精品解析：福建省厦门市湖滨中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

厦门市湖滨中学2024——2025学年第一学期期中考试 初二数学 一、单选题(本题共10小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围． 首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得∶ 第三根木棒的长度应大于，而小于． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方分别运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 5. 在和，，补充条件后仍不一定能保证是，则补充的这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合逐项分析即可． 【详解】解：如图， A、若添加，可利用进行全等的判定，故本选项错误； B、若添加，可利用进行全等的判定，故本选项错误； C、若添加，不能进行全等的判定，故本选项正确； D、若添加，可利用进行全等的判定，故本选项错误； 故选：C． 6. 如图，在中，是的垂直平分线， 且分别交于点和，，， 则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理可得，最后根据角和差关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式表示几何面积，按图形列出代数式即可． 【详解】解：由图知，甬道所占的面积正方形面积草坪面积， 下面将甬道平移到两边便于理解： 即甬道所占的面积， 故选：D． 8. 如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（ ） A. 4 B. C. 15 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值. 【详解】解：连接，如图， , , , 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，由内角和定理可得，即得，再根据三角形外角性质可得，进而得，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增加， 故选：． 10. 在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ） A. 的重心处 B. 的中点处 C. 点处 D. 点处 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，首先证明，由，推出当共线时，的值最小，此时是的中线，由此即可判断． 【详解】解：如图，连接PB，BE． ，， ， ， ， ， 当共线时，的值最小，此时是的中线， 也是中线， 点是的重心， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决问题． 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 计算：（）______；（）______； （）______；（） ______； 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】（）根据零指数幂即可求解； （）根据积的乘方运算法则即可求解； （）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； 本题考查了整式分式的运算，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：． 12. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 13. 如图，， 若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 15. 已知， 则______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，把代数式转化为即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16. 中，，点 在边上(点在点的左侧)，，，点在边上，，若，，，则______．(用含的式子表示) 【答案】 【解析】 【分析】设交于点，过点作于点，并延长，延长，，使，过点作于点，连接，过点作于点，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，设交于点，过点作于点，并延长，延长，使，过点作于点，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 三、解答题(本题共9小题，共86分． 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先进行单项式的乘除法运算，再合并同类项即可； （）利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式与单项式的乘除运算，单项式与多项式的乘法运算，掌握单项式与单项式的乘除、单项式与多项式的乘法运算法则是解题的关键 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD． 【答案】 证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴AC∥FD． 【解析】 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 19. 如图， 在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形 （2）写出点的坐标： ， ； （3）的面积是 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）根据（）所作图形即可求解； （）利用割补法计算面积即可； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，三角形的面积，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：的面积， 故答案为：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，； 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，根据多项式的乘法除法法则直接计算化到最简，再将数字代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式 当，时， 原式． 21. 如图，在中，，． （1）在上找一点，使得点到的距离相等；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) （2）在（）的条件下，若，求点到的距离． 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点连接，可知，故点即为所求； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，利用勾股定理可得，，进而得，同理可得，，即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 22. 数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式： （1）请你类比上面的等式， 计算∶ ①； ②； （2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明． 【答案】（1）①；② （2） 一般规律为：． 证明： ． 【解析】 【分析】（）①根据列举的例子，求解即可；②根据列举的例子，求解即可； （）根据列举的例子，可知两个两位数的乘法中，十位数字之和为，个位数字相同时，它们的乘积等于十位数字相乘加上个数数字的和乘以再加上个位数字的乘积，据此利用整式乘法求证即可； 本题考查了数字类规律的探索问题，多项式乘以多项式，解题的关键是理解题意，找到题中列子的规律． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 略 23. 如图，等腰中， ，点在底边上(异于点)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为 的“同型点”． （1）如图， 当平分，， 交于点， ，时， 求证：点是的“同型点”； （2）如图，在的正方形网格图上有一个，点均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，则满足条件的点有 个； （3）如图，在四边形中，，，且 ，若点为的“同型点”，请求出所有满足条件的 的度数． 【答案】（1） 证明：∵当平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴为等腰三角形， ∴点是的“同类点”； （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据平行线的性质和角平分线的性质可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到为等腰三角形，据此即可求证； （）找出所有在下方能使为等腰三角形的格点即可； （）根据点为的“同类点”可知为等腰三角形，然后分和两种情况，分别作出图形，并根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，这样的点共有个， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，，且，点为的“同型点， ①如图，当时，则，即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，则，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确理解“同型点”的定义是解题的关键． 24. 如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点， ，与交于点G，交于点H． （1）求的度数，并证明． （2）求证． （3）连接，判断 的形状并说明理由． 【答案】（1），证明如下： ∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至，使，连接， 由（1）得：，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D与点C关于直线对称， ∴，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 而， ∴； （3）是等边三角形，理由如下： 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 在和 中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意可证得 ，根据等边三角形的判定与性质可得，再由对顶角相等可得； （2）延长至，使，由于，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而证得，即可得到答案； （3）证明，可得，再证明，最后根据等边三边形的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰 （1）若点A的横坐标是 求线段的长； （2）连，若P为上一点，过点P作 垂足为Q，且 求证： （3）在（2）下，连， 若 ，求点P到x轴的距离的长． 【答案】（1）16 （2） 证明：如图2，延长交轴于点， ， ， ； ， ； 由（1）知，， ， ， ； ， ∵， ， ； （3）8 【解析】 【分析】（1）过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明，得，则可得的长； （2）①过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，由（1）知，四边形是正方形，得，由此即可计算的度数； ②延长交轴于点，易得，从而证明，即可证明结论成立； （3）过点作轴垂线与延长线交于点，过点作轴平行线交于，由平行线的性质得，由（2）知，得；首先证明，得；由，，，可得；则，得是等腰直角三角形，从而可由求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、， 则，； ； 为等腰三角形，， ， ， ， ， ，； ，， ，； ，点的横坐标是， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作轴垂线与延长线交于点，过点作轴平行线交于，如图3所示，则， ； ，， ； 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， 由由（2）知， ∴ ∴， 即是等腰直角三角形， ∵点P到x轴的距离 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用这些知识，构造辅助线得到全等三角形是解题的关键与难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖滨中学2024——2025学年第一学期期中考试 初二数学 一、单选题(本题共10小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在和，，补充条件后仍不一定能保证是，则补充的这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的垂直平分线， 且分别交于点和，，， 则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（ ） A. 4 B. C. 15 D. 8 9. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 10. 在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ） A. 的重心处 B. 的中点处 C. 点处 D. 点处 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 计算：（）______；（）______； （）______；（） ______； 12. 正六边形的内角和为___度． 13. 如图，， 若，，则的度数为______． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 15. 已知， 则______； 16. 中，，点 在边上(点在点的左侧)，，，点在边上，，若，，，则______．(用含的式子表示) 三、解答题(本题共9小题，共86分． 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD． 19. 如图， 在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形 （2）写出点的坐标： ， ； （3）的面积是 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在中，，． （1）在上找一点，使得点到的距离相等；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) （2）在（）的条件下，若，求点到的距离． 22. 数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式： （1）请你类比上面的等式， 计算∶ ①； ②； （2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明． 23. 如图，等腰中， ，点在底边上(异于点)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为 的“同型点”． （1）如图， 当平分，， 交于点， ，时， 求证：点是的“同型点”； （2）如图，在的正方形网格图上有一个，点均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，则满足条件的点有 个； （3）如图，在四边形中，，，且 ，若点为的“同型点”，请求出所有满足条件的 的度数． 24. 如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点， ，与交于点G，交于点H． （1）求的度数，并证明． （2）求证． （3）连接，判断 的形状并说明理由． 25. 已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰 （1）若点A的横坐标是 求线段的长； （2）连，若P为上一点，过点P作 垂足为Q，且 求证： （3）在（2）下，连， 若 ，求点P到x轴的距离的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $