精品解析：江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校八年级（上）期中 数学试卷 一．选择题 1. 下列图形： 其中轴对称图形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 下列等式：①，②，③，④，⑤，⑥，成立的是（　　） A. ①⑤ B. ②④ C. ③⑥ D. ②③④⑥ 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD 4. 下列数中，，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，12，15 B. 1，5，5 C. D. 40，41，9 6. 如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 7. 如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 9. 如图，在RtABC中，AB＝3，BC＝8，点D为BC的中点，将ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，则CE的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形的对角线交于点E，．若，则的长为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二．填空题（共8小题） 11. 的平方根是____． 12. 我市某企业去年生产总值达到万元，用科学记数法表示（保留到百万位）是___________元． 13. 在实数范围内分解因式：________． 14. 已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是________． 15. 如图，设和都是正三角形，且，则的度数是_________ 16. 在三角形中，，高，交于点H，M，N分别为，的中点，连接．若，则=______． 17. 如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度． 18. 如图，已知△ABC与△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，则AB的长是 ___． 三．解答题（共9小题） 19. 计算： （1） （2） 20. 求下列各式中的实数x． （1）； （2）． 21. （1）已知的平方根是的平方根是，求的平方根； （2）若都是实数，且，求的立方根． 22. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． （1）求证：CE=CM． （2）若AB=4，求线段FC的长． 23. （1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿直线折叠，点C落在边上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边上的E处，且．（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和的端点均在小正方形的顶点上． ①在线段上确定一点C（点C在小正方形的顶点上），使是轴对称图形，并在网格中画出； ②请直接写出的周长和面积． 24. 在 中，，P为线段上一动点． （1）如图1，点D、E分别在上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且． ①求证：； ②若，求的长； （2）如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 25. 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． ①若，求证：是“倍角三角形”； ②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数． 26. 如图，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角； （1）在图1中，与面积相等吗？请说明理由． （2）如图2，若，．则四边形面积最大值为______． （3）如图3，已知，的面积为，在边上，的延长线经过中点，求的长． 27. 若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． （1）如图，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）； （2）如图，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． 请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 求证：． （3）如图，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校八年级（上）期中 数学试卷 一．选择题 1. 下列图形： 其中轴对称图形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形． 【详解】从左到右依次对图形进行分析： 第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴． 2. 下列等式：①，②，③，④，⑤，⑥，成立的是（　　） A. ①⑤ B. ②④ C. ③⑥ D. ②③④⑥ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查求一个数的算术平方根及立方根．根据算术平方根定义及立方根定义解答． 【详解】解：，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确； ，故⑤错误； ，故⑥正确； 综上，上述等式成立的是②③④⑥． 故选：D． 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意； B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意； C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确，符合题意； D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 下列数中，，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，立方根，算术平方根．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是有理数，是无理数， 故选：A． 5. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，12，15 B. 1，5，5 C. D. 40，41，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数．由勾股数的定义，只要验证两较小正整数的平方和等于最大正整数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不都是正整数，肯定不是勾股数，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”判断即可． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则学校应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：B． 7. 如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【详解】解：中，，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 8. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到． 9. 如图，在RtABC中，AB＝3，BC＝8，点D为BC的中点，将ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，则CE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BE交AD于O．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，由勾股定理求出AD=5，求出OB、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图所示：连接BE交AD于O， ∵将△ABD沿AD折叠，使点B落在点E处， ∴AD⊥BE，OB=OE，BD=DE， 在Rt△ABC中，BC=8，AB=3，D为BC的中点， ∴BD=CB=4， ∴AD==5， ∵S△ABD=•BO•AD=•AB•BD， ∴OB=， ∴BE=2OB=， ∵DE=DB=DC， ∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°， 在Rt△BCE中，CE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高． 10. 如图，四边形的对角线交于点E，．若，则的长为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定与性质是解题的关键．过D作于点F，延长至G，使得，连接，证明，推出，根据，推出，，再证明，得到，求出，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过D作于点F，延长至G，使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍负）， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 我市某企业去年生产总值达到万元，用科学记数法表示（保留到百万位）是___________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．分别确定，即可． 【详解】解：万元． 故答案为：． 13. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解即可求得答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握因式分解的步骤：一提二套是解题的关键． 14. 已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和．分100°角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是， ∴这个角是顶角时， ∴底角的度数是， 当这个角是底角时， 则，不能构成三角形； 故答案为：． 15. 如图，设和都是正三角形，且，则的度数是_________ 【答案】##122度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，由题中条件，可得，得出，进而再通过角之间的转化，可最终求解出结论． 【详解】解：∵和都是正三角形， ， 又， ， 在与中， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 16. 在三角形中，，高，交于点H，M，N分别为，的中点，连接．若，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、斜边上中线的性质、勾股定理等知识点．连接，可证，进一步可推出为等腰直角三角形，即可求解．遇见中点和直角，联想斜边上中线的性质作辅助线是解题关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵M，N分别为，的中点， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∵，， ∴ 故答案为： 17. 如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度． 【答案】56 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°， ∵∠B＝22°， ∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°， 由作法可知，AG是∠BAC的平分线， ∴∠BAG＝∠BAC＝34°， ∵PQ是AB的垂直平分线， ∴△AGQ是直角三角形， ∴∠AGQ＋∠BAG＝90°， ∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°， 故答案为：56． 【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键． 18. 如图，已知△ABC与△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，则AB的长是 ___． 【答案】##1.75 【解析】 【分析】延长CD，BA交于点E，证明△CDA≌△EDA（ASA），由全等三角形的性质得出AC=AE，CD=DE=5，由勾股定理求出BE的长，设AB=x，则AC=AE=8-x，列出方程求出x的值可得出答案． 【详解】解：延长CD，BA交于点E， ∵∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°，∠BAC+2∠CAD=180°， ∴∠CAD=∠DAE， 在△CDA和△EDA中， ， ∴△CDA≌△EDA（ASA）， ∴AC=AE，CD=DE=5， ∴CE=10， ∵∠B=90°，BC=6， ∴BE==8， 设AB=x，则AC=AE=8-x， ∵AB2+BC2=AC2， ∴x2+62=（8-x）2， ∴x=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△CDA≌△EDA是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）7；（2）6 【解析】 【分析】（1）先根据平方根、零指数幂，负整数指数幂计算，再合并即可求解； （2）先根据平方根，立方根，算术平方根计算，再合并即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握平方根、立方根、零指数幂，负整数指数幂是解题的关键． 20. 求下列各式中的实数x． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义的应用，熟练掌握平方根定义和立方根定义，是解题的关键． （1）根据先移项，然后将未知数系数化为1，再根据平方根定义解方程即可； （2）方程两边同除以27，然后开立方即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：； 【小问2详解】 解：， 方程两边同除以27得：， 开立方得：； 解得：． 21. （1）已知的平方根是的平方根是，求的平方根； （2）若都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】（1）由的平方根是的平方根是，列方程组，再解方程组，求解，从而可得答案； （2）先根据二次根式有意义的条件求解，再求解，再求解的立方根即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 的平方根是，即的平方根为． 解：由题意可知：， ， ， ， 的立方根是3，即的立方根是3． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，平方根，算术平方根，立方根的含义，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解题的关键． 22. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． （1）求证：CE=CM． （2）若AB=4，求线段FC的长． 【答案】（1） 证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴MC=MA=MB， ∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B， ∵∠A=50°， ∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°， ∵∠ACE=30°， ∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴∠MEC=∠EMC， ∴CE=CM； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证； （2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AB=4， ∴CE=CM=AB=2， ∵EF⊥AC，∠ACE=30°， ∴FC=CE•cos30°=． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 23. （1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿直线折叠，点C落在边上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边上的E处，且．（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和的端点均在小正方形的顶点上． ①在线段上确定一点C（点C在小正方形的顶点上），使是轴对称图形，并在网格中画出； ②请直接写出的周长和面积． 【答案】 （1）如图1，点D即为所求． （2） （3）①如图所示，即为所求； ②； 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线，垂线，平行线的尺规作图，轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理等等： （1）根据折叠的性质结合题意可得平分，则只需要作的角平分线，其与的交点即为点D； （2）先过点A作，再作交延长线与P，作的角平分线交于D，点D即为所求； （3）①取格点C，则是等腰三角形，符合题意；②根据勾股定理计算出的三边长，则可求出的周长，再利用割补法求出的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，点D即为所求． 如图所示，先过点A作，再作交延长线与P，作的角平分线交于D，点D即为所求； （3）①略 ②， ∴的周长为； ． 24. 在 中，，P为线段上一动点． （1）如图1，点D、E分别在上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且． ①求证：； ②若，求的长； （2）如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 【答案】（1） ①证明∶ 如图1中，连接， ∵，P为的中点， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， 在△APD和△CPE中， ， ∴， ∴； ②5 （2）PH的值不变，为 5 【解析】 【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，可证得，即可求证；②连接，根据，可得，从而得到，，再由勾股定理，即可求解； （2）作，垂足为Q，证明，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解∶ 如图1中，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：的值不变， 为5． 理由：如图2中，作，垂足为Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． ①若，求证：是“倍角三角形”； ②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1）②③ （2） ①证明：， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， ， ， ， ， 是“倍角三角形”； ②的度数为或或或 【解析】 【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【小问1详解】 解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③； 【小问2详解】 略 ②解：由可得， 如图， 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 是等边三角形， ， ， ， 是“倍角三角形”， 或， 或； 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 或或或， 当时， ， ； 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． 26. 如图，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角； （1）在图1中，与面积相等吗？请说明理由． （2）如图2，若，．则四边形面积最大值为______． （3）如图3，已知，的面积为，在边上，的延长线经过中点，求的长． 【答案】（1） 与面积相等，理由如下： 解：如图，过点作交的延长线于，过点作于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即与面积相等． （2）18 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，互余关系，掌握全等三角形的判定方法与性质是解答本题的关键． （1）过点作交的延长线于，过点作于，证明，则，由此得到与面积相等． （2）由题意分析知：的面积为定值，当的面积最大时，四边形面积最大，过点作于，，当点与点重合时，最大，由此求出最大面积． （3）过点作交的延长线于点，根据已知条件证明，得到，再证明，得到，由已知条件求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ， 即的面积为定值， 当的面积最大时，四边形面积最大， 如图，过点作于， ， 当点与点重合时，最大，此时， 此时， 四边形面积最大值为：． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，过点作交的延长线于点， 则，； 点是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与面积相等， ， ， ． 27. 若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． （1）如图，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）； （2）如图，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． 请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 求证：． （3）如图，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）是； （2） 解：如图，用直尺和圆规作出， ； 证明：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了尺规基本作图—过直线外一点作直线的垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （）由与互为“底余等腰三角形”，则，，，又四边形内角和是，则可得，然后通过定义即可求解； （）过作即可； 过点作交于点，证明，则，从而可得； （）过点作，由（）可知：，由勾股定理可得，则有． 【小问1详解】 解：∵与互为“底余等腰三角形”， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“底余等腰三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 略 【小问3详解】 解：如图，过点作， ∵，， ∴， 由（）可知：， ∵， ∴， 由勾股定理可得：， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $