第五章 二元一次方程组 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第五章 二元一次方程组 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·重庆·期中）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的方程组中，与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（   ） A． B．6或 C．2或6 D． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解得方程组的解为 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 13．（24-25八年级上·河南·期中）如果与互为相反数，则 ． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ． 16．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 18．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 19．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）一次函数． (1)当为何值时，随增大而增大？ (2)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与y轴交于点． (1)请你写出这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上． 21．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，求方程组的解． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ 23．（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 24．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求点、点、点的坐标，并求出的面积； (2)在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 25．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． (1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． (3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入得，，再解方程即可． 【详解】解：把代入得， ， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据五只鸡、六只鸭共重20千克可得方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图象的交点问题．联立函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：一次函数与联立得到， ， 解得，， ∴点A的坐标为， 故选：C． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴一次函数与的交点坐标为． 故选：A． 6．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的方程组中，与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是熟知解二元一次方程组的步骤．由方程组得解互为相反数可知，代入方程组可求出m的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 代入方程组得，， 由得：， 解得：， 故答案为：B． 7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 8．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（   ） A． B．6或 C．2或6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，全等三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．根据四边形是长方形可得，设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是，根据题意分别表示出，再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当时，当时，分别建立方程组求解即可． 【详解】解：由题可知：， E为的中点 ， ， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等 ， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故选：B． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与方程组的解的问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，画出图象并分析是解题的关键．求出恒过，作出函数的图象，通过数形结合，观察图象和函数式进行作答． 【详解】解：∵可化简为， 无论取何值，恒过， 该函数图象随值不同绕旋转， 作出函数的图象如下： 当与平行时，可得， 此时， 当过点时，可得， 解得：， 此时， 如图可得：当时，的图像与函数的图象有两个交点，即关于，的二元一次方程有两组解． 故选：C． 10．（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k，即可得到x，y的关系． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当x与y相等时，， 即， 解得：， ∴①正确； ②∵方程的两根互为相反数， ∴， 即， 解得：， ∴②正确； ③， ∴， ∴， ∴， ∴， 将方程组的解代入得：， 解得：， ∴③正确； ④， 得， 即． ∴④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解得方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的步骤是解题的关键． 消去，可解得的值，将x的值代入①中可得y的值，据此求解． 【详解】解：， ，得：， 将代入①中，， 解得：， ∴方程组的解为：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 将与的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出与的值，即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ， 解得：， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河南·期中）如果与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答． 【详解】解：如图可得， 解得：， ∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm， ∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意， 故答案为：，． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，准确理解题意并能用特殊值法求解时解题关键．分别求出和时的值，再代入方程求出、的值即可． 【详解】解：， 当时，， 将代入方程得：， 解得：， 当时，， 将代入方程得：， 解得：， 不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）消去，用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得，③ ，得， 解得． 把号代入①，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为： 18．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 19．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）一次函数． (1)当为何值时，随增大而增大？ (2)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1)，为任意实数 (2) 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数增减性求参数、一次函数与坐标轴围成的三角形面积等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由一次函数图象与性质列不等式求解即可得到答案； （2）将，代入一次函数解析式，求出图象与坐标轴交点坐标，作出图象，数形结合利用三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数， 随增大而增大， 由一次函数图象与性质可知，解得， 当，为任意实数时，随增大而增大； （2）解：当，时，一次函数， 当时，，即一次函数与轴交于； 当时，，解得，即一次函数与轴交于； 如图所示： ． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与y轴交于点． (1)请你写出这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点代入即可求得，从而得到一次函数的解析式； （2）将代入，求得，从而判断点不在该函数图象上． 【详解】（1）解：将代入，可得 所以该一次函数的表达式为； （2）解：将代入该函数表达式，得 所以点不在该函数图象上． 21．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了求一次函数的解析式，一次函数图象的交点问题： （1）直接利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得： ，解得， 一次函数的表达式为：． （2）解：将代入得∶ ， ， 将方程组整理为， ∴方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标， 方程组的解为． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ 【答案】(1)， (2)选择方案甲更省钱 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意建立函数解析式是关键． （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）中解析式，求出当时，两个函数的函数值，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ； （2）解：当时， （元）， （元）， ， ∴选择方案甲更省钱． 23．（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 24．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求点、点、点的坐标，并求出的面积； (2)在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①，；②，， 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可； ②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， ∵直线与交于点C， 联立得方程组：， 解得：， 故点； 则的面积； （2）解：①设点、的坐标分别为、 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为，； ②设、、的坐标分别为、、， 当时，如图：   ，， ，，， ， ，， 即：， 解得：， ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 25．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． (1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． (3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)①③； (2)； (3)． 【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题； （2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积； （3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系． 【详解】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程， ①， ②， ③， 在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③， 故答案为：①③； （2）∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点， ， 解得， ， 点在轴上， 当时，， ， ， 点在轴上， 当时，， ， ，， 四边形的面积； （3），，三点是二元一次方程图象的关联点， 将，代入 得 整理，得①， 将代入 得②， ①②得， 解得 将代入 得 即 解得， 将代入 得 即 解得， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$