精品解析：重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，即可解答． 【详解】解：无理数有，，共2个． 故选：B． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，逐一判断即可． 【详解】解：、，含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 、，未知数的最高次数为2，故本选项不符合题意； 、，不是整式方程，故本选项不符合题意； 、，是二元一次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A是最简二次根式，故符合题意； B不是最简二次根式，不符合题意； C不是最简二次根式，不符合题意； D不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 4. 点在平面直角坐标系中所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点在第二象限，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 5米 B. 7米 C. 8米 D. 12米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形，，， ∴ ∴这棵树原高：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答． 6. 已知是方程的解，那么k的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：2k-1=3， 解得：k=2， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 7. 我国神舟十四号飞船在太空驻留六个月后于2022年12月4日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（ ） A. 内蒙古西部 B. 酒泉卫星发射中心东北方向 C. 东经 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：A、B、C描述的并非具体位置，D能够准确表示飞船着陆位置的是：东经100°04'26″，北41°37'46″，描述的是具体位置 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键． 8. 如图，点 A 表示的实数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求得的长度．根据勾股定理可得的长，再求出的长，然后求得点A所表示的数即可． 【详解】解：如图： 由题意得： ， ∵ ∴点A表示的实数是 故选B． 9. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可． 【详解】解：甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得： 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 10. 中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 12. 平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0计算m的值即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 所以， 故点M的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标特征，熟练掌握x轴上的点的坐标特征是解题的关键． 13. 如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知在展开图中点和点连接的线段即为需要爬行的最短路径，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接、，其中， 由题意可知：，， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图和平面展开图中最短路径求法，根据题目要求找到最短距离的线段，再利用勾股定理求出其长度是解答本题的关键． 14. 已知直角三角形的斜边长为10，面积为24，则这个直角三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设两直角边的长分别为a，b，根据勾股定理可得的值，根据三角形面积计算公式可得的值，再根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：设两直角边的长分别为a，b， ∵该直角三角形的斜边长为10， ∴由勾股定理得， ∵该直角三角形的面积为24， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， ∴这个直角三角形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 16. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查开方运算，化简绝对值，整式的加减运算．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号． 17. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，通过将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合的条件，直接求出的值． 【详解】解：将方程组 中的两个方程相加，得， 即 ， 所以， 即， 由于， 得， 解得． 故答案为． 18. 某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的和．甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是________． 【答案】18:19 【解析】 【分析】设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x个，每个车间原有成品m个，甲组检验员a人，乙组检验员b人，每个检验员的检验速度为c个/天，根据题意列出三元一次方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x个，每个车间原有成品m个，甲组检验员a人，乙组检验员b人，每个检验员的检验速度为c个/天， 则第五、六车间每天生产的产品数量分别是和， 由题意得，， 得，， 把分别代入①得，， 把分别代入②得，， 则， 甲、乙两组检验员的人数之比是18:19， 故答案为18：19． 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组、正确解出方程组是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共78分.第19题每题8分，其余每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算与求值． （1）． （2）解关于的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，求平方根的方法解方程： （1）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可得到答案； （2）先把方程两边同时开平方，再解两个一元一次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或． 20. 绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，． （1）求的长． （2）求这块菜地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 21. 已知正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据平方根和立方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值，进一步求出的值，最后根据算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】、 解：∵正数的两个不同的平方根是和，的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 22. 如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合． （1）求折叠后DE的长； （2）求重叠部分△BEF的面积． 【答案】（1）折叠后DE的长为5cm；（2）重叠部分△BEF的面积为7.5cm2． 【解析】 【分析】（1）设DE=xcm，由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得ED的长； （2）由翻折的性质可知∠DEF=∠BEF，由矩形的性质可知BC∥AD，从而得到∠BFE=∠DEF，故此可知∠BFE=∠FEB故此FB=BE，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）设DE=xcm． 由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=（9-x）cm． 在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2=EA2+AB2，即x2=（9-x）2+32． 解得：x=5． DE的长为5cm； （2）由翻折的性质可知∠DEF=∠BEF． ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD． ∴∠BFE=∠DEF． ∴∠BFE=∠FEB． ∴FB=BE=5cm． ∴△BEF的面积=×BF×AB=×5×3=7.5cm2． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得△BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键． 23. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形（）如图放置，，点E在边上，现设两直角边长分别为，斜边长为． （1）证明． （2）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：， ， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，三角形内角和定理： （1）根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理证明，据此可证明结论； （2）分别求出梯形的面积，的面积，四边形的面积，根据图形面积之间的关系证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如果第一次租用2辆A型车和1辆B型车装运水果，一次运货10吨；第二次租用1辆A型车和2辆B型车装水果，一次运货11吨（两次运货都是满载） ①求每辆A型车和B型车满载时各装水果多少吨？ ②现有31吨水果需运出，计划同时租用A型车和B型车一次运完，且每辆车都恰好装满，请设计出有哪几种租车方案？ ③若A型车每辆租金200元，B型车每辆租金300元，问哪种租车方案最省钱，最省钱的方案总共租金多少钱？ 【答案】（1）1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨；（2）共三种方案；（3）最省钱方案为A型车9辆，B型车1辆，租车费用2100元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金300元/次，分别求出租车费用即可． 试题解析：（1）解：设A型车1辆运x吨，B型车1辆运y吨，由题意得   解之得 所以1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨． （2）3a+4b=31吨 a= 因a，b只能取整数， ，，共三种方案 （3）在（2）的条件下： 方案一、200+300×7=2300元 方案二、200×5+300×4=2200元 方案三、200×9+300=2100元 租9辆A型，1辆B型最省钱，共用租金2100元. 25. 化简求值． （1）若为的小数部分，求的值． （2）已知，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算，完全平方公式的变形求值： （1）先把有理化，再估算出有理化的结果即可得到答案； （2）先分母有理化求出x、y的值，进而求出和的值，再根据完全平方公式的变形代值计算即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 26. 【问题背景】如图1，在四边形中，，连接，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：，请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形中，，连接，，若，，则当BD最大时，则的面积为______． 【答案】 （1）如图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，易知和均为等腰直角三角形，进而可得，，，再证明，然后利用“”证明，根据全等三角形的性质可得，再证明，进而在和中，利用勾股定理可知，，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，首先解得，易知，和均为等腰直角三角形，进而确定，，由勾股定理可解得的长度，进一步确定，的值，然后理由勾股定理即可求得的值； （3）过点作，使得，连接，易知和为等腰直角三角形，结合（1）可知，故有，根据三角形三边关系可知，易得，当点共线时，取最大值，最大值为，然后证明，并利用勾股定理解得的值，进一步解得的长度，结合三角形面积公式即可获得答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点， 将，代入， 可得， 解得或（舍去） ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，使得，连接， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 结合（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴如下图，当点共线时，取最大值，最大值为， ∴此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当最大时，的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，难度较大，综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是( ) A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 点在平面直角坐标系中所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 5米 B. 7米 C. 8米 D. 12米 6. 已知是方程的解，那么k的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 我国神舟十四号飞船在太空驻留六个月后于2022年12月4日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（ ） A. 内蒙古西部 B. 酒泉卫星发射中心东北方向 C. 东经 D. 东经，北纬 8. 如图，点 A 表示的实数是（ ） A. B. C. 1 D. 9. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若，则___________． 12. 平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标为_____． 13. 如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是______． 14. 已知直角三角形的斜边长为10，面积为24，则这个直角三角形的周长为______． 15. 如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为____． 16. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则_____． 17. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 18. 某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的和．甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是________． 三、解答题（本题共8小题，共78分.第19题每题8分，其余每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算与求值． （1）． （2）解关于的方程． 20. 绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，． （1）求的长． （2）求这块菜地的面积． 21. 已知正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 22. 如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合． （1）求折叠后DE的长； （2）求重叠部分△BEF的面积． 23. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形（）如图放置，，点E在边上，现设两直角边长分别为，斜边长为． （1）证明． （2）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理． 24. 如果第一次租用2辆A型车和1辆B型车装运水果，一次运货10吨；第二次租用1辆A型车和2辆B型车装水果，一次运货11吨（两次运货都是满载） ①求每辆A型车和B型车满载时各装水果多少吨？ ②现有31吨水果需运出，计划同时租用A型车和B型车一次运完，且每辆车都恰好装满，请设计出有哪几种租车方案？ ③若A型车每辆租金200元，B型车每辆租金300元，问哪种租车方案最省钱，最省钱的方案总共租金多少钱？ 25. 化简求值． （1）若为的小数部分，求的值． （2）已知，，求． 26. 【问题背景】如图1，在四边形中，，连接，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：，请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形中，，连接，，若，，则当BD最大时，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $