精品解析：浙江省温州市绣山中学2024--2025学年 九年级上学期期中数学试卷

九年级（上）数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题卡上将你认为正确的一个选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．能否构成旋转，解题的关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．据此判断即可． 【详解】解：A．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意； B．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意； C．该图案不是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项符合题意； D．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 二次函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出当、时的的值，比较即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故二次函数的图象经过点，符合题意； B、当时，，故二次函数的图象不经过点，不符合题意； C、当时，，故二次函数的图象不经过点，不符合题意； D、当时，，故二次函数的图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 3. “某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（ ） A. 很有可能中一等奖 B. 张奖券中一定有一张是一等奖 C. 可能中一等奖，但可能性不是很大 D. 个顾客中一定有一人中一等奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根据概率的意义去分析判断即可． 【详解】解：一等奖中奖概率为，说明中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误； 故选：C． 4. 小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 5. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 关于的对称点是， ， ， 故选：A 6. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 综上可知：，，， 故选：． 7. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 8. 若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ） A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再根据每个选项的平移情况得出对应的解析式，再把代入进行计算，算出时，则平移后经过原点，即可作答． 【详解】解：依题意，， A、向上平移个单位，得，把代入，不经过原点，故该选项不符合题意； B、向下平移个单位，得，把代入，经过原点，故该选项符合题意； C、向左平移个单位，得，把代入，不经过原点，故该选项不符合题意； D、向右平移个单位，得，把代入，不经过原点，故该选项不符合题意； 故选：B 9. 如图，是的内接三角形，为的直径，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于，则，由作图可得：平分，由角平分线的性质定理可得，设，则，证明，得出，即，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于，则， 由作图可得：平分， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解有且只有一个“美丽点”的含义，掌握二次函数对称性，增减性的性质是解题的关键． 根据题意，有且只有一个“美丽点”，可得，，解得，由此可得函数（）的开口向上，函数在对称轴处有最小值，把代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得关于对称轴直线的对称点为，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴函数的对称轴为， ∴图象的开口向上，函数有最小值， ∴当时，函数（）的最小值为， 当时，，即函数的最大值， ∵关于对称轴直线的对称点为， ∴， 故选：C ． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡的相应位置上． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，，为上的点，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形内随机掷小石块，经过大量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，则据此估计阴影部分的面积为________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估算频数，解决本题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，即可估算频数． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为； 故答案为：． 13. 如图，若被击打的小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间：(单位:s)之间的关系为，则小球从飞出到落地所用时间为_________． 【答案】7s##7秒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．根据关系式，令，求得t的值可得飞行的时间．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题． 【详解】解：依题意，令得，即， 解得：（舍去）或， 即小球从飞出到落地所用的时间为7s． 故答案为：7s． 14. 若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点在________（填“圆内”“圆上”或“圆外”）． 【答案】圆内 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出的长，再与相比较即可．熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心的坐标是，点的坐标是，的半径为， ∴， ∴点在圆内． 故答案为：圆内． 15. 抛物线经过，两点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的图象与性质，由题意得出将抛物线向左平移一个单位得到抛物线，从而得出抛物线经过，两点，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴将抛物线向左平移一个单位得到抛物线， ∴抛物线经过，两点， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 16. 如图是由两块完全相同的三角板组成的等腰三角形，，，将其中一块三角板绕着点按顺时针方向旋转（）得到．若，则=________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，图形的旋转．根据题意得，推出再分两种情况讨论即可． 【详解】解：根据题意得，，，， ，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 当在右侧时，， 当在左侧时，． 故答案为：或． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式及顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标的计算，掌握待定系数法，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 将点代入抛物线可得，求出二次函数解析式，根据二次函数的对称轴可得顶点坐标，由此即可求解． 【详解】解：将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式是， ∵抛物线的对称轴是， ∴将代入，得， ∴抛物线的顶点坐标为． 18. 某校开设了4门知识类拓展课程，每位同学都要选修其中的门，课程的代号和名称如下表所示，请完成下列问题： 课程代号 课程名称 《趣味数学》 《朝花文学社》 《地理之窗》 《物理与生活》 （1）用恰当的方法列举出小明选修门课程所有可能的结果（用课程代号，，，表示）． （2）求小明选修的门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的概率． 【答案】（1） 画树状图如下： 共有12种等可能的选法； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率． （1）画出树状图即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明选修的门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中树状图得： 共有12种等可能的结果，其中小明选修的门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的结果有2种， 他们两人恰好选到同一门的概率为． 19. 下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． （2）在图2中，请画出的角平分线，交于点． 【答案】（1） 根据题意，作图如下： （2） 根据题意，作图如下： 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，连接即为角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知，在中，，两直角边，的和为，设． （1）求的面积关于的函数表达式及的取值范围． （2）当时，求的值． 【答案】（1），的取值范围是 （2）1或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键． （1）由题意得出，再由三角形面积公式可得，结合，，即可得出的取值范围； （2）当时，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵两直角边，的和为，设， ∴． 由三角形的面积公式，得，即， ∵，， ∴， ∴关于的函数表达式是，的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，， 解得或． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解题关键． （1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，进而可得，即有，结合，可得，进一步可得，然后根据，可知，即可证明结论； （2）首先确定，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，结合易得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴． ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：抛物线可化为． ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是． ∴， ∴． 23. 阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 （1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． （2）现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）先建立平面直角坐标系，得到，根据待定系数法，设，代入即可得解； （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为， 继而得到，计算横向和纵向变化，进而得到至少还需要准备的钢筋长度． 【小问1详解】 以为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示． ∵相邻两根立柱间距米，的长为米， ∴． 设，则，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为， 代入中得， ∴， ∴， ∴， ∴至少还需要准备的钢筋长度为米． 24. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）①8； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即的半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， 设，则，． 由（1）知， 又， ∴， ∴在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ② 略 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题卡上将你认为正确的一个选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是 （ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 3. “某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（ ） A. 很有可能中一等奖 B. 张奖券中一定有一张是一等奖 C. 可能中一等奖，但可能性不是很大 D. 个顾客中一定有一人中一等奖 4. 小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ） A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 9. 如图，是的内接三角形，为的直径，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡的相应位置上． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，，为上的点，，则的度数是________． 12. 如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形内随机掷小石块，经过大量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，则据此估计阴影部分的面积为________．     13. 如图，若被击打的小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间：(单位:s)之间的关系为，则小球从飞出到落地所用时间为_________． 14. 若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点在________（填“圆内”“圆上”或“圆外”）． 15. 抛物线经过，两点，则关于的不等式的解集为________． 16. 如图是由两块完全相同的三角板组成的等腰三角形，，，将其中一块三角板绕着点按顺时针方向旋转（）得到．若，则=________． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式及顶点坐标． 18. 某校开设了4门知识类拓展课程，每位同学都要选修其中的门，课程的代号和名称如下表所示，请完成下列问题： 课程代号 课程名称 《趣味数学》 《朝花文学社》 《地理之窗》 《物理与生活》 （1）用恰当的方法列举出小明选修门课程所有可能的结果（用课程代号，，，表示）． （2）求小明选修的门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的概率． 19. 下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． （2）在图2中，请画出的角平分线，交于点． 20. 已知，在中，，两直角边，的和为，设． （1）求的面积关于的函数表达式及的取值范围． （2）当时，求的值． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 23. 阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 （1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． （2）现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 24. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $