5.3 实际问题与一元一次方程——方案决策与分段计费问题 课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 方案决策与分段计费问题 第五章 一元一次方程 1、利用一元一次方程解决生活中的分段计费问题. 2、将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题. 3、了解分类讨论的思想. 学习目标： （1）乘坐出租车时，两公里内收费8元，超出两公里后每公里加1.2元（不足一公里按一公里计算），小明家到学校的距离为1.5公里，小红家到学校的距离为3.4公里，某天下雨，他们都乘出租车上学，请你计算他们分别应付 元； 旧知链接 小明8元和小红10.4 （2）若又有一种出租车，两公里内收费6元，超出两公里后每公里加1.5元（不足一公里按一公里计算），你还能算出小明和小红分别要付多少钱吗？ 小明6元和小红9元 （3）若小青家离学校5.8公里，你能帮他算算哪种出租车更省钱吗？ 分段计费问题 分段计费问题 方案决策问题 下表中有两种移动电话计费方式： 免费 0.19 350 88 方式二 免费 0.25 150 58 方式一 被叫 主叫超时费/(元/分) 主叫限定时间/分 月使用 费/元 新知学习 你认为选择哪种计费方式更省钱呢？ 加超时费0.19元/分 基本费88元 加超时费0.25元/分 基本费58元 350 0 150 计费方式一 计费方式二 想一想：你觉得哪种计费方式更省钱？ 填填下面的表格，你有什么发现？ 主叫时间(分) 100 150 250 300 350 450 方式一计费(元) 方式二计费(元) 58 58 83 95.5 108 133 88 88 88 88 88 107 哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”. 免费 0.19 350 88 方式二 免费 0.25 150 58 方式一 被叫 主叫超时费/(元/分) 主叫限定时间/分 月使用 费/元 考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min和 350 min是不同时间范围的划分点. 计费时首先要看主叫是否超过限定时间，主叫不超过限定时间，月使用费一定；主叫超过限定时间，超时部分加收超时费. 问题1：设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整数)，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费？ 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 58 88 58 88 88 88 58＋0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 58＋0.25(t－150) 当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表： 58 + 0.25(350 - 150)=108 问题2：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法. 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 58 88 58 88 88 88 划算 划算 划算 58＋0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 58＋0.25(t－150) ①当t ≤150时，方式一计费少(58元)； ②当t 大于150且小于 350时，可能存在某一个值，使得两种方式计费相等. 依题意 ，得58＋0.25(t－150) = 88， 解得 t =270. ④当t >350时， 方式一： 58＋0.25(t－150)= 108＋0.25(t－350)， 方式二： 88＋0.19(t－350)， 所以，当t ＞350分时，方式二计费少. ③当t =350时，方式二计费少(88元)； 58 + 0.25(350 - 150) =108 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 58 88 t 等于150 58 88 150< t <270 小于88 88 t =270 88 88 270< t <350 大于88 88 t 等于350 108 88 t 大于350 58＋0.25(t－150) 88+0.19(t－350) 对问题的深入探究 划算 划算 划算 划算 划算 划算 加超时费0.19元/分 基本费88元 加超时费0.25元/分 基本费58元 350 0 150 计费方式一 计费方式二 108 88 58 88 （ t 是正整数） t /分 88 88 270 综合以上的分析，可以发现： 时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱； 时，方式一、方式二均可． t 小于 270 t 大于 270 t 等于 270 （1）解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？ （2）电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？ 课堂小结 分类讨论 数轴与表格 找分界点，确定相等关系 （找段点） 列表分析 借助数轴 分类讨论 如何比较两个代数式的大小 要找不等关系先找等量关系 1. 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）． （1）根据题意，填写下表： 攒钱的月数/个 3 6 … x 小明攒钱的总数/元 350 … 小强攒钱的总数/元 510 … 330 500 200+50x 150+60x 针对训练 （2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？ 根据题意，得200+50x=150+60x， 解得x=5． 所以150+60x=450． 答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱． （3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？ 根据题意，由200+50x=780，解得x=11.6， 故小明在12个月后攒钱的总数超过780元. 由150+60x=780，解得x=10.5， 故小强在11个月后攒钱的总数超过780元. 所以小强能够先买到该模型． 2. 用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元. 问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？ (复印的页数不为零) 复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于20 0.12x 0.1x x 等于20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2 x 大于20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x 解：设复印页数为x，依题意，列表得： (1) 当 x ＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜； (2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜； (3) 当 x 大于20时，依题意得 2.4+0.09(x－20) ＝ 0.1x. 综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜； 当 x 等于60时，两者价格相同； 当 x 大于60时，复印社价格便宜. 解得 x ＝ 60 3. 移动公司推出两种智能手机上网流量包： 月使用费(元) 含上网流量(M) 流量超出部分(元/M) A种 30 320 0.2 B种 50 550 0.1 如何选择流量包更划算？ 解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表： 使用流量 x(M) A种计费(元) B种计费(元) x小于等于320 30 50 x大于320且小于550 30+0.2(x－320) 50 x等于550 76 50 x大于550 30+0.2(x－320) 50+0.1(x－550) (1) 当 x≤320 时，流量包A 计费少(30元)； (2) 当 320＜x＜550 时，存在x的值使流量包A与 流量包B计费相等； (3) 当 x ≥ 550 时，流量包B 计费少(50元)； 30+0.2(x－320)=50 解得x=420 综上所述， 当月使用流量小于 420 M 时，选择流量包A 划算； 当月使用流量等于 420 M 时，两种流量包费用一样； 当月使用流量大于 420 M 时，选择流量包B 划算. 解决此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案. 1. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44 A 当堂巩固 2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月的用水量为_______m3. 20 （2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 ． 【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2－x），第二次操作后的两边长分别是（2x－2）和（2－x）． 当2x－2＞2－x时，有2x－2＝2(2－x)，解得x＝1.5， 当2x－2＜2－x时，有2(2x－2)＝2－x，解得x＝1.2． 故答案为：1.2或者1.5． 1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关. 2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案. 课堂总结 $$