8 矩形、菱形 -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

２０　 　　　矩形、菱形 １．矩形ABCD 的对角线相交于点O,若∠AOD＝１３０°,则∠ACB 的度数为 (　　) A．２５° B．４０° C．５０° D．６５° ２．下列条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是 (　　) A．∠A＝∠B＝∠C＝９０° B．AC＝BD,AC与BD 互相平分 C．AB∥CD,AC＝BD D．AB∥CD,AB＝CD,AB⊥BC ３．如图,若四边形ABCD 是菱形,AC＝８,DB＝６,DH⊥AB 于点H,则 DH 的长度为 (　　) A．２４５ B． １２ ５ C．１２ D．２４ ４．若菱形的两条对角线的长分别为６cm 和８cm,则这个菱形的周长为　　　　,面积是 　　　　． ５．如图,将矩形纸片ABCD 沿CE 折叠,使点B 落在边AD 上的点F 处．若点E 在边AB 上,AB＝３,BC＝５,则AE＝　　　　． ６．如图,在△ABC 中,D 是边BC 上的一点,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线,交 CE 的延长线于点F,且AF＝BD,连接BF． (１)求证:BD＝CD． (２)如果AB＝AC,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论． ２１　 　　７．如图,在菱形ABCD 中,∠B＝∠EAF＝６０°,∠BAE＝２０°． (１)试说明△AEF为等边三角形． (２)求∠CEF的度数． ８．如图,将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 的对应点为E,AE 与CD 交于点F． (１)求证:△DAF≌△ECF． (２)若∠FCE＝４０°,求∠CAB 的度数． ９．如图,在▱ABCD 中,BE⊥AD 于点E,BF⊥CD 于点F,AC 分别与BE、BF 交于点G、 H．若BG＝BH,试说明四边形ABCD 是菱形． １０．如图,在平行四边形 ABCD 中,AB⊥AC,AB＝３,AC＝４,分别以 A、C 为圆心,大于 １ ２AC 的长为半径画弧,两弧相交于点 M、N,过点 M、N 作直线,与BC交于点E,与AD 交于点F,连接AE、CF,则四边形AECF的周长为　　　　． (第１０题) 　　　　 (第１１题) １１．如图,四边形ABCD与四边形AEGF均是矩形,点E、F分别在线段AB、AD 上．若BE＝ FD＝２cm,矩形AEGF的周长为２０cm,则图中阴影部分的面积为　　　　cm２． ７２　 综上所述,当EH 的长度为２或 ２时,△AQG为等腰三角形． ６　平行四边形(１) １．C ２．C ３．B ４．２０ ５．证明:(１)∵O为对角线BD 的中 点,∴OD＝OB．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DF∥EB, ∴∠DFE＝∠BEF．在△DOF和△BOE中, ∠DFO＝∠BEO, ∠DOF＝∠BOE, DO＝BO, ì î í ïï ï ∴△DOF≌△BOE(AAS)．　(２)∵△DOF≌△BOE,∴DF＝ BE．∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,∴DE＝BF． ６．C ７．C ８．１２cm２　９．AB＝８cm,BC＝１２cm １０．１０ １１．连接BF,猜想BF＝DE．∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC,∴ ∠DAE＝ ∠BCF．∵AE＝CF, ∴△ADE≌△CBF,∴BF＝DE． １２．２ ７　平行四边形(２) １．B ２．C ３．C ４．D ５．２ ６．(１)证明:∵BE、DG 分 别平 分 ∠ABC、∠ADC,∴ ∠CBE＝ １２ ∠CBA ,∠ADG＝ １ ２∠ADC．∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ ∠CBA＝ ∠ADC,CB＝AD,CB∥AD．∴ ∠CBE＝ ∠ADG,∠BCE＝ ∠DAG．∴△BCE≌△DAG．∴BE＝DG,∠BEC＝∠DGA． ∴∠BEG＝∠DGE．∴BE∥DG．　(２)过点E 作EH⊥BC 于 点H．∵BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,∴EH＝EF＝６． ∵▱ABCD 的周长为５６,∴AB＋BC＝２８,∴S△ABC ＝１２AB 􀅰 EF＋１２BC 􀅰EH＝ １２EF 􀅰(AB＋BC)＝ １２ ×６×２８＝８４． ７．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD＝AB,AD＝CB, ∠DAB＝ ∠BCD．又 △ADE 和 △BCF 都 是 等 边 三 角 形, ∴DE＝BF,CF＝AE,∠DAE＝ ∠BCF＝６０°．∵ ∠DCF＝ ∠BCD－ ∠BCF,∠BAE＝ ∠DAB－ ∠DAE,∴ ∠DCF＝ ∠BAE,∴△DCF≌△BAE,∴DF＝BE．又DE＝BF,∴四边形 BEDF是平行四边形． ８．证明:连接BD 交AC于点O．∵四 边形DEBF为平行四边形,∴OD＝OB,OE＝OF．∵AF＝CE, ∴AF－EF＝CE－EF,即 AE＝CF,∴AE＋OE＝CF＋OF, 即OA＝OC．又∵OD＝OB,∴四边形ABCD 是平行四边形． ９．互相平分．理由如下:在 ▱ABCD 中,AB∥CD 且AB＝ CD．∵点E、F分别在AB、CD 上,∴DF∥BE．又∵DF＝BE, ∴四边形BEDF为平行四边形,∴DE∥BF．同理,CE∥AF． ∴四边形ENFM 为平行四边形,∴EF 与 MN 互相平分．　 １０．D ８　矩形、菱形 １．A ２．C ３．A ４．２０cm ２４cm２　５．４３ ６． (１)证明: ∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DCE．∵E 是 AD 的中点,∴AE＝ DE．在 △AEF 和 △DEC 中, ∠AFE＝∠DCE, ∠AEF＝∠DEC, AE＝DE, ì î í ïï ï ∴ △AEF≌ △DEC,∴AF＝CD．∵AF＝BD,∴BD＝CD． (２)四边形AFBD 是矩形．证 明:∵AB＝AC,D 是BC 的 中 点,∴AD⊥BC, ∴∠ADB＝９０°．∵AF＝BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行 四边形．又∠ADB＝９０°,∴四边形AFBD 是矩形． ７．(１)连 接AC,证明△ABE≌△ACF,得AE＝AF．又∵∠EAF＝６０°, ∴△AEF为等边三角形． (２)２０° ８．(１)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD＝BC,∠D＝∠B＝９０°．由折叠知AD＝ BC＝EC,∠D＝ ∠B＝ ∠E＝９０°．在 △DAF 和 △ECF 中, ∠DFA＝∠EFC, ∠D＝∠E, DA＝EC, ì î í ïï ï ∴△DAF≌△ECF(AAS)．　(２)∵△DAF≌ △ECF,∴∠FAD＝∠FCE＝４０°．∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠DAB＝９０°,∴∠EAB＝∠DAB－∠FAD＝９０°－４０°＝ ５０°．由折叠知∠CAE＝∠CAB,∴∠CAB＝２５°．　９．∵BE⊥ AD,BF⊥CD,∴∠BEA＝∠BFC＝９０°．又四边形 ABCD 是 平行四边形,∴∠BAE＝∠BCF,∴∠ABE＝∠CBF．∵BG＝ BH,∴ ∠BGH＝ ∠BHG,∴ ∠BGA＝ ∠BHC,∴ △BGA≌ △BHC,∴AB＝BC,∴ 四边形 ABCD 为菱形． １０．１０　 １１．２４ ９　正方形 １．B ２．D ３．１ ４．１５° ５．B ６．６５　７．(１)证 明: ∵∠AEF＝９０°,∴ ∠FEC＋ ∠AEB＝９０°．在 Rt△ABE 中, ∠AEB＋∠BAE＝９０°,∴∠BAE＝∠FEC． (２)证明:∵G、 E分别是正方形ABCD 的边AB、BC 的中点,∴AG＝GB＝ BE＝EC,∠AGE＝１８０°－４５°＝１３５°．∵CF 是∠DCH 的平分 线,∴ ∠ECF＝９０°＋４５°＝１３５°＝ ∠AGE．又 ∵ ∠GAE＝ ∠FEC,∴△AGE≌△ECF． (３)５２ ８． (１)不变．理由如下: 在 Rt△ABE和Rt△AHE中,AB＝AH,AE＝AE,∴Rt△ABE≌ Rt△AHE,∴BE＝HE,∠HAE＝ ∠BAE．同 理,DF＝HF, ∠DAF＝∠HAF．∴∠EAF＝１２∠BAD＝４５°．　 (２)不变．理 由如下:∵ △ECF 的 周 长 ＝EF＋CE＋CF＝BC＋DC, ∴△ECF的周长等于正方形边长的２倍． ９．(１)证明:连接 AD．∵△ABC是等腰直角三角形,D 是BC 的中点,∴AD⊥ BC,AD ＝BD ＝DC,∴ ∠DAQ ＝ ∠DBP．又 BP ＝AQ, ∴△BPD≌△AQD,∴PD＝QD,∠ADQ＝∠BDP．∵∠BDP＋ ∠ADP＝９０°,∴ ∠ADP＋ ∠ADQ＝９０°,即 ∠PDQ＝９０°, ∴△PDQ为等腰直角三角形． (２)当点P运动到AB的中点 时,四边形APDQ是正方形．理由略． １０．C １１．B １２．B １０　三角形的中位线 １．B ２．A ３．C ４．５ ５．１８° ６．(１)中位 中 (２)证 明:连接 DE、DF．∵D、E、F 分别是边BC、AB、AC 的中点, ∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴EF 与AD 互相平分． ７．连接AO．∵E、F 分别是AB、OB 的中 点,∴EF∥AO,EF＝ １２AO． 同理,DG∥AO,DG＝ １２AO． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋