6 平行四边形(1) -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

７２　 综上所述,当EH 的长度为２或 ２时,△AQG为等腰三角形． ６　平行四边形(１) １．C ２．C ３．B ４．２０ ５．证明:(１)∵O为对角线BD 的中 点,∴OD＝OB．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DF∥EB, ∴∠DFE＝∠BEF．在△DOF和△BOE中, ∠DFO＝∠BEO, ∠DOF＝∠BOE, DO＝BO, ì î í ïï ï ∴△DOF≌△BOE(AAS)．　(２)∵△DOF≌△BOE,∴DF＝ BE．∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,∴DE＝BF． ６．C ７．C ８．１２cm２　９．AB＝８cm,BC＝１２cm １０．１０ １１．连接BF,猜想BF＝DE．∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC,∴ ∠DAE＝ ∠BCF．∵AE＝CF, ∴△ADE≌△CBF,∴BF＝DE． １２．２ ７　平行四边形(２) １．B ２．C ３．C ４．D ５．２ ６．(１)证明:∵BE、DG 分 别平 分 ∠ABC、∠ADC,∴ ∠CBE＝ １２ ∠CBA ,∠ADG＝ １ ２∠ADC．∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ ∠CBA＝ ∠ADC,CB＝AD,CB∥AD．∴ ∠CBE＝ ∠ADG,∠BCE＝ ∠DAG．∴△BCE≌△DAG．∴BE＝DG,∠BEC＝∠DGA． ∴∠BEG＝∠DGE．∴BE∥DG．　(２)过点E 作EH⊥BC 于 点H．∵BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,∴EH＝EF＝６． ∵▱ABCD 的周长为５６,∴AB＋BC＝２８,∴S△ABC ＝１２AB 􀅰 EF＋１２BC 􀅰EH＝ １２EF 􀅰(AB＋BC)＝ １２ ×６×２８＝８４． ７．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD＝AB,AD＝CB, ∠DAB＝ ∠BCD．又 △ADE 和 △BCF 都 是 等 边 三 角 形, ∴DE＝BF,CF＝AE,∠DAE＝ ∠BCF＝６０°．∵ ∠DCF＝ ∠BCD－ ∠BCF,∠BAE＝ ∠DAB－ ∠DAE,∴ ∠DCF＝ ∠BAE,∴△DCF≌△BAE,∴DF＝BE．又DE＝BF,∴四边形 BEDF是平行四边形． ８．证明:连接BD 交AC于点O．∵四 边形DEBF为平行四边形,∴OD＝OB,OE＝OF．∵AF＝CE, ∴AF－EF＝CE－EF,即 AE＝CF,∴AE＋OE＝CF＋OF, 即OA＝OC．又∵OD＝OB,∴四边形ABCD 是平行四边形． ９．互相平分．理由如下:在 ▱ABCD 中,AB∥CD 且AB＝ CD．∵点E、F分别在AB、CD 上,∴DF∥BE．又∵DF＝BE, ∴四边形BEDF为平行四边形,∴DE∥BF．同理,CE∥AF． ∴四边形ENFM 为平行四边形,∴EF 与 MN 互相平分．　 １０．D ８　矩形、菱形 １．A ２．C ３．A ４．２０cm ２４cm２　５．４３ ６． (１)证明: ∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DCE．∵E 是 AD 的中点,∴AE＝ DE．在 △AEF 和 △DEC 中, ∠AFE＝∠DCE, ∠AEF＝∠DEC, AE＝DE, ì î í ïï ï ∴ △AEF≌ △DEC,∴AF＝CD．∵AF＝BD,∴BD＝CD． (２)四边形AFBD 是矩形．证 明:∵AB＝AC,D 是BC 的 中 点,∴AD⊥BC, ∴∠ADB＝９０°．∵AF＝BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行 四边形．又∠ADB＝９０°,∴四边形AFBD 是矩形． ７．(１)连 接AC,证明△ABE≌△ACF,得AE＝AF．又∵∠EAF＝６０°, ∴△AEF为等边三角形． (２)２０° ８．(１)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD＝BC,∠D＝∠B＝９０°．由折叠知AD＝ BC＝EC,∠D＝ ∠B＝ ∠E＝９０°．在 △DAF 和 △ECF 中, ∠DFA＝∠EFC, ∠D＝∠E, DA＝EC, ì î í ïï ï ∴△DAF≌△ECF(AAS)．　(２)∵△DAF≌ △ECF,∴∠FAD＝∠FCE＝４０°．∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠DAB＝９０°,∴∠EAB＝∠DAB－∠FAD＝９０°－４０°＝ ５０°．由折叠知∠CAE＝∠CAB,∴∠CAB＝２５°．　９．∵BE⊥ AD,BF⊥CD,∴∠BEA＝∠BFC＝９０°．又四边形 ABCD 是 平行四边形,∴∠BAE＝∠BCF,∴∠ABE＝∠CBF．∵BG＝ BH,∴ ∠BGH＝ ∠BHG,∴ ∠BGA＝ ∠BHC,∴ △BGA≌ △BHC,∴AB＝BC,∴ 四边形 ABCD 为菱形． １０．１０　 １１．２４ ９　正方形 １．B ２．D ３．１ ４．１５° ５．B ６．６５　７．(１)证 明: ∵∠AEF＝９０°,∴ ∠FEC＋ ∠AEB＝９０°．在 Rt△ABE 中, ∠AEB＋∠BAE＝９０°,∴∠BAE＝∠FEC． (２)证明:∵G、 E分别是正方形ABCD 的边AB、BC 的中点,∴AG＝GB＝ BE＝EC,∠AGE＝１８０°－４５°＝１３５°．∵CF 是∠DCH 的平分 线,∴ ∠ECF＝９０°＋４５°＝１３５°＝ ∠AGE．又 ∵ ∠GAE＝ ∠FEC,∴△AGE≌△ECF． (３)５２ ８． (１)不变．理由如下: 在 Rt△ABE和Rt△AHE中,AB＝AH,AE＝AE,∴Rt△ABE≌ Rt△AHE,∴BE＝HE,∠HAE＝ ∠BAE．同 理,DF＝HF, ∠DAF＝∠HAF．∴∠EAF＝１２∠BAD＝４５°．　 (２)不变．理 由如下:∵ △ECF 的 周 长 ＝EF＋CE＋CF＝BC＋DC, ∴△ECF的周长等于正方形边长的２倍． ９．(１)证明:连接 AD．∵△ABC是等腰直角三角形,D 是BC 的中点,∴AD⊥ BC,AD ＝BD ＝DC,∴ ∠DAQ ＝ ∠DBP．又 BP ＝AQ, ∴△BPD≌△AQD,∴PD＝QD,∠ADQ＝∠BDP．∵∠BDP＋ ∠ADP＝９０°,∴ ∠ADP＋ ∠ADQ＝９０°,即 ∠PDQ＝９０°, ∴△PDQ为等腰直角三角形． (２)当点P运动到AB的中点 时,四边形APDQ是正方形．理由略． １０．C １１．B １２．B １０　三角形的中位线 １．B ２．A ３．C ４．５ ５．１８° ６．(１)中位 中 (２)证 明:连接 DE、DF．∵D、E、F 分别是边BC、AB、AC 的中点, ∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴EF 与AD 互相平分． ７．连接AO．∵E、F 分别是AB、OB 的中 点,∴EF∥AO,EF＝ １２AO． 同理,DG∥AO,DG＝ １２AO． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６　 　 　平行四边形(１) １．关于平行四边形的对称性,下列说法正确的是 (　　) A．既是轴对称图形,又是中心对称图形 B．是轴对称图形,不是中心对称图形 C．不是轴对称图形,是中心对称图形 D．既不是轴对称图形,也不是中心对称图形 ２．如图,在▱ABCD 中,EF∥AB,GH∥AD,EF 与GH 交于点O,则该图中的平行四边形 的个数是 (　　) A．７ B．８ C．９ D．１１ (第２题) 　　　　　 (第４题) ３．平行四边形的对角线一定具有的性质是 (　　) A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 ４．如图,在▱ABCD 中,DE 平分∠ADC,AD＝６,BE＝２,则▱ABCD 的周长是　　　　． ５．如图,在▱ABCD 中,O为对角线BD 的中点,EF过点O 且分别交AB、DC于点E、F,连 接DE、BF．求证: (１)△DOF≌△BOE． (２)DE＝BF． ６．若平行四边形的一边长为１２,设对角线长分别为x、y,则x、y的值可能是 (　　) A．８和４ B．１０和１４ C．１８和２０ D．１０和３４ ７．如图,在▱ABCD 中,E、F 是对角线BD 上的两点,如果添加一个条 件,使△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能为 (　　) A．BE＝DF　 B．BF＝DE　 C．AE＝CF　 D．∠１＝∠２ １７　 　　８．在▱ABCD 中,AC是对角线,已知AB＝３cm,AC＝４cm,AD＝５cm,则▱ABCD 的面积 为　　　　． ９．已知▱ABCD 的周长为４０cm,对角线AC、BD 相交于点O,△AOD 的周长比△DOC 的 周长长４cm,求AB、BC的长． １０．如图,在周长为２０的▱ABCD 中,AB≠AD,对角线AC、BD 相交于点O,OE⊥BD 交 AD 于点E,求△ABE 的周长． １１．如图,在▱ABCD 中,点E、F在对角线AC 上,且AE＝CF．请你以F 为一个端点,和图 中已标明的某一点连成一条新线段,猜想并说明它和已有的某一条线段相等．(只需说 明一组线段相等即可) １２．如图,有一张平行四边形纸片ABCD,AB＝５,AD＝７,将这张 纸片折叠,使得点B 落在边AD 上,点B 的对应点为B′,折痕 为EF．若点E 在边AB 上,则DB′长的最小值等于　　　　．