精品解析： 云南省宣威市祯祥初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期中考试试卷

2024年秋季学期九年级数学期中考试卷 一、单选题（每小题2分，共30分） 1. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为( ) A. 5 B. 3或5 C. 13 D. 11或13 4. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 6. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. 2016 B. 2017 C. 2014 D. 2019 7. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 8. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 10. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 12. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在⊙O中，若∠CDB＝60°，⊙O的直径AB等于4，则BC的长为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 14. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②a+3b+9c＞0；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x的值只能为0；⑤3b﹣c＜0，其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 二、填空题（每小题2分；共8分） 16. 若x、y为实数，且，则_____ 17. 已知点A(4，y1)，B(0，y2)，C(－3，y3)都在二次函数y＝(x－1)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____． 18. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 19. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 22. 百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下． 降价多少元时，每星期盈利为元． 降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？ 23. 如图，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD、CE． 求证：BD=CE． 24. 已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4． (1)k为何值时，抛物线关于y轴对称； (2)k为何值时，抛物线经过原点． 25. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 26. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 27. 如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求线段的最大值； （3）连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期九年级数学期中考试卷 一、单选题（每小题2分，共30分） 1. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形、轴对称图形的定义依次判断可得答案． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 3. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为( ) A. 5 B. 3或5 C. 13 D. 11或13 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次方程，然后根据三角形三边关系定理，将不合题意的解舍去． 【详解】解：x2－8x＋15＝0， 得：x1=3，x2=5； 当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意； 当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形； 所以这个三角形的周长为5+6+2=13． 故选C． 【点睛】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论． 4. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设邀请 队参赛，根据“计划安排21场比赛，”可列出方程，解出即可． 【详解】解：设邀请 队参赛，根据题意得： ， 解得： 或 （不合题意，舍去） 答：邀请7队参赛． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 【答案】D 【解析】 【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根． 【详解】∵直线不经过第一象限， ∴m=0或m＜0， 当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根； 当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=， ∵m＜0， ∴-4m＞0, ∴1-4m＞1＞0, ∴△＞0, 故方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键． 6. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. 2016 B. 2017 C. 2014 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，推出a＋b的值，然后求解即可． 【详解】解：a，b是方程的两根， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 8. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的抛物线解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解： 原抛物线的解析式为 将其向左平移 个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到 再向下平移 个单位长度，根据“上加下减”的原则 得到 故选： 9. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，在上取一点A，连接，根据圆内接四边形的对角互补，结合圆周角定理，进行求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点A，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 12. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：设这个扇形的半径是rcm． 根据扇形面积公式，得， 解，得cm（负值舍去）． 故选：C． 【点睛】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键． 13. 如图，在⊙O中，若∠CDB＝60°，⊙O的直径AB等于4，则BC的长为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出∠CAB＝60°，进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠CDB＝60°， ∴∠CAB＝∠CDB＝60°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝30°， ∴AC=AB， ∵⊙O的直径AB等于4， ∴AC=2， ∴BC==2， 故选：C． 【点睛】此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据圆周角定理得出解答． 14. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②a+3b+9c＞0；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x的值只能为0；⑤3b﹣c＜0，其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口向上得到a＞0，由与y轴的交点为（0，-2）得到c=-2，而对称轴为x=-=2，得b=4a，进一步得到b＜0，由此判定①错误；由b=-4a，c=-2，代入a+3b+9c得到a+3b+9c=a+3×（-4a）+9c=-11a-18＜0，由此判定②错误；由b=-4a得到4a+b=0，由此确定判定③正确； 点（0，-2）和（4，-2）关于对称轴x=2对称，故当y=-2时，x的值为0和4，由此判定④错误；当x=-1时，y=a-b+c=0，由b=-4a，代入得到c=-5a，则3b-c=-12a+5a=-7a＜0，由此判定⑤正确． 【详解】由图象可得，a＞0，b＜0， ∴ab＜0，故①错误， ∵-＝=2，c=-2， ∴b=-4a，c=-2， ∴a+3b+9c=a+3×（-4a）+9c=-11a-18＜0，故②错误； ∴b=-4a， ∴4a+b=0，故③正确； ∵对称轴为x=2， ∴点（0，-2）和（4，-2）关于对称轴x=2对称， ∴当y=-2时，x的值为0和4，故④错误； 当x=-1时，y=a-b+c=0， ∵b=-4a， ∴a+4a+c=0， ∴c=-5a， ∴3b-c=-12a+5a=-7a＜0，故⑤正确． 综上，可得正确结论的个数是2个：③⑤． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 15. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，连接OA，OC，根据圆周角定理与垂径定理得到∠AOC=90°，进而求得AC的长. 【详解】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°， 则弧BN的度数是30°， 根据垂径定理得弧CN的度数是30°， 则∠AOC=90°， 又∵OA=OC=MN=2， 则AC=2． 故选C. 【点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 二、填空题（每小题2分；共8分） 16. 若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【解析】 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或， ，， ， ，即． 17. 已知点A(4，y1)，B(0，y2)，C(－3，y3)都在二次函数y＝(x－1)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出自变量为4，0和﹣3所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】∵点A（4，y1），B（0，y2），C（－3，y3）是二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象上的两点， ∴y1＝（x﹣1）2﹣1＝（4﹣1）2﹣1＝8；y2＝（x﹣1）2﹣1＝（0﹣1）2﹣1＝0，y3＝（x﹣1）2﹣1＝（﹣3﹣1）2﹣1＝15， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为y3＞y1＞y2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 18. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 19. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解的方法求解方程即可； （2）利用因式分解的方法求解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， 原方程可化为， 因式分解，得， 即， 于是得或， ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 22. 百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下． 降价多少元时，每星期盈利为元． 降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？ 【答案】(1) 降价2.5元时，每星期盈利为6125元． （2）当降价元时，利润最大且为元． 【解析】 【分析】（1）设降价x元时，每星期盈利为6125元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润6125元”，列出方程，解方程即可求解；（2）设降价��元时，每星期的盈利为��元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润”，列出y与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可. 【详解】（1）设降价x元时，每星期盈利为6125元， 根据题意，得：（20-x）（300+20x）=6125， 解得：=2.5， 答：降价2.5元时，每星期盈利为6125元． 设降价元时，每星期的盈利为元， 则． 因为降价要确保盈利，所以， 解得：， ∴当时，有最大值， 答：当降价元时，利润最大且为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题目中关键描述语，找到等量关系准确的列出方程和二次函数解析式是解决问题的关键． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD、CE． 求证：BD=CE． 【答案】 证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得△ADE， ∴∠BAD=∠CAE=100°． 又∵AB=AC， ∴AB=AC=AD=AE．  在△ABD与△ACE中， ∵ ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD=CE． 【解析】 【分析】先根据图形旋转的性质得出∠BAD=∠CAE=100°，再由SAS定理得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 24. 已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4． (1)k为何值时，抛物线关于y轴对称； (2)k为何值时，抛物线经过原点． 【答案】(1)k＝0；(2)k＝－2． 【解析】 【详解】试题分析：抛物线关于y轴对称则说明对称轴x=0;抛物线经过原点则说明c=0； 试题解析：（1）抛物线关于y轴对称，则x=- =0,所以k=0. （2）抛物线经过原点，则说明c=2k+4=0,所以k=-2. 25. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）； （2）不需要采取紧急措施，理由 由（1）得圆弧半径， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， ， 不需要采取紧急措施． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）设为，通过勾股定理求得，最后算出，即可得到答案； （2）根据（1）知半径，根据勾股定理求得的值，再根据垂径定理求得的长，与对比得出结论． 【小问1详解】 解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示， ， 设，则半径， 已知，， 则半径，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 则半径， 故半径为． 【小问2详解】 略 26. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 27. 如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求线段的最大值； （3）连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，有最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数性质，平行四边形性质，是解决问题的关键． （1）把代入，解方程组求出a、b、c的值，即得抛物线的解析式，把代入求出m值，即得直线的解析式； （2）设点，点，得，进而根据二次函数的性质即可求解． （3）根据，得到，当四边形是平行四边形时，，得到，解得，，即得点P的坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． ∵直线经过点， ∴， 解得． 故直线的解析式为． 【小问2详解】 设点P的坐标为， 则点Q的坐标为． 由题意得，， ∴当时，有最大值， 最大值为． 【小问3详解】 ∵与y轴交于点E， ∴， ∴． 若四边形是平行四边形， 则， ∴． 解得或（舍去）， 当时，， 故点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $