精品解析：广东省中山市第一中学2024--2025学年八年级上学期数学期中试卷

广东省中山市第一中学2024--2025学年八年级上学期数学期中试卷 一、单选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，根据轴对称图形定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列各组数中，能作为三角形的三边长的是（ ） A. 4、4、8 B. 2、7、4 C. 3、5、9 D. 5、7、11 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】A.，4、4、8不能构成三角形，故此选项不符合题意； B. ，2、7、4不能构成三角形，故此选项不符合题意； C. ，3、5、9不能构成三角形，故此选项不符合题意； D. ，5、7、11能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边能构成三角形是解题的关键． 3. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 4. 已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的定义分两种情况讨论：腰为2或腰为4时，然后利用三角形三边关系验证是否能构成三角形． 【详解】若等腰三角形腰为2，底为4时，此时三边分别为2，2，4， ∵ ， ∴不能构成三角形． 若等腰三角形腰为4，底为2时，此时三边分别为4，4，2， ∵ ， ∴能构成三角形． 此时三角形的周长为4+4+2=10 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义，三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键． 5. 如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，过三角形的一共顶点向对边作垂线，这个垂线段就叫做该顶点对边上的高，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴中边上的高是线段， 故选：C． 6. 如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出． 【详解】解：添加， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离是3， 故选：B． 9. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 10. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分．已知，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质即可得到，再根据多边形的外角和是即可求得结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴的外角为: ∵五边形的外角和为， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和为是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点关于轴对称的点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在等边中，，，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先根据等边三角形的性质和已知条件证明，则可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 14. 如图，的周长，，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，先由三角形周长计算公式求出的长，再利用三线合一定理即可求出的长． 【详解】解：∵的周长， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在中，，的面积是40，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴垂直平分， 如图，过点作于点，交于点，则此时取得最小值，最小值为的长，如图所示． ， ， 即的最小值是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了垂线段最短问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 17. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2） 甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 略 18. 按要求完成作图： （1）作关于y轴对称的． （2）写出、、的坐标． （3）在x轴上找出点P，使最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） （3） 解：x轴上使最小的点P如图，点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，轴对称确定最短路线问题， （1）根据网格结构找出点、、C关于轴对称的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． （3）找出点关于轴的对称点，然后连接与轴相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，△ABC，其中AC＞BC． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB＝8，△PBC的周长为13，求△ABC的周长． 【答案】（1） 如图，直线PQ为所求； （2）21 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2））证明PA＝PB，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AB的垂直平分线交AC于点P， ∴PA＝PB， ∵△PBC的周长为13， ∴PB+PC+BC＝13， ∴PA+PC+BC＝13， 即AC+BC＝13， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+13＝21． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法，属于中考常考题型． 20. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； （2）过点D作交于点E，若，，求的长． 【答案】（1）直线垂直平分， 证明：∵ ∴点D在的垂直平分线上 又∵ ∴点B在的垂直平分线上 ∴是的垂直平分线； （2）6 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识． （1）根据垂直平分线的判定求解即可； （2）由，得，而，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 21. 如图，四边形中，平分，，和互补． （1）求证：； （2）若，，求出的长度． 【答案】（1） 证明：作，交延长线于， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在与中，， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理． （1）作，交延长线于，可知，结合题意可得，由角平分线的性质定理可得，进而利用“”可证，即可证明结论； （2）由（1）可知，，，可得，再利用“”可证，可得，由，即可求解． 利用角平分线的性质添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 在与中，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）与；与 （2） 解：∵， ∴ ∵CD为角平分线 ∴ ∵ ∴是有两个角相等的三角形 ∵，， ∴与原来三角形是“等角三角形” ∴CD是△ABC的等角分割线． （3）60°；30°；； 【解析】 【分析】（1）由题意知，，可说明与是“等角三角形”，根据，可说明与是“等角三角形”，进而可得答案； （2）根据三角形内角和定理计算，由角平分线的定义可知，，可说明是有两个角相等的三角形，由，，，可说明与原来三角形是“等角三角形”，进而结论得证； （3）由题意可知，分4种情况求解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1，由（2）可知，；②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2，由题意知，则，，进而可知的值；③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3，，，根据求出的值即可；④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4，则，，根据求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ 同理 ∴与是“等角三角形” ∵ ∴与是“等角三角形” 故答案为：与；与． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1， 由（2）可知，，满足CD为△ABC的等角分割线； ②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2， 由题意知， ∴， ∴， ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3， ， ∵ ∴ ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4， ∴ ∵ ∴ ∴ 时，满足CD为△ABC的等角分割线； 综上所述，的度数为 或或 或 ． 【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于理解题意熟练掌握角度的求解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． （1）求A、C两点的坐标； （2）连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； （3）当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）1或9 （3）存在；或2 ；或或或 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据的面积等于的面积的一半，可得，从而得到，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 设点P的坐标为，则， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 即， ∴， 当时，， 此时； 当时，； 综上所述，t的值为1或9； 【小问3详解】 解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当≌时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市第一中学2024--2025学年八年级上学期数学期中试卷 一、单选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为三角形的三边长的是（ ） A. 4、4、8 B. 2、7、4 C. 3、5、9 D. 5、7、11 3. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 8或10 5. 如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段（　　） A. B. C. D. 6. 如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 9. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分．已知，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点关于轴对称的点坐标为______． 12. 如图，在等边中，，，则______． 13. 如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是______． 14. 如图，的周长，，，则______． 15. 如图，在中，，的面积是40，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 17. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 18. 按要求完成作图： （1）作关于y轴对称的． （2）写出、、的坐标． （3）在x轴上找出点P，使最小，并直接写出P点的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，△ABC，其中AC＞BC． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB＝8，△PBC的周长为13，求△ABC的周长． 20. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； （2）过点D作交于点E，若，，求的长． 21. 如图，四边形中，平分，，和互补． （1）求证：； （2）若，，求出的长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． （1）求A、C两点的坐标； （2）连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； （3）当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $