河北省沧衡八校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

沧衡名校联盟高二年级2024一2025学年上学期期中考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 歌 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。 蟈 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 地 1.抛物线C:y=√6x2的焦点坐标为 邮 B.() c(,) D(唔) 好 A(o, 2.已知直线l1:x十ay-20=0与l2:2x十(a+1)y-10=0.若l1儿2，则a= 长 A-1 B.1 c号 D.2 区 3.已知双曲线C,兰一z2=1(a≠0)的焦距为102，则C的渐近线方程为 郑 A.y=士7x By=士 郝 C.y=士7x 童 版 4如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别为棱AB,A1C1的中点.设BAA =a,BB1=b,BC=c,则E市= A2a+6+号0 B a+o+e 1 Cat 1 D.b+29 1 5.已知向量a=(2,k,3),b=(2,5,0),c=(0,2,1).若a,b,c共面，则k= A.11 B.-1 C.9 D.3 6.已知点A在直线x一y=0上，点B在直线x十1=0上，点P的坐标为(2,4)，且A,B,P三 点不共线，则△ABP周长的最小值为 A.2√/15 B.√17 C.217 D.8 【高二数学第1页（共4页）】 霸 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为的直线L交抛物线C于M, N两点.若|MN|=8,则p= A.6 B.3 c 8.当日变动时，动直线l:zcos0+ysin0一cos22=0与定圆C相切，则圆C的面积为 A最 B.4π c D.2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知直线l:(m十2)x十(3一m)y一5=0过定点P,则下列结论正确的是 A.P的坐标为(1,1) B当m=1时，1在y轴上的截距为号 C.若L与直线6x+y十3=0垂直，则m=3 D.点P在圆x2十y2十4x一2y=0的外部 10.如图，已知正方体ABCD-A:B1CD1的棱长为2，点O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中 心，点E满足A1D1=4ED1,则 A.AO⊥平面A,BD B.EO平面A,BD CDC在DA,上的投影向量为号D D.平面DA,B与平面AAB夹角的余弦值为号 1已知双曲线C后-芳=1c>0,b>0)的两个焦点为F1,F,过r,作圆0，十y=4的 切线，切线与C交于A,B两点若cos∠R,BF,-普，则C的离心率可能为 A.65 5 B④ C.v61 D②9 5 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知圆C:x2+y2-2x十6y十m=0,则m的取值范围为 1及已知椭圆C导+ 名=1(>b6>0)的离心率为行，左焦点为F,过F且垂直于z轴的直线被 椭圆C所截得的线段长为，则椭图C的标准方程为▲一 14.已知A(1,1,1),B(2,0,1),C(1,0,2)是球M上三点，球心M的坐标为(1,0,1)，P是球M 上一动点，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 器国出 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知圆C:(x一2)2+(y-2)2=4,直线1过点P(2,4). (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程； (2)若L与圆C相交于A,B两点，且△ABC(C为圆C的圆心)为直角三角形，求L的方程. 16.(15分) 已知F(0,2),点A与点B的横坐标相等，点B在直线y=一2上，且BA·B京=FA.F】 (1)求点A的轨迹方程； (2)若M(0,8),求|AM的最小值. 17.(15分) 已知双曲线C:君-￥=1(@>0，b>0)的实轴长为23，且过点(3,2 (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线1，l与双曲线C交于A,B两点，求|AB|; (3)若M,N是双曲线C上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为P,证 明：点P在直线x一6y=0上 【高二数学第3页（共4页）】 霸® 18.(17分) 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，AB= 2AA1=2A1B1=4,点P在线段C1D上运动 (1)证明：B1D1⊥CC1. (2)求异面直线AB:与DD1所成角的余弦值. (3)求直线D1P与平面AB1D1所成角的正弦值的取值范围. B B 19.(17分) 若将任意平面向量E庐=(x,y)绕起点E逆时针方向旋转a角，得到向量E京-(xcos a一 ysin a,xsin a十ycos a),则称点F绕点E逆时针方向旋转a角得到点K.在平面直角坐标 系中，已知曲线7：2+7y2-2=24是精圆C:号+片=1a>b>0)绕原点0道时针旋转 零所得的斜椭圆D。 怒 (1)求椭圆C的方程， 明 (2)已知M,N是椭圆C长轴上的两个顶点，P,Q为椭圆C上异于M,N的两点，且关于 x轴对称，若直线MP与直线NQ交于点T,证明：点T在某定曲线上，并求出该曲线的 鸥 方程， (3)已知H(2,O),不过点H的动直线l与椭圆C交于A,B两点，直线HA与HB的斜率 之积恒为子，证明直线1过定点，并求出这个定点的坐标 【高二数学第4页（共4页）】 季可世 沧衡名校联盟高二年级2024一2025学年上学期期中考试 数学参考答案 1.A抛物线Cy=6的焦点在y轴上，其坐标为(0，). 2.B因为l1L2,所以a+1=2a,解得a=1. 3.A由题意可知c=5√2，则a2十1=50，所以a2=49,所以双曲线C的渐近线方程为y= ±7x 4.DE=-B+BB+2B1A+2B1C=-B砣+BB,+2BA+2BC=BB,+号B心- 6 2=2x, x=1, 5.A因为a,b,c共面，所以存在x,y∈R,使得a=xb+yc,则k=5x+2y,解得y=3, 3=y, k=11. 6.C因为P关于直线x一y=0对称的点为P'(4,2),关于直线x十1=0对称的点为P"(一4， 4),所以|PB|+|AB|+|PA|=|P"B|+|AB|+|P'A|≥|P'P"1=(4+4)2+(2-4)2= 2√17，当A,B,P',P"四点共线时，△ABP的周长取得最小值，最小值为2√17. 7.B由题意知，F(2,0),设：y=(x-),M(x1y),N(x2y2).由 =5(x一号》清去y得3x-5px十2p=0所以x十：-号.由抛物线的定义知 5 y2=2px, IMN1=MF1+1NFI=x+台+x:+号=+x:+p=号D+p=号.因为1MN1=8, 所以了p=8,解得p=3. 8C方程x60s0+ysin0-cos号-=0可化为(2x-1)c0s0+2ysin0-1=0.当9变动时，点 (2,0)到直线1的距离d 1 1 √4sin'0+4cos'a =立，则直线1与定圆C.(x-2)+y2=相 切，所以圆C的面积为于 9.ABD（m+2.x+(3-m)y-5=0即m(x-y)+2x+3y-5=0,由区y=0, 解得 2.x+3y-5=0, 二A正确：当m=1时，1在y轴上的截距为号，B正确，由6(m+2)十3一m=0,解得 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 霸甲s m=一3，C错误.因为1+1十4一2>0，所以点P在圆x2+y2+4x一2y=0的外部，D正确 10.AD以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系（图略），则 D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0,C1(0,2,2),0(1,1,1),E(2,0, 2),所以DA=(2,0,2),Di=(2,2,0),动=(21，-1)，A0=(-1,1,1),DC=(0,2, 2.设平面A1BD的法向量为=(2)，则m·D克=2x十2y=0, n·DA1=2x十2x=0, 令x=1,则n=(1, -1,-1.因为A动=一，所以A0L平面A1BD,A正确，n…可=号0，所以B0不与平 面ABD平行，B错误，DC在DA上的投影向量为 m,i- IDA 2,C错误易知平面 A1AB的一个法向量为m=(1,0,0),设平面DA1B与平面A1AB夹角的大小为0，所以cos0= 引启得D正瑰 11.BC设切点为E,则OE⊥AB,过F2作FzH⊥AB交AB于点H.若A,B在双曲线C的同一支 上，因为lOE=a,|EF1|=b,所以|F2H|=2a,|F1H|=2b,在Rt△BHF2中，由cos∠F1BF2= 号得|BH=2华，B-窖，B,-窖-2a-g所以2号-1=2，即4a=动，放C的 离心率为J十-若A,B在双曲线C的同支上，因为1QE=a,E,-b,所以1R,H -2a,R,H=2,在△BH,中，由s∠F,BR,-号得|BH1-2华，BF,-2g,BF,- 2要+2弘-要所以警-告=0，即a=动，故C的离心率为1+- ,b-√6 5 H 12.(一∞，10)（或{mlm<10}) 根据题意可得（一2）2十62一4m>0,解得m<10. c I =a=3 e=- 由题意得2b2_16 解得。？=9.6=8，放精圆C的标准方程为号+苦=1 a 31 a2=b2+c2, 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 器金 14.3+1 6 由题意，AB=(1,-1,0),AC=(0,-1,1),则|AB1=|AC|=2,cosA= AB·AC 所以A二则△ABC的面积为方X厄X厄X号-得，因为配 (0,1,0),所以球M的半径为1.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则 n·AB=x-y=0, n·AC=-y+z=0 取n=(11,1),则点M到平面ABC的距离d=n·=是= n 号所以三楼锥PABC的体积的最大值为××（停+1）-出 6 15.解：(1)若l经过原点，则l的方程为2x一y=0.… 2分 若1不经过原点，则可设L的方程为后+兰-1(a≠0)， a 因为1过点P(2,4),所以2十4=1，解得a=6,… a 3分 所以1的方程为后+岩=1，即x十y一6=0， 4分 故l的方程为2x一y=0或x十y一6=0. 5分 (2)因为△ABC为直角三角形，且|AC=BC|=2,所以|AB|=2√2，…7分 则圆心C到1的距离为A-反。 2 8分 由题意易得L的斜率一定存在，所以可设L的方程为y一4=k(x一2)，即kx一y一2k十4 0…44…00040e4440a …9分 由一2十4-2，解得k=1或-1， …11分 √k2+1 故l的方程为x一y十2=0或x十y一6=0.…13分 16.解：(1)设A(x,y),则B(x,一2)，F(0,2),…1分 BA=(0,y十2)，BF=(-x,4),FA=(xy-2),FB=(x,-4).…3分 因为BA·BF=FA·FB,所以0·(-x)十4(y十2)=x2-4(y-2),…5分 即x2=8y,所以点A的轨迹方程为x2=8y.…7分 (2)设A(m,n）,则m2=8n。…8分 则|AM川=√m2+(n-8)2=√n2-8n+64=√(n-4)2+48,…12分 当n=4时，AM取得最小值，最小值为4V3.…15分 17.(1)解：根据题意可得2a=2V3,则a=√3.…1分 将点3E)的坐标代人号-若=1，得号-是=1，解得6=1， *e+00000t400g 3分 故双曲线C的方程为写一y2=1.… 4分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 擱巴 (2)解：由(1)得c=√3+1=2，则F(2,0), 5分 则直线l的方程为y=x一2. 6分 y=x-2, Az1),B(x2y2,zv2=1得2x-12十15=0，显然4>0，… 由韦达定理得x1十x=6,x1,= 2， 8分 所以1AB1=1HT×√36-4X要-25. 9分 -. (3)证明：设M(xaya),N(x4y4),则 10分 -好=1. 两式相减得，(x3一x4)(x3十x4)一3(y3一y4)(y3十y4)=0. …11分 设P(xyo),则g十x=2x 144 12分 y3十y4=2y0, 所以2xo(x3-x4)-6yo(y3一y4)=0, 13分 即x0-3y。.8二义=0，所以x。-3y0X2=0, 14分 x3-x4 即x。一6y=0,所以点P在直线x一6y=0上. 15分 18.(1)证明：以(A言，AD,AA)为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), B1(2,0,2),D1(0,2,2),C1(2,2,2),C(4,4,0),D(0,4,0),所以B1D1=(-2,2,0),CC= （一2，一2,2)，… 2分 则B1D,·CC=-2X(-2)+2X(-2)=0, 所以B1D1⊥CC1,…4分 B (2)解：由(1)可得AB1=(2,0,2),DD,=(0,-2,2), 所以cos(AB,DD)1=。 4 1 22X22=2,…6分 故异面直线AB,与DD,所成角的余弦值为 ,…8分 (3)解：设C户=CD(0≤≤1).因为CD=(-2,2,-2),所以C户=(-2,2以，-2)， 则D1P=D1C+C1P=(2,0,0)+(-2以，2λ，-2x)=(2-2A,2,-2).…10分 由(1)可得AB1=(2,0,2),AD,=(0,2,2). 设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z), n·AB1=2.x+2z=0, 则 .AD,=2y+2z=0, 取n=(1,1,一1). 12分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 擱巴好 设直线D,P与平面AB,D,所成的角为0，则sng=cosm,D,庐)1=n,D nDPl |2-2λ+2λ+2λ| 1λ+1 .令λ十1=t,则t∈[1,2]， √5X√(2-2)2+(2x)2+(-2)7√3X√3λ2-2x+1 1 1 所以sin0= …15分 当}-号即1一号即-号时，血0取得最大值最大值为1当}-1，即4=1.即=0 时，sn0取得最小值，最小值为放直线D,P与平面AB,D,所成角的正弦值的取值范围 ……17分 1以1解，方法-设R红)为箱圆C上任意-点，则R'(号-号，号+号)即斜箱 圆2上一点，…2分 …4分 化简得矿+芳=1，放椭圆C的方程为号+号 …5分 (方法二)由 7+7w-2y=4=或=. 或 …1分 y=z: y=2y=-2, 17x2+7y2-2.xy=24, x=-5.=5 2， 得 或 2分 y=一x, - y=- 2, 所以椭圆C的长轴长为2a=√(W2十√2)2+(-√2一√2)2=4，得a=2,…3分 椭圆c的短轴长为26=-9-)产+(+)=2，得6=厅，…4分 故精圆C的方程为后+芳 =1,…5分 (2)证明：根据椭圆的对称性，不妨令M(2,0),N(一2,0).设T(x,y),P(x1y1),则Q(x1, -y1). Mi=(x-2,y),M=(x1一2，y1),由P,M,T三点共线，得y(x1-2)=y1(x一2)；" …6分 NT=(x+2,y),N=(x1+2,-y1),由Q,N,T三点共线，得y(x1+2)=一y(x+2). …7分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 糰甲旺 两式相乘可得y2(x-4)=-y(x2-4). 8分 因为+普-1所以-4=-青i,所以学y=3-4x≠士2， 故点T在某定曲线上，该定曲线的方程为-号=1(x≠士2.… 10分 (3)解：当直线1的斜率为0时，设直线l的方程为y=t(一√3<t<√3)， 则A(-,B0且后+号-1，即4-音 -t-tt 3 所以ka·ka一2十2‘2一4一文一，不符合题意。 11分 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my十n,A(x2y2),B(xay3). 由 =m+,。消去x得(3m2+4y2+6my+3m2-12=0. 3.x2+4y2=12, 则y2十y=一 6mn 3m2-12 322+4y2y4一3m2大. 13分 直线HA与HB的斜率分别为w一”2火0一产2 y2y3 y2y3 于是kM·kH=(my2+n-2)(my+n-2-m2y2y⅓十7m(n-2)y2+y)+(n-2) 3n2-12 3m2+4 3n2-121 n2. 3m2-12 3m2+4 -m(n-2)· 60m十(0m-2)24n2-16m+164' 3m2+4 整理得n2十2n一8=0，解得n=一4或n=2,…15分 当n=2时，直线x=ny十2过点H,不符合题意，因此n=一4. 综上，直线l:x=y一4过定点K(一4,0).…17分 器国