6.3 角（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024新教材）

6.3 角 【考点1 角的概念及表示】 【考点2 度分秒换算】 【考点3 钟面角】 【考点4 方位角】 【考点5 角平分线的定义】 【考点6 角的基本运算】 【考点7 余角概念及及性质】 【考点8 补角及性质】 【考点9 与余角，补角的有关计算】 【考点10 同(等)角的余(补)角相等的应用】 知识点1 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【考点1 角的概念及表示】 【典例1】如图所示，图中小于平角的角共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据角的定义，理清图示意思即可求解． 【详解】解：先数出以为一边的角，再数出以、、为一边的角，把他们加起来． 也可根据公式：来计算，其中，指从点发出的射线的条数． ∵图中共有四条射线， ∴图中小于平角的角共有个． 故选：． 【点睛】此题通过数角的个数，考查了同学们总结规律的能力或公式应用的能力，掌握角的概念是解题的关键． 【变式1-1】下列图形中，能用，，三种表示方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项中，，，三种表示方法可以表示同一个角，故符合题意； B选项中，，两种表示方法可以表示同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； C选项中，， 不是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； D选项中，，两种表示方法可以表示同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的表示方法是解本题的关键． 【变式1-2】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C． D．也可用来表示 【答案】D 【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，故本选项不符合题意； B、表示的是，正确，故本选不符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、不能用表示，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角． 【变式1-3】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 知识点2 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【考点2 度分秒换算】 【典例2】计算 （1） ＇． （2） ． （3） ＇． 【答案】 29.25 15 42 【分析】本题考查度分秒之间的换算和计算，注意掌握这一基本的换算． （1）根据得到求解即可； （2）根据，得到，求出，进而求解即可； （3）根据得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：（1）；（2）29.25；（3）15；42． 【变式2-1】已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键．依据，，，即可得到三个角的大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 【变式2-2】 ． 【答案】 【分析】角的单位换算计算即可． 本题考查了角的单位换算，熟练掌握换算进制是阶梯的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】计算: ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是掌握． 根据进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点3 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【考点3 钟面角】 【典例3】钟表上7时55分时，时针与分针所夹的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了钟表时针与分针的夹角．因为钟表行的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找到时针和分钟之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时钟指示7点分时，分针指到11，时针在7和8之间，时针从7到这个位置经过了分钟，时针在钟面上每分钟转，因而转过， ∴时针与分钟所成的夹角为， 故选：D． 【变式3-1】如图，钟表上9点30分，时针和分针之间夹角的度数是 ．    【答案】/105度 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，钟表上9点30分，时针指向9，分针指向6，两者之间相隔个数字，即可求解． 【详解】解：∵， ∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105度． 故答案为： 【变式3-2】如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 °． 【答案】75 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是30度进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角是75°， 故答案为：75． 【变式3-3】小刚每晚 都要看中央电视台的“新闻联播”节目，这时钟面上时针与分针夹角的大小为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了钟表时针与分针的夹角，点整，时针指向，分针指向，钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，因此点整分针与时针的夹角正好是个数字，夹角即为，计算即可求解，掌握钟表常识是解题的关键． 【详解】解：∵每相邻两个数字之间的夹角为，点整分针与时针的夹角正好是个数字， ∴． 故答案为：． 知识点4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【考点4 方位角】 【典例4】如图，从海岸边的塔楼O观测海面的情况，海船P在O的北偏东方向上，海船Q在O的南偏东方向上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角是解题的关键． 如图，由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， 故选：B． 【变式4-1】某战区举行军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的东北方向（如图），同时观测到军舰B位于点O的北偏西方向，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角，角的和差．根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵由题意可得，， ∴． 故选：C 【变式4-2】如图，射线的方向为北偏西，射线的方向为北偏东，，则射线的方向角为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，由题意得出，求出，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， 射线的方向角为北偏东， 故选：B． 【变式4-3】如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出得出，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点6：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【考点5 角平分线的定义】 【典例5】如图，已知，射线把分成两个角，即和，、分别是、的平分线．求的度数．    【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，熟练掌握双角平分线模型是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 【变式5-1】如图，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及度分秒的转换，正确掌握角平分线的性质是解题关键 直接利用角平分线的性质得出，进而得出答案 【详解】解： 平分， ， ， 故答案为： 【变式5-2】如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了角平分线的性质、邻补角的定义，解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握性质、定义．根据角平分线的性质，得到，，再根据题意和邻补角互补，即可算出结果． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式5-3】如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，以及角度的和差计算． （1）利用平角的定义得出，再利用角平分线的定义可得出，，进而可得出． （2）利用角平分线的定义，再根据角的和差关系即可得出，． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵，分别平分和． ∴，， ∴， 即． （2）∵，，平分， ∴， ∵ ∴， ∴ 【考点6 角的基本运算】 【典例6】如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握对顶角、角平分线的定义，利用角的和差关系准确计算是解题的关键． （1）利用对顶角和角平分线的定义可得，，； （2）设，，则有，求出，再求即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ； （2）， 设，， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，直线和交于点O，平分 (1)在内部，过点O作射线； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）按要求作图即可； （2）利用垂直定义得出的度数，再利用角平分线的定义得出的度数，最后求出的度数即可． 此题主要考查了垂直的定义和角平分线的定义，得出的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：， ， ， ， 平分， ， ． 【变式6-2】如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 知识点7：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【考点7 余角概念及及性质】 【典例7】若，则它的余角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的和等于，补角的和等于的性质，解题的关键是需要注意度、分、秒是进制，也是本题容易出错的地方． 根据余角的定义求解即可 【详解】解：， 它的余角为：， 故选：A 【变式7-1】如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角、补角的定义，根据平角的定义得到，再由余角的定义得到，则由平角的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-2】，，则的余角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差计算，余角的概念，解题的关键是分两种情况讨论． 需要分两种情况，当射线在内部时，当射线在的外部时，根据角度的和差运算求出，然后根据余角的概念求解即可． 【详解】解：当射线在内部时， ∵，， ∴， ∴的余角的度数为； 当射线在的外部时， ∵，， ∴， ∴的余角的度数为； 综上所述，的余角的度数为或． 故答案为：或． 【变式7-3】若，则的余角等于 °． 【答案】 【分析】此题考查了余角和补角的知识，解决本题的关键是掌握如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角． 利用余角的概念求解即可． 【详解】解：的余角． 故答案为：． 【考点8 补角及性质】 【典例8】一个角的补角，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互补，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这个角的度数为； 故选C． 【变式8-1】若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】。 则的补角为． 故选：D． 【变式8-2】如果一个角为，那么这个角的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，和为的两个角互补，根据补角定义求解即可． 【详解】解：如果一个角为，那么这个角的补角为． 故选：B． 【变式8-3】如果一个角等于，那么这个角的补角是 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角，解题的关键在于熟知如果两个角的度数之和为，那么这两个角互补，根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角等于， ∴这个角的补角是， 故答案为：． 【考点9 与余角，补角的有关计算】 【典例9】如图，已知，与互余，平分． (1)若，则　　，　　； (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是余角和补角的概念和性质，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据互余的概念求出，根据角平分线的定义求出，结合图形计算即可； （2）根据互余的概念用表示，根据角平分线的定义求出，结合图形列式计算即可． 【详解】（1）与互余，， ， 平分， ， ， 故答案为：；； （2），且与互余， ， 平分 ， 解得，． 【变式9-1】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为余角互为补角的定义，若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，比较简单． 根据若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，解答即可． 【详解】解：∵与互补，， ∴； 又∵和互余， ∴， 故选：B． 【变式9-2】一个角的补角等于这个角的余角的倍，则这个角是 度； 【答案】 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，设这个角为根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角为 由题意得，， 解得， 则这个角是， 故答案为：． 【变式9-3】如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直；理由见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角等知识．确定角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可得，即，由，，可得，计算求解即可； （2）由与互补，可得，则，即，则，进而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：（或垂直），理由如下； ∵与互补， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【考点10 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例10】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，需结合余角和补角的定义进行求解； 如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据图象求解即可． 【详解】解：A．由图可知，所以与互余，故本选项错误； B．同角的余角相等，所以，故本选项正确； C．由图可知，但推不出，故本选项错误； D．由图可知，所以和互补，故本选项错误． 故选：B． 【变式10-1】如图示，，．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的特征，掌握同角的余角相等是解题关键．由垂直可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C 【变式10-2】如果，且，那么与的关系是（    ）． A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等角的补角相等，根据题意，得到，，由即可得到，熟记等角的补角相等是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，， ， ，即， 故选：A． 【变式10-3】已知两个直角三角尺如图所示放置，直角顶点重合，，由此可得：，其依据是（    ）    A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了余角的知识，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，从而可得，，然后利用同角的余角相等，即可证明． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：B． 一、单选题 1．学校在图书馆北偏西的方向上，则图书馆在学校（    ）的方向上． A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，方向角是表示方向的角，以正北，正南方向为基准来描述物体所处的方向．熟练掌握方向角的描述是解题的关键． 根据方向的相对性，方向相反，角度相等，距离不变来分析即可求解． 【详解】解：学校在图书馆北偏西的方向上， 根据方向的相对性，方向相反，角度相等，距离不变可知： 图书馆在学校南偏东的方向上． 故选A． 2．用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算．用三角板拼特殊角其实质是角的和差运算，理解题意是关键．用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．的角，；故本选项不符合题意； B．的角，；故本选项不符合题意； C．的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意； D．的角，；故本选项不符合题意． 故选C． 3．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 4．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 5．如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，弄清楚角之间的关系成为解题的关键. 先求得,然后即可解答. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 故选B. 6．如图，已知，则的补角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角、补角的定义，先求出的度数，再求的补角度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的补角度数为． 故选B． 7．经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查的是钟面上的知识，即在钟面上，分针或时针转动一圈是360度，转动一个小格是6度，转动一个大格是30度.经过1小时，钟面上分针转过了一周，即360度，时针转过一个大格，即30度，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度之差就很容易算出来了 【详解】解：． 即：钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差． 故选：A． 8．如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出，，求出，得出，即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：B． 9．如图，已知于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂直的定义，余角的性质，根据垂直的定义得到，从而推出 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 10．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义．根据题意，先求得的值；平分，平分，则可求得、的值；，计算得出结果． 【详解】解：，且， ， 平分， ， ， 平分， ， ． 的度数是． 故选：B． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．已知，与互余，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余两角的度数之和为90度，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 13．如图，直线相交于点O，若，平分，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，由题意得，进一步可得，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： 14．若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为 °． 【答案】100 【分析】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为． 设这个角是，则它的补角为，根据两个角的和等于，则这两个角互补，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，根据题意，得 ， 解得：， 故答案为：100． 三、解答题 15．如图，是的平分线，是的平分线，且，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的和差， （1）根据角平分线的定义得，，代入数据计算即可； （2）结合图形可得，代入数据计算即可； 解题的关键是掌握角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线． 【详解】（1）解：∵是的平分线，且， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数为； （2）由（1）知：，， ∴， ∴的度数为． 16．如图，已知，射线平分，射线平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、一元一次方程的定义等知识点，弄清楚各角之间的关系成为解题的关键． 设，由角平分线的定义可得，进而得到；再运用角平分线的定义可得，最后根据列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， ∵射线平分， ∴． ∵， ∴． ∵射线平分， ∴． 又∵， ∴，解得，即的度数为． 故答案为：． 17．如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 角 【考点1 角的概念及表示】 【考点2 度分秒换算】 【考点3 钟面角】 【考点4 方位角】 【考点5 角平分线的定义】 【考点6 角的基本运算】 【考点7 余角概念及及性质】 【考点8 补角及性质】 【考点9 与余角，补角的有关计算】 【考点10 同(等)角的余(补)角相等的应用】 知识点1 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【考点1 角的概念及表示】 【典例1】如图所示，图中小于平角的角共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式1-1】下列图形中，能用，，三种表示方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C． D．也可用来表示 【变式1-3】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【考点2 度分秒换算】 【典例2】计算 （1） ＇． （2） ． （3） ＇． 【变式2-1】已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】 ． 【变式2-3】计算: ． 知识点3 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【考点3 钟面角】 【典例3】钟表上7时55分时，时针与分针所夹的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，钟表上9点30分，时针和分针之间夹角的度数是 ．    【变式3-2】如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 °． 【变式3-3】小刚每晚 都要看中央电视台的“新闻联播”节目，这时钟面上时针与分针夹角的大小为 ． 知识点4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【考点4 方位角】 【典例4】如图，从海岸边的塔楼O观测海面的情况，海船P在O的北偏东方向上，海船Q在O的南偏东方向上，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】某战区举行军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的东北方向（如图），同时观测到军舰B位于点O的北偏西方向，那么（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，射线的方向为北偏西，射线的方向为北偏东，，则射线的方向角为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【变式4-3】如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点6：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【考点5 角平分线的定义】 【典例5】如图，已知，射线把分成两个角，即和，、分别是、的平分线．求的度数．    【变式5-1】如图，平分，若，则 ． 【变式5-2】如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【变式5-3】如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【考点6 角的基本运算】 【典例6】如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【变式6-1】如图，直线和交于点O，平分 (1)在内部，过点O作射线； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式6-2】如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 知识点7：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【考点7 余角概念及及性质】 【典例7】若，则它的余角是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】，，则的余角的度数为 ． 【变式7-3】若，则的余角等于 °． 【考点8 补角及性质】 【典例8】一个角的补角，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如果一个角为，那么这个角的补角为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如果一个角等于，那么这个角的补角是 °． 【考点9 与余角，补角的有关计算】 【典例9】如图，已知，与互余，平分． (1)若，则　　，　　； (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【变式9-1】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】一个角的补角等于这个角的余角的倍，则这个角是 度； 【变式9-3】如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 【考点10 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例10】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A．B．C．D． 【变式10-1】如图示，，．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】如果，且，那么与的关系是（    ）． A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【变式10-3】已知两个直角三角尺如图所示放置，直角顶点重合，，由此可得：，其依据是（    ）    A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 一、单选题 1．学校在图书馆北偏西的方向上，则图书馆在学校（    ）的方向上． A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．南偏西 2．用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 3．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 4．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 6．如图，已知，则的补角度数为（    ） A． B． C． D． 7．经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（   ） A． B． C． D． 8．如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，与互余，则 ． 12．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 13．如图，直线相交于点O，若，平分，则 ． 14．若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为 °． 三、解答题 15．如图，是的平分线，是的平分线，且，求： (1)的度数； (2)的度数． 16．如图，已知，射线平分，射线平分．若，求的度数． 17．如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 18．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$