14.3 因式分解的常见方法及应用 专题讲义 2024-2025学年人教版八年级数学上册

因式分解的常见方法及应用专题提优特训 题型1 提公因式法 1. 因式分解： 2. 简便计算： 题型2 运用公式法 3. 先分解因式，再求值： 其中m=-3,n=2. 题型3 十字相乘法 4. 用十字相乘法分解因式： 5.阅读下面的材料. 材料一:当 ab=0时,a=0或b=0. 材料二：把等式( x+ ab的左右两边交换位置后，得到 (a+b)x+ b=(x+a)(x+b),也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x²+3x+2=(x+1)(x+2). 所以在解方程 时，可以把方程变形为(x+1)(x+2)=0,所以x+1=0;或x+2=0.所以 根据以上材料回答下列问题： (1)因式分解：x²+7x-18= ; (2)解方程: (3)若 求x 与y之间的关系. 题型4 分组分解法 6.某校“数学社团”活动中，研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法.但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如： 细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了.过程为 2n)=m(m--n)+2(m--n)=(m--n)(m+2). “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式： (2)分解因式： (3)已知m+n=5,m--n=1.求 2n+2m 的值; (4)△ABC的三边a,b,c 满足 bc=2ac,判断△ABC 的形状并说明理由. 题型5 因式分解的应用 7. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312,其中3>1,4=3+1,2=3-1,所以4312是亲密数； (1)最小的亲密数是 ，最大的亲密数是 ; (2)若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除； (3)若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的 7 倍之差能被 13整除，请求出这个亲密数. 8.学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”. 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”,因为1,2,4都不为0,且1×4=4,4能被2整除;643 不是“积数”,因为6×3=18,18不能被4 整除. (1)判断 951,396 是否是“积数”? 并说明理由； (2)求出百位数字比个位数字大6 的所有“积数”，并说明理由. 9. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x--1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到六位数的数字密码171920. (1)根据上述方法,当x=21,y=7时,对于多项式 分解因式后可以形成哪些数字密码? (写出三个) (2)若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x,y, 169，求出一个由多项式 分解因式后得到的五位数的数字密码(只需一个即可)； (3)若多项式 因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个六位数的数字密码为 242 834，求m,n 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$