6.2 直线、射线和线段（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024新教材）

6.2直线、射线和线段 【考点1 直线、射线与线段】 【考点2 直线的性质】 【考点3 线段的应用】 【考点4 作图-直线射线和线段】 【考点5线段的性质】 【考点6 两点间距离】 【考点7线段的简单计算】 【考点8 “双中点”模型】 知识点1 直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识3：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 知识点4： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识5：双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【考点1 直线、射线与线段】 【典例1】如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点A到点C的距离是线段的长度 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【变式1-1】手电筒发射出来的光线，若发光点标识为点A，光线上任意一点标识为点B，则光线可表示为（    ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线 【变式1-2】如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【变式1-3】下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【考点2 直线的性质】 【典例2】在开会前，工作人员进行会场布置，如图所示为两名工作人员拉着一条绳子，然后依“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（   ） A．两点之间线段最短 B．过一点可以做无数条直线 C．两点确定一条直线 D．线段的长度就是、两点间的距离 【变式2-1】挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【变式2-2】木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（    ） A．两点之间，线段最短 B．连接两点之间线段的长度叫做两点间的距离 C．过一点，有无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式2-3】建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理可以用数学基本事实来阐释，该数学基本事实是 ． 【考点3 线段的应用】 【典例3】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【变式3-1】一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【变式3-2】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【变式3-3】2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【考点4 作图-直线射线和线段】 【典例4】如图，已知点、、、，请按下列要求作图并解答． (1)连接； (2)画射线； (3)在射线上取点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； 【变式4-1】按要求画图． (1)画射线和画直线． (2)在射线上截取，并连接． (3)射线交射线于点E． 【变式4-2】如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图： ①画射线； ②画直线交于点M； ③连接，并在线段的延长线上取一点N，使． 【变式4-3】如图，已知A，B，C，D四个点，读下列语句，画出图形．    (1)画线段； (2)画直线相交于点E； (3)画射线，并将其反向延长． 【考点5线段的性质】 【典例5】如图，为了尽快从地走到地，人们通常选择线路，其中的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线 【变式5-1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【变式5-2】将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式5-3】如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是 ． 【考点6 两点间距离】 【典例6】已知两根木条分别长，，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是（    ） A． B． C． D．或 【变式6-1】已知点A，B，C在同一条直线上，如果线段，那么A，C两点间的距离是（　） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】位于直线上的线段，cm，cm，则A，C两点间的距离是（  ） A．4cm B．16cm C．4cm或16cm D．不能确定 【变式6-3】已知为直线l上的三点，如果线段，，那么两点间的距离为 cm． 【考点7线段的简单计算】 【典例7】如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 【变式7-1】如图，是线段上两点，若线段，，且是线段的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】线段上有，两点，，，，那么 ． 【变式7-3】线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【考点8 “双中点”模型】 【典例8】如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点． (1)线段的长为 ___________； (2)求线段的长． 【变式8-1】如图，已知五点在同一直线上，是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)写出的数量关系； (2)求线段的长． 【变式8-2】如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若，求的值． 【变式8-3】如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 1．下列说法正确的是（　　） A．作的直线 B．线段、射线、直线中直线最长 C．射线有具体长度 D．线段有两个端点 2．如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，图中以为一个端点的线段共有（   ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4．如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 5．值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是 （   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．以上说法都不对 6．如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 7．如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有四个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出（    ）个不同的长度． A．3 B．4 C．5 D．6 9．相关部门开山挖隧道，把盘山公路改为平直的隧道后，大家开车经过的路程明显减短，出现这种现象的原因是 ． 10．已知线段，点C在线段上，且，O是的中点，则线段的长度是 ． 11．如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 12．将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 13．由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 14．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为5，点在直线上，且，求的长． 15．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2直线、射线和线段 【考点1 直线、射线与线段】 【考点2 直线的性质】 【考点3 线段的应用】 【考点4 作图-直线射线和线段】 【考点5线段的性质】 【考点6 两点间距离】 【考点7线段的简单计算】 【考点8 “双中点”模型】 知识点1 直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识3：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 知识点4： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识5：双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【考点1 直线、射线与线段】 【典例1】如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点A到点C的距离是线段的长度 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A. 点A在直线外，说法正确，不符合题意； B. 点A到点C的距离是线段的长度，说法正确，不符合题意； C. 射线与射线不是同一条，说法错误，符合题意； D. 直线和直线相交于点B，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】手电筒发射出来的光线，若发光点标识为点A，光线上任意一点标识为点B，则光线可表示为（    ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线 【答案】D 【分析】此题考查直线、线段、射线问题，熟练掌握射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸是解题的关键．用射线的概念及表示解答． 【详解】解：手电筒发射出来的光线，手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故手电筒发射出来的光线，类似于几何中的是射线，故光线可表示为射线． 故选：D． 【变式1-2】如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A、点A在直线外，原说法正确，故此选项不符合题意； B、点C在直线上，原说法正确，故此选项不符合题意； C、射线与射线是不是同一条，原说法错误，故此选项符合题意； D、直线和直线相交于点B，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C 【变式1-3】下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的区别；线段有两个端点且可以被度量；射线只有一个端点向一个方向无限延伸不可以被度量；直线没有端点向两个方向无限延伸不可以被度量．根据线段和射线的特征判定即可． 【详解】解：A选项表示直线和射线；不符合题意； B选项表示射线和线段；符合题意； C选项表示线段和射线；不符合题意； D选项表示线段和射线；不符合题意． 故选：B． 【考点2 直线的性质】 【典例2】在开会前，工作人员进行会场布置，如图所示为两名工作人员拉着一条绳子，然后依“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（   ） A．两点之间线段最短 B．过一点可以做无数条直线 C．两点确定一条直线 D．线段的长度就是、两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质．根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线， 故选：C． 【变式2-1】挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键；经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是：两点确定一条直线， 故选： 【变式2-2】木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（    ） A．两点之间，线段最短 B．连接两点之间线段的长度叫做两点间的距离 C．过一点，有无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了两点确定一条直线，掌握理解两点确定一条直线是解题关键． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为两点确定一条直线， 故选：D． 【变式2-3】建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理可以用数学基本事实来阐释，该数学基本事实是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握两点确定一条直线． 由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理可以用数学基本事实来阐释，该数学基本事实是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【考点3 线段的应用】 【典例3】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 【变式3-1】一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】C 【分析】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票． 【详解】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有种． 故选：C． 【变式3-2】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 【变式3-3】2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 【考点4 作图-直线射线和线段】 【典例4】如图，已知点、、、，请按下列要求作图并解答． (1)连接； (2)画射线； (3)在射线上取点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画线段，画射线，线段的尺规作图： （1）根据线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）根据线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）解；如图所示，即为所求． 【变式4-1】按要求画图．    (1)画射线和画直线． (2)在射线上截取，并连接． (3)射线交射线于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段： （1）根据直线和射线的画法画图即可； （2）根据线段的尺规作图方法作图即可； （3）根据射线的画法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线和直线即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解；如图所示，点E即为所求；    【变式4-2】如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图： ①画射线； ②画直线交于点M； ③连接，并在线段的延长线上取一点N，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段： ①根据射线的画法画图即可； ②根据直线的画法画图即可； ③根据线段的画法画图即可． 【详解】解：①如图，射线即为所求； ②如图，直线，点M即为所求； ③如图，线段即为所求． 【变式4-3】如图，已知A，B，C，D四个点，读下列语句，画出图形．    (1)画线段； (2)画直线相交于点E； (3)画射线，并将其反向延长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，熟记相关定义即可． （1）连接点A与点B，连接点C与点D，即可完成作图； （2）连接点A与点C并向两端无限延伸，连接点B与点D并向两边无限延伸，即可完成作图； （3）连接点A与点D，向方向无限延伸，即可完成作图； 【详解】（1）解：作线段，即连接点A与点B，连接点C与点D，如图所示．    （2）解：作直线相交于点E，即连接点A与点C并向两端无限延伸，连接点B与点D并向两边无限延伸，如图所示．    （3）解：作射线，即连接点A与点D，向方向无限延伸，如图所示．    【考点5线段的性质】 【典例5】如图，为了尽快从地走到地，人们通常选择线路，其中的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题考查数学原理的实际应用，解题的关键是掌握：两点之间线段最短．据此解答即可． 【详解】解：如图，为了尽快从地走到地，人们通常选择线路，其中的数学原理是：两点之间线段最短． 故选：C． 【变式5-1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：由题意得 能解释这一现象的数学道理是两点之间线段最短， 故选：B． 【变式5-2】将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了线段公理，根据两点之间线段最短即可求解，掌握线段公理是解题的关键． 【详解】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是两点之间线段最短， 故选：． 【变式5-3】如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据线段的性质判断即可，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 【考点6 两点间距离】 【典例6】已知两根木条分别长，，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，熟练掌握线段的中点定义是解题的关键．分类讨论进行解得即可． 【详解】解：设，，点分别是的中点， ∴， ①不在上， ． ． ②在上， ． ， 故选D． 【变式6-1】已知点A，B，C在同一条直线上，如果线段，那么A，C两点间的距离是（　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，分析两种情况求解：点C可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解． 【详解】根据题意点C可能在线段上也可能在线段的延长线上． 若点C在线段上， 则 若点C在线段的延长线上， 则 故选C． 【变式6-2】位于直线上的线段，cm，cm，则A，C两点间的距离是（  ） A．4cm B．16cm C．4cm或16cm D．不能确定 【答案】C 【分析】分类讨论：点C在线段上和点C在射线上两种情况解答． 【详解】解：分两种情况： ①点C在线段上，则；    ②点C在线段的延长线上，．    故选C． 【点睛】本题考查了两点间的距离．需要分类讨论，以防漏解． 【变式6-3】已知为直线l上的三点，如果线段，，那么两点间的距离为 cm． 【答案】或/11或1 【分析】分两种情况，当在延长线上时或当在延长线上时，分别求解即可. 【详解】解：当在延长线上时， ； 当在延长线上时， ； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了线段的和差求解，解题的关键是理解题意，找到线段的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解． 【考点7线段的简单计算】 【典例7】如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)15 (2)9 【分析】本题主要考查线段和线段的中点，掌握线段和差计算，数形结合分析方法是解题关键． （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，是线段上两点，若线段，，且是线段的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据线段中点的定义可得，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 故选：． 【变式7-2】线段上有，两点，，，，那么 ． 【答案】2或22 【分析】本题主要考查了线段的和与差，正确理清线段之间的关系是解题的关键． 根据题意分点Q在线段上和点Q在线段上两种情况讨论，然后分别根据线段的和差就即可． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点Q在线段上时，如图， ∵，，， ∴ ∴； （2）当点Q在线段上时，如图， ∵，，， ∴． 综上所述，或22． 故答案为：2或22． 【变式7-3】线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点8 “双中点”模型】 【典例8】如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点． (1)线段的长为 ___________； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据，，得，据此可得的长； （）根据，为的中点得，再由（）可知，则，然后根据为的中点得，由此可得的长． 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是线段上的一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，为的中点， ∴， 由（）可知， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，已知五点在同一直线上，是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)写出的数量关系； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，能求出是解此题的关键． （1）根据线段的中点求出，求出即可； （2）根据（1）得出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴ ， 即的数量关系是； （2）解：由（1）知：， ∴， 即． 【变式8-2】如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】（）由，，得，，则，再根据线段中点和线段和差即可求解； （）由∵，得，再根据线段中点，从而得出，然后求解即可； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 即线段的长为； （2）∵， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． 【变式8-3】如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 1．下列说法正确的是（　　） A．作的直线 B．线段、射线、直线中直线最长 C．射线有具体长度 D．线段有两个端点 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据数轴、直线、射线、线段的意义，可得答案． 【详解】解：A、直线的长度无法度量，故不符合题意； B、射线与直线的长度无法度量，故不符合题意； C、射线没有具体长度，故不符合题意； D、线段有两个端点，故符合题意； 故选：D． 2．如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的相关知识，若，点D恰好为的中点，则，由此对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，点D恰好为的中点， ∴， 故C错误，不符合题意， 故选：C． 3．如图，图中以为一个端点的线段共有（   ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据线段的定义即可判断．本题主要考查线段的概念，关键是要牢记线段的定义． 【详解】解：以为端点的线段有、、，共三条， 故选：B． 4．如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可 【详解】解：因为D为的中点，， 所以． 因为， 所以． 如图①，当点E在点A右侧时． 因为，所以， 所以； 如图②，当点E在点A左侧时 因为， 所以． 综上所述，的长为或； 故选D． 5．值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是 （   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 6．如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线和线段的概念．根据直线、线段的概念求解即可． 【详解】A．点B在直线上，正确，不符合题意； B．点A在直线外，正确，不符合题意； C．点C在线段上，正确，不符合题意； D．点M在线段的延长线上，原表述不正确，符合题意； 故选：D． 7．如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差以及线段中点的定义，利用线段和差作为等量关系列方程是解决问题的关键．根据线段的差求出，由，可得，再根据，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 故选：C． 8．有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有四个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出（    ）个不同的长度． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 【详解】图中共有条线段， 能量出6个长度，分别是：． 故选：D． 9．相关部门开山挖隧道，把盘山公路改为平直的隧道后，大家开车经过的路程明显减短，出现这种现象的原因是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的基本性质：两点之间线段最短，掌握这点是解题的关键；根据两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：出现这种现象的原因是两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 10．已知线段，点C在线段上，且，O是的中点，则线段的长度是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义得到，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，O是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 11．如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解： ，可设， 点，分别是，的中点， ， ， 又 ， ，解得， （）， 即线段的长为． 故答案为：． 12．将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，则：，根据，求出的值，中点求出的长，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 13．由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 【答案】30 【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可． 【详解】解：如图： 图中线段的条数为（条）， （种）， 即铁路运营公司为这条路线制作的往返车票有30种． 故答案为：30． 14．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为5，点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3或7 【分析】本题考查了作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）因为点可以在线段，也可以在其延长线上，所以分两种情况讨论，分别得出的长即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段，直线为所作； （2）解：分以下两种情况： 如图，当点在线段上时， ∵，， ∴； 如图，当点在点的左侧时， ∵，， ∴； 综上所述，的长为3或7． 15．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$