精品解析： 四川省内江市第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

内江一中初2025届第五学期期中考试 数学试题 （试卷共28题 考试时间120分钟 满分160分） A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△∽△，若，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 5. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（ ） A. 2a－b B. －3b C. b－2a D. 3b 6. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 7. 若，a＋b＋c＝18，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的方程ax2+bx+c=0,若满足a-b+c=0，．则方程（ ）. A. 必有一根为1 B. 必有两相等实根 C. 必有一根为－1 D. 没有实数根． 11. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 12. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如果代数式有意义，则x的取值范围是___________． 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________． 15. 已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是______． 16. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接，且，则_________． 三、解答题 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解方程： （1）． （2）． 19. 如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且． （1）求证：； （2）若，求证． 20. 已知关于的一元二次方程有，两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求及的值； （3）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 21. 【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 （1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ （2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； （3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ B卷 四、填空题（每小题6分，共24分） 22. 已知α，β是方程的两实根，则的值为______________． 23. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 24. 已知实数a，b满足：，则___________． 25. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与、分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___________（填序号）． 五，解答题（每小题12分，共36分） 26. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 27. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 28. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： ［观察与猜想］ （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中初2025届第五学期期中考试 数学试题 （试卷共28题 考试时间120分钟 满分160分） A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，△∽△，若，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答. 【详解】解：∵△∽△ ∴ ∴ 解得：AB=4 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解. 4. 关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案． 【详解】解：对于关于x的方程， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 5. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（ ） A. 2a－b B. －3b C. b－2a D. 3b 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可． 【详解】解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0， ∴ = =-（a+b） =a-2b-a-b =-3b． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a，解题关键是先判断所求的代数式的正负性． 6. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 若，a＋b＋c＝18，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可将b、c用a表示出来，再代入中，解出a即可． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 8. 某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 10. 关于x的方程ax2+bx+c=0,若满足a-b+c=0，．则方程（ ）. A. 必有一根为1 B. 必有两相等实根 C. 必有一根为－1 D. 没有实数根． 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a-b+c=0， ∴当x=-1时，一元二次方程ax2+bx+c=0即为：a×（-1）2+b×（-1）+c=0； ∴a-b+c=0， ∴当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0； 综上可知，方程必有一根为-1． 故选C． 11. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到必有一根为，进而求出的值即可． 【详解】解：，整理，得：， ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴方程必有一根为，即：， 故选B． 12. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如果代数式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 15. 已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可得，解得：，即可求出y的值，即可求出的值. 【详解】解：∵由二次根式的定义得，解得：， ∴，即：， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的运算法则即可. 16. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接，且，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点D作DM⊥AF，可证明∠NDM=∠GDM，从而得，DN=DG，设DN=DG=x，列出比例式，求出x的值，进而即可求解． 【详解】解：过点D作DM⊥AF，则∠MAD+∠ADM=90°， ∵在矩形中，∠ADM+∠CDM=90°， ∴∠MAD=∠CDM， ∵AD∥BF， ∴∠F=∠MAD， ∵， ∴∠MAD=， ∴∠CDM=， ∴∠NDM=∠GDM， ∵∠NMD=∠GMD=90°，DM=DM， ∴， ∴DN=DG， ∵，， ∴， 设DN=DG=x， ∵AB∥CD， ∴， ∴，即：，解得：x=2， ∴DN=DG=2， ∵AD∥BF， ∴， ∴，即：，解得：CF=6， 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，证明，是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂和负整数值幂，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）去绝对值，进行乘方，开方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用十字相乘法先分解，即可利用因式分解法解方程． （2）把方程右边的移到方程左边，然后提公因式，即可利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴， 【小问2详解】 解： 或 ，． 19. 如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且． （1）求证：； （2）若，求证． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ． （2） 证明：， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）要证明，由可知，只要证明即可． （2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有，两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求及的值； （3）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，则可先求出，再求出的值； （3）利用根与系数的关系得，，则利用求出的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 ∵关于的一元二次方程有，两个实数根， ∴，，且， 解得：，． 【小问3详解】 ∵关于的一元二次方程有，两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴存在实数，它的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判断式，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程．一元二次方程中根的判别式为，用符号表示，当大于0时，方程有两个不相等的实根；当等于0时，方程有两个相等的实根；当小于0时，方程无实根．若，是一元二次方程的两根，则，． 21. 【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 （1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ （2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； （3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为 （2） 由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）当时，长方形场地的面积最大，最大值为243 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为243． B卷 四、填空题（每小题6分，共24分） 22. 已知α，β是方程的两实根，则的值为______________． 【答案】30 【解析】 【详解】解：∵α为方程x2-2x-4=0的实数根， ∴α2-2α-4=0，即α2=2α+4， ∴α3+8β+6=α（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=8α+8β+14， ∵α，β为方程x2-2x-4=0的两实根， ∴α+β=2， ∴α3+8β+6=8×2+14=30． 故答案为30． 23. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 24. 已知实数a，b满足：，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方的非负性和算术平方根的非负性，配方法的应用，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键．先配成平方和等于0的性质，再利用平方和算术平方根的非负性得出和，然后再代入分式求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴且 ∴，即，， ∴， 故答案为： 25. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与、分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定．①由等腰和等腰三边关系可证；②通过等积式倒推可知，证明即可；③转化为，证明问题可证；④根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：由已知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由②，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 设与相交于F，则， ∵， ∴， ∴，故④错误． 故答案为：①②③． 五，解答题（每小题12分，共36分） 26. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 27. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）70元；（3）80元． 【解析】 【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； （2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价； （3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】解：（1）∵依题意得， ∴与的函数关系式为； （2）∵依题意得， 即， 解得：，， ∵ ∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； （3）设每月总利润为，依题意得 ∵，此图象开口向下 ∴当时， 有最大值为：（元）， ∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元， 故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 28. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： ［观察与猜想］ （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图，过点作交的延长线于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，得到答案． （2）先根据矩形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，然后根据相似三角形的判定与性质得到． （3）先根据矩形的判定与性质可得，，再根据直角三角形的性质得到，从而证明三角形相似，得到证明． 【小问1详解】 解：如图， 设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为． 【小问2详解】 如图， 设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与定理，利用相似三角形的判定与性质，得到相应线段的比例关系是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $