第五章 一元一次方程应用题解题方法复习课课件2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

一元一次方程应用题解题方法论 人教2024版七年级数学上册 第五章 一元一次方程 找等量关系的四大法宝 一.直列法.即由题中的“比”“是”“占”“相当于”“和”“多” “少” “倍”“共”“相等”等表示数量关系的字眼,直接列出相关的方程. 例1 在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、乙两处各多少人? 答:应调往甲处17人,乙处3人. 解:设调x人到甲处,则调(20-x)人到乙处, 由题意得:27+x=2(19+20-x), 解之得 x=17 ∴20-17=3(人) 例2 某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)? 答:12人生产螺栓,16人生产螺母. 解:设x人生产螺栓,(28-x)人生产螺母. 12x 2=18(28-x) 解得:x=12, 28-12=16(人) 例3 如图,足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成,其中,黑皮可看作正五边形,白皮可看作正六边形,求白皮,黑皮各多少块? 分析:经过观察,黑色五边形的边有五条,而每个白色六边形和黑色五边形有三条公共边。可用同一法,分别用黑色皮块和白色皮块表示黑色皮块的边数 解得x=12 32-12=20(块) 答:有白皮20块,黑皮12块. 5x=3(32-x) 解:设有x块黑皮,则有(32-x)块白皮,依题意有: 二公式法.诸如“路程=速度 时间”、 “工作总量=工作效率 工作时间”、 “利润=售价-进价”、 “利润率=利润∶进价”等都是解答相关方程应用题的工具. 例4 商品进价1800元,原价2250元,要求以利润率不低于5%的售价打折出售,则此商品最低可打几折出售? 解之得x=8.4 答:最低可打8.4折. 解:设最低可打x折.据题意有: 例4 商品进价1800元,原价2250元,要求以利润率不低于5%的售价打折出售,则此商品最低可打几折出售? 解之得x=8.4 答:最低可打8.4折. 另解:设最低可打x折.据题意有: (同一法) 三.总分法.即根据总量等于各分量之和来列出方程,用此法要注意分量不可有所遗漏. 例5 “过路的人!这儿埋葬着丢番图.请计算下列题目,便可知他一生经过了多少寒暑.他一生的六分之一是幸福的童年,十二分之一是无忧无虑的少年.再过去七分之一的年程,他建立了幸福的家庭.五年后儿子出生,不料儿子竟先其父四年而终,只活到父亲岁数的一半.晚年丧子老人真可怜,悲痛之中度过了风烛残年.请你算一算,丢番图活到多大,才和死神见面?” 解之得x=84 解:设丢番图活了x年.据题意可得: 答:丢番图共活了84岁. 四.同一法.这类题目的解题原理是:如果同一个量能用两个不同的代数式表达,则这两个代数式必然相等. 例6 一队学生从学校出发去部队军训,行进速度是5千米/时,走了4.5千米时,一名通讯员按原路返回学校报信,然后他随即追赶队伍,通讯员的速度是14千米/时,他在距离部队6千米处追上队伍,问学校到部队的距离是多少?(报信时间忽略不计) 解:设学校到部队的距离是x千米.据题意得: 解之得:x=15.5 答:学校到部队的距离是15.5千米. 例7 从夏令营到学校,先下山然后走平路,某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山,而以每小时9千米的速度通过平路,到达学校共用55分钟,他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1.5 小时.从夏令营到学校有多少千米? 12 9 8 4 例7 从夏令营到学校,先下山然后走平路,某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山,而以每小时9千米的速度通过平路,到达学校共用55分钟,他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1.5 小时.从夏令营到学校有多少千米? 故从夏令营到学校有9千米. 解: 设山路长为x千米 解之得x=3, 此时, =6(千米),6+3=9(千米). 例7 从夏令营到学校,先下山然后走平路,某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山,而以每小时9千米的速度通过平路,到达学校共用55分钟,他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1.5 小时.从夏令营到学校有多少千米? 故从夏令营到学校有9千米. 此时, =3(千米),6+3=9(千米). 同样可设平路长为x千米,由来回山路长相等(是同一段路)得方程: 解之得x=6, 小 结 六大基本题型 六大基本题型之1配套问题 等量关系: 若m件A产品与几件B产品配套则其等量关系是: A产品的总件数 n=B产品的总件数xm 类型1:已知总人数,分成几部分分别从事不同项目,各项目数量之间的比例,符合整体的要求. 类型2:已知总材料数,分成几部分加工成同一件物品的不同部件,各部件数量之间的比例,符合整体的要求 配套问题之例: 某车间有14名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓24个或螺母36个,1个螺栓需要配2个螺母,若安排M名工人生产螺栓,使每小时生产的螺栓和螺母刚好配套,那么可列方程为( ) A.24XM=36X(14-M) 2 B.24X(14-M)= 36XMX2 C.24XMX2=36X(14-M) D.24X(14-M) 2=36XM C 解配套问题的关键是了解两种相关数量中,哪种数童多,哪种数量少,是几比几的配套问题.本题中螺栓:螺母=1:2,所以2 螺栓数=1 螺母数 六大基本题型之2工程问题 ①工程问题中的基本相等关系 (1)工作量=工作效率 工作时间;(2)工作效率=工作量工作时间; (3)工作时间=工作量 工作效率, ②人均效率:表示平均每人单位时间内完成的工作量. 涉及人均效率的工作量=人均效率 人数 时间. ③工程完成方式:一般出现“单独完成”和"合作完成“两种方式,常见的相等关系为各阶段工作量之和=总工作量 ④两种类型 (1)有具体工作总量的; (2)工作总量为单位1的. 将一批工业最新动态信息输人管理储存网络,甲单独做需6小时,乙单独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多长时间才能完成工作? 工程问题之例: 分析30分钟=0.5小时,可设甲、乙一起做需x小时才能完成工作,等量关系:甲0.5小时的工作量+甲、乙合作x小时的工作量=1,把相关数值代入求解即可 解析设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作,依题意有: 解得: 答:(略) 温馨提示解决工程问题时,一定要看 清时间的单位是否统一,不统一的先统一 单位 六大基本题型之3销售问题 销售问题中的相关公式 利润=售价-进价;利润率=(利润/进价) 100%;售价=标价 折扣;售价=进价 (1+利润率) 售出商品总利润=售出商品数量 每件商品的利润=售出商品数量 (单件商品的售价-单件商品的进价) 销售问题例题: 1.某超市将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品牌粽子的标价为( ) A.180元 B.170元 C.160元 D.150元 2.由于换季,商场准备对某商品打折出售,如果按原售价的七五折出售,将亏损25元,而按原售价的九折出售,将盈利20元,则该商品的原售价为 A.230元 B.250元 C.270元 D.300元 3.活动期间,商场某电器按成本价提高30%后标价,再打8折销售,售价为2080元,该电器的成本价为多少元? 六大基本题型之 4 积分问题 比赛中的积分问题:这类问题中积分多少与胜、负、平的场数有关,同时也与比赛积分规定有关,要弄清胜一场积几分,平一场积几分,负一场积几分.注意有时负一场也可能积1分,而不是0分 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数; 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 积分问题之例 足球比赛的记分规则如下:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,共得17分.请问:(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标? 积分问题之例 足球比赛的记分规则如下:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,共得17分.请问:(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标? 分析(1)如果这支球队胜x场,则平(8-1-x)场,根据积分方法及积分分数可列出方程.(2)因为胜的场数越多得分越高,所以后面的比赛全部胜利时得分最高(3)根据目标要求,后面的比赛只需再得12分. (1)设前8场比赛中,这支球队共 胜了x场,则平了(8-1-x)场, 根据题意,得 3x+(8-1-x)=17. 解得x=5. 答:前8场比赛中,这支球队共胜了5场 (2)要使得分最高,必须在后面的比赛中 全胜,17+(14-8) 3=35(分) 答:打满14场比赛最高能得35分 (3)设后6场比赛需要至少胜y场,则需平(6-y)场,由题意,得3y+(6-y) 1=29-17,解得y=3. 答:后6场比赛中,这支球队至少要胜3 场,才能达到预期目标. 六大基本题型之 5 方案策略问题 在生活中,做一件事情往往有多种方案,这就要选择一个最优方案,要选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出来,通过比较,确定最优方案。 例某商场元旦期间搞促销活动,一次性购物不超过200元不优惠,超过200元但不超过500元,全部按9折优惠,超过500元,超过部分按8折优惠,不超过的500元仍按9折优惠,某人两次购物分别用了134元和466元,(1)此人两次购物,若物品不打折,则需分别支付多少钱?(2)此人两次购物共节省多少钱?(3)若将两次购物合为一次购物,是否更省钱?说明理由. 分析(1)中首先应判断花费了134元的物品是否有优惠,花费了466元的物品是如何优惠的,然后再求解;(2)中应利用(1)的结果求解;(3)中应先计算合为一次购物时付款数为多少,再与(134+466)元进行比较。 例某商场元旦期间搞促销活动,一次性购物不超过200元不优惠,超过200元但不超过500元,全部按9折优惠,超过500元,超过部分按8折优惠,不超过的500元仍按9折优惠,某人两次购物分别用了134元和466元,(1)此人两次购物,若物品不打折,则需分别支付多少钱?(2)此人两次购物共节省多少钱?(3)若将两次购物合为一次购物,是否更省钱?说明理由. 解析(1)因为200 0.9=180(元),134元<180元,所以花费了134元的物品未优惠.因为500 0.9=450(元)<466(元),所以花费了466元的物品原价超过了500元,设花费了466元的物品原价为x元.依题意得500 0.9+(x-500) 0.8=466, 解得x=520. 故如果不打折,则需分别支付134元和520元. (2)节省134+520-(134+466)=54(元) (3)134+520=654(元),原价为654元的物品优惠价为500 0.9+(654-500) 0.8=573.2(元)故节省(134+466)-573.2=26.8(元) 故将两次购物合为一次购物更省钱,比两次购物节省26.8元 六大基本题型之 6 分段计费问题 ①分段计费问题涉及三个量 (1)用的量;(2)价格(分段计费);(3)费用. ②解题策略 若已知用的量和价格求费用,需按每段的价格进行计算; 若已知费用和价格求用的量,需根据费用判断用的量的范围,若无法判断则进行分类讨论 电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎,给市民的生活带来了很大方便,下表是行驶15千米以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格: (1)请分别计算路程是12千米时乘坐普通燃油出租车和纯电动出租车的费用; (2)老张每天从家去单位打出租车上班(路程在15千米以内),发现正常情况下乘纯电动出租车比乘普通燃油出租车平均每千米节省0.71元,求老张家到单位的路程是多少千米. 解(1)乘坐普通燃油出租车的费用为13 + 2.3 (12 - 3) = 33.7(元).乘坐纯电动出租车的费用为8 + 2 (12 - 3) = 26(元). (2)设老张家到单位的路程是x千米,则 13 + 2.3(x - 3) - 0.71x = 8 + 2(x - 3), 解得x = 10. 答:老张家到单位的路程是10千米. 1.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发,相向而行,1小时48分相遇,如果甲比乙早出发40分钟,那么在乙出发1小时30分时两人相遇,求甲、乙两人的速度。 2.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6千米,骑自行车的人的速度是每小时10.8千米。如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车人的时间是26秒。⑴火车的速度为每秒多少米;⑵求这列火车的身长。 3.一次远足活动中,一部分人步行,另一部分乘一辆汽车,两部分人同地出发。汽车速度60公里/小时,步行的速度是5公里/小时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行这部分人。出发地到目的地的距离是60公里。问:步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间忽略不计)? 4.学校春游,如果每辆汽车坐45人,则有28人没有上车;如果每辆坐50人,则空出一辆汽车,并且有一辆车还可以坐12人,问共有多少学生,多少汽车? 公园门票价格规定如下表: 购票张树 1~50张 51~90张 90张以上 每张票价格 13元 11元 9元 某校七年级一、二两个班共100人去游园,七年级一班有40多人,不足50人.经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付1196元. (1)求两个班各有多少学生; (2)如果两个班联合起来,作为一个团体购票,可省多少元? (3)如果七年级一班单独组织去游园,作为组织者的你如何购票才最省钱? 六大基本题型之 5 方案策略问题 $$