精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期数学半期试卷

2024年重庆一中初2025届初三上期半期考试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2. 下列重庆地标建筑标识图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 反比例函数的图像一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数图像上的点的横纵坐标之积等于k．熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据反比例函数中的特点进行解答即可． 【详解】解：反比例函数， ∴，即反比例函数图像上的点的横纵坐标之积为2， 因为，故A选项符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为，故C选项不符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，为的直径，点，在上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，然后利用平行线的性质可得，即可解答．本题考查了三角形内角和性质，圆心角、弧、弦的关系，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 5. 如图，已知与位似，位似中心为点，且，若的面积为9，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键； 利用位似的性质得，所以，然后根据相似三角形的性质得，，然后根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：与位似，位似中心为点， ， ，， ， ， ， ， 与位似，的面积为9， ， 的面积为4． 故选：C． 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减和乘法运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，再根据即可求出实数的范围． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 7. 若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（ ） … … … 0 3 4 3 … A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再代入计算即可得解． 【详解】解：将，，代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 故选：B． 8. 下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有3个黑点，第②个图案有6个黑点，第③个图案有11个黑点，第④个图案有18个黑点，…，按此规律可知，第⑦个图案中黑点的个数为（ ） A. 51 B. 50 C. 66 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索；第①个图案有个黑点，第②个图案有个黑点，第③个图案有个黑点，第④个图案有个黑点，…，由此规律可得第⑦个图案中黑点个数．找出规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图案有个黑点， 第②个图案有个黑点， 第③个图案有个黑点， 第④个图案有个黑点， …， 第⑦个图案中黑点个数为； 故选：A． 9. 如图，正方形中，对角线，交于点，点为上一点，点为上一点，连接，交于点，与交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得出，设，则，，作于，则，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，解直角三角形得出，求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， 如图，作于，则， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10. 已知恒等式，其中为正整数，，，为整数，下列说法：①当为奇数时，一定为；②无论为何值，；③当时，．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对x进行赋值，即对其取1，0，，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果． ①当时，则，即可判断；②取，代入恒等式中求出代数式的值即可判断．③取、和，分别代入各式中求出代数式的值，并作混合运算即可判断． 【详解】解：①当时，则，那么，为奇数时，一定为，故①正确； ②当时，则，那么，无论为何值，成立，故②正确； ③当时， 若时，则， 若时，则， 若时，则， 那么，，得， 则，故③正确； 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值和负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 13. 从，1，3，这4个数中任选两个数，分别记作，，那么点在平面直角坐标系中第二象限内的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征和概率的求解，根据题意写出可能得点的坐标，找出其中满足条件的坐标的个数，进而即可就出答案． 【详解】解：，1，3，这4个数可能组成的点的坐标为，，，，，，，，，，，， 其中在第二象限的点有4个， 点在平面直角坐标系中第二象限内的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分交于点，延长到点，使得，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，中位线等知识．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 如图，在上截取，使，连接，证明，则，由，可知为的中点，由，可知为的中点，则是的中位线，，进而可求． 【详解】解：如图，在上截取，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即为的中点， 又∵， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质．过作轴于，作轴于，如图，设的坐标为，由平行四边形的面积为4，得到，得到，根据点是线段的中点，求得，，再把，代入计算即可． 【详解】解：过作轴于，作轴于，如图， 设的坐标为，则， 平行四边形的面积为4， ，， ∴，， 点是线段的中点， ∴， 反比例函数经过点和线段的中点， ， ， ， 故答案为：． 16. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和分式方程的解，熟练掌握含参数的不等式组及含参数的分式方程的解法是解题的关键．根据一元一次不等式组的解法解出不等式，再根据题意得到，有分式方程的解法得到，结合题意得到所有满足条件的整数的值，将它们的绝对值相加即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解， ， 解得， ， ，且， 则 关于的分式方程的解为正整数， 或或或， 又， 或0或6， 所有满足条件的整数的绝对值之和为． 17. 如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则______，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. 4 ②. 90 【解析】 【分析】本题属于实数的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键． （1）根据定义，能被13整除即可，确定的范围，列举即可； （2）根据定义得到，确定，再分类讨论，一一列举即可． 【详解】解：①， 由题意得， ∴， ∴ ∵为整数， ∴能被13整除， ∴使得能被13整除，则需要能被13整除， ∵， ∴， ∴ ∴可取 ∴可取， 显然不是8的整数倍，故舍， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴可求， 即， ∴可取， 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 则，不符合题意，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，不满足，舍， ∴或， ∵， ∴时，则，则， 时，则，则， ∴， 故答案为：4，90． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是： （1）先根据完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类项即可； （2）先计算括号内，同时把第一个分式的分母因式分解，然后把除法转换为乘法，最后约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 【答案】（1） 如下图所示 （2）；；；ASA；相等 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）以点为圆心作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧并交于点，作射线并分别交、于点、，即可获得答案； （2）首先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，进而可得，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，并由此得出结论． 【小问1详解】 解：用尺规作的角平分线分别交、于点、； 【小问2详解】 已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离相等． 故答案为：；；；ASA；相等． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．点是直线上方抛物线上一点，连接、． （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，代入，求出与轴交于A，B两点坐标，令求出点C坐标，然后运用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）过点作轴的平行线交于点，令，， 先求，根据三角形面积公式求，求出m，然后根据点是直线上方抛物线上一点，得出结论． 【小问1详解】 当， 解得：，， ，， 当，， ， 设直线的解析式：， 将，代入得： ，， ； 【小问2详解】 过点作轴的平行线交于点， ，， ，， ， ， ， 令，， ， ， ， ， 即 当时， ， 解得，， 当时， ， 解得（不在直线上方抛物线上，舍去）， 当时，， 当时，， ，． 22. 在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元． （1）求商品和商品的售价分别是多少元？ （2）在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值． 【答案】（1）商品的售价是150元，商品的售价是200元 （2）8 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设商品的售价是元，商品的售价是元，根据购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元，列出方程组进行求解即可； （2）根据销售总额不低于87600元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设商品的售价是元，商品的售价是元 解得 答：商品的售价是150元，商品的售价是200元． 【小问2详解】 由题意可得： 解得： 答：的最小值是8． 23. 如图，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿对角线方向运动，当点到达点时停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，点、的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： 随x增大而增大，随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，，， ∴ ∴的周长=的周长， 又∵，即 ∴∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：由函数图象可知，（右端点的值可为1.6，1.7，1.8，1.9）． 24. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】（1）62海里 （2）0.08小时 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【小问1详解】 解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ， 在中，， ， ， （海里）． 答：游艇每小时航行62海里． 【小问2详解】 解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， （小时）． 答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，，，解直角三角形得出，，延长交延长线于点，过点作于，解直角三角形得出，，推出，，待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，则，，求出，再结合二次函数的性质即可得解； （3）移后的抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，作于，于，过点作轴于，过C作于，于，则，，证明三角形相似，由相似三角形的性质列比例式解答即可． 【小问1详解】 解：在直线上，令，解得， ； 把，代入，得：， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 延长交延长线于点，过点作于， ， ∵轴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ∴ ； ， 时，， 此时； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴该抛物线沿射线方向平移个单位，就是将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为， 如图，作于，于，过点作轴于，作于，轴于，则，， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合线段问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26. 在中，，． （1）如图1，点是的中点，点是上一点，连接，作交于点，若，，求线段的长； （2）如图2，点是延长线上一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角，，点是的中点，连接并延长到点，连接，若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点是线段上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，点是线段上一点，满足，连接，点是线段上一点，连接，当最小时，在平面内将沿翻折至，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 如图，连接，过点作，交于点， ， ， 在和中 ， ， ，， ∵， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明得出，由勾股定理得出，即可得解； （2）连接，过点作，交于点，证明， 得出，，证明，得出，，再证明得出，即可得证； （3）由全等三角形的性质可得点在过点且平行于的直线上运动，当时，线段最小，由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆周上运动，连接并延长交圆周于点，此时所在的位置即为取得最小值的位置，连接，作的角平分线交于点，作交于点，交于点，作交于点，作交于点，由等面积法得出，则，推出，设，，，则，，由勾股定理求出，得到，设，，解直角三角形求出，最后再由面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 点在过点且平行于的直线上运动， 当时，线段最小， 由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆周上运动， 连接并延长交圆周于点，此时所在的位置即为取得最小值的位置，连接，作的角平分线交于点， 作交于点，交于点，作交于点，作交于点 ， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年重庆一中初2025届初三上期半期考试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 2. 下列重庆地标建筑标识图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图像一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，点，在上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知与位似，位似中心为点，且，若的面积为9，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（ ） … … … 0 3 4 3 … A. B. C. 0 D. 3 8. 下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有3个黑点，第②个图案有6个黑点，第③个图案有11个黑点，第④个图案有18个黑点，…，按此规律可知，第⑦个图案中黑点的个数为（ ） A. 51 B. 50 C. 66 D. 60 9. 如图，正方形中，对角线，交于点，点为上一点，点为上一点，连接，交于点，与交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知恒等式，其中为正整数，，，为整数，下列说法：①当为奇数时，一定为；②无论为何值，；③当时，．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 13. 从，1，3，这4个数中任选两个数，分别记作，，那么点在平面直角坐标系中第二象限内的概率是_____． 14. 如图，在中，平分交于点，延长到点，使得，连接，若，，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为_______． 16. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为_____． 17. 如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 18. 我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则______，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．点是直线上方抛物线上一点，连接、． （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标． 22. 在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元． （1）求商品和商品的售价分别是多少元？ （2）在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值． 23. 如图，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿对角线方向运动，当点到达点时停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，点、的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在中，，． （1）如图1，点是的中点，点是上一点，连接，作交于点，若，，求线段的长； （2）如图2，点是延长线上一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角，，点是的中点，连接并延长到点，连接，若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点是线段上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，点是线段上一点，满足，连接，点是线段上一点，连接，当最小时，在平面内将沿翻折至，连接，当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $