF为平行四边形,∴DE∥BF．同理,CE∥AF． ∴四边形ENFM 为平行四边形,∴EF 与 MN 互相平分．　 １０．D ８　矩形、菱形 １．A ２．C ３．A ４．２０cm ２４cm２　５．４３ ６． (１)证明: ∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DCE．∵E 是 AD 的中点,∴AE＝ DE．在 △AEF 和 △DEC 中, ∠AFE＝∠DCE, ∠AEF＝∠DEC, AE＝DE, ì î í ïï ï ∴ △AEF≌ △DEC,∴AF＝CD．∵AF＝BD,∴BD＝CD． (２)四边形AFBD 是矩形．证 明:∵AB＝AC,D 是BC 的 中 点,∴AD⊥BC, ∴∠ADB＝９０°．∵AF＝BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行 四边形．又∠ADB＝９０°,∴四边形AFBD 是矩形． ７．(１)连 接AC,证明△ABE≌△ACF,得AE＝AF．又∵∠EAF＝６０°, ∴△AEF为等边三角形． (２)２０° ８．(１)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD＝BC,∠D＝∠B＝９０°．由折叠知AD＝ BC＝EC,∠D＝ ∠B＝ ∠E＝９０°．在 △DAF 和 △ECF 中, ∠DFA＝∠EFC, ∠D＝∠E, DA＝EC, ì î í ïï ï ∴△DAF≌△ECF(AAS)．　(２)∵△DAF≌ △ECF,∴∠FAD＝∠FCE＝４０°．∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠DAB＝９０°,∴∠EAB＝∠DAB－∠FAD＝９０°－４０°＝ ５０°．由折叠知∠CAE＝∠CAB,∴∠CAB＝２５°．　９．∵BE⊥ AD,BF⊥CD,∴∠BEA＝∠BFC＝９０°．又四边形 ABCD 是 平行四边形,∴∠BAE＝∠BCF,∴∠ABE＝∠CBF．∵BG＝ BH,∴ ∠BGH＝ ∠BHG,∴ ∠BGA＝ ∠BHC,∴ △BGA≌ △BHC,∴AB＝BC,∴ 四边形 ABCD 为菱形． １０．１０　 １１．２４ ９　正方形 １．B ２．D ３．１ ４．１５° ５．B ６．６５　７．(１)证 明: ∵∠AEF＝９０°,∴ ∠FEC＋ ∠AEB＝９０°．在 Rt△ABE 中, ∠AEB＋∠BAE＝９０°,∴∠BAE＝∠FEC． (２)证明:∵G、 E分别是正方形ABCD 的边AB、BC 的中点,∴AG＝GB＝ BE＝EC,∠AGE＝１８０°－４５°＝１３５°．∵CF 是∠DCH 的平分 线,∴ ∠ECF＝９０°＋４５°＝１３５°＝ ∠AGE．又 ∵ ∠GAE＝ ∠FEC,∴△AGE≌△ECF． (３)５２ ８． (１)不变．理由如下: 在 Rt△ABE和Rt△AHE中,AB＝AH,AE＝AE,∴Rt△ABE≌ Rt△AHE,∴BE＝HE,∠HAE＝ ∠BAE．同 理,DF＝HF, ∠DAF＝∠HAF．∴∠EAF＝１２∠BAD＝４５°．　 (２)不变．理 由如下:∵ △ECF 的 周 长 ＝EF＋CE＋CF＝BC＋DC, ∴△ECF的周长等于正方形边长的２倍． ９．(１)证明:连接 AD．∵△ABC是等腰直角三角形,D 是BC 的中点,∴AD⊥ BC,AD ＝BD ＝DC,∴ ∠DAQ ＝ ∠DBP．又 BP ＝AQ, ∴△BPD≌△AQD,∴PD＝QD,∠ADQ＝∠BDP．∵∠BDP＋ ∠ADP＝９０°,∴ ∠ADP＋ ∠ADQ＝９０°,即 ∠PDQ＝９０°, ∴△PDQ为等腰直角三角形． (２)当点P运动到AB的中点 时,四边形APDQ是正方形．理由略． １０．C １１．B １２．B １０　三角形的中位线 １．B ２．A ３．C ４．５ ５．１８° ６．(１)中位 中 (２)证 明:连接 DE、DF．∵D、E、F 分别是边BC、AB、AC 的中点, ∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴EF 与AD 互相平分． ７．连接AO．∵E、F 分别是AB、OB 的中 点,∴EF∥AO,EF＝ １２AO． 同理,DG∥AO,DG＝ １２AO． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋