精品解析：福建省厦门市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年（上）厦门三中九年级期中测试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1、全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选释题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明在解方程时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 5. 已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 10 6. 如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 7. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 9. 如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 若是方程的一个根，则的值是 _____． 13. 抛物线的对称轴是直线___________． 14. 如图，将一块直角三角尺绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角______． 15. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 2 2 5 10 … 如果点在此抛物线上，那么___________． 16. 如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 三、解答题（本大题有9大题，共86分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值；，其中． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是． （1）作出关于原点的对称，则点的坐标为______； （2）将绕点O逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为_________． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 … （1）求m的值和这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需单独列表）； （3）若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 22. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 23. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 24. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 25. 已知抛物线 （1）当时，请判断点是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点、，若该抛物线与线段只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（上）厦门三中九年级期中测试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1、全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选释题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意。 故选：C． 2. 小明在解方程时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可，熟练掌握因式分解解方程的方法是解本题的关键． 【详解】方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：，， 则被漏掉的一个根为0， 故选：A． 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为， 故选项C不正确，符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 5. 已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 因为圆中最长的弦为直径， ∴． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 6. 如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角． 【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键 7. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程． 【详解】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：A． 8. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值． 【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1， ∵OD⊥AB，AB=4， ∴AC=AB=2， 在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2， ∴r2=22+（r-1）2， r=， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 9. 如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，得到， ，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知； 【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，， 对称轴，，，故①错误； 故②错误； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得，故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根， ∴ ∴，故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入得关于的方程，然后解此方程即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 抛物线的对称轴是直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式直接可得对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 14. 如图，将一块直角三角尺绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，找到旋转角，然后根据旋转的性质得到的值，计算的值即可得出答案，理解旋转前和旋转后的图形全等及找到旋转角是解本题关键． 【详解】解：是绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：28． 15. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 2 2 5 10 … 如果点在此抛物线上，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点在此抛物线上，代值求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，解得， 抛物线解析式为， 点在此抛物线上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键． 16. 如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 【答案】 ①. 12 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 三、解答题（本大题有9大题，共86分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴． 18. 先化简，再求值；，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是． （1）作出关于原点的对称，则点的坐标为______； （2）将绕点O逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为_________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，对称点的性质等知识点 （1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、即可； 熟练掌握变换的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 如图，为所作，点的坐标为； 故答案为； 【小问2详解】 如图，为所作；点的坐标为； 故答案为：． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 … （1）求m的值和这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需单独列表）； （3）若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） 画出这个二次函数的图象如图， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等知识点， （1）根据抛物线的对称性，可确定m的值（或求出表达式后令求出m的值），根据表格中3对对应值列方程组即可求出这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中，利用表格数据画出这个二次函数的图象即可； （3）根据图象信息可直接写出k的取值范围． 掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵当和4时，对应的函数值都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和3时，对应的函数值相同， ∴， 将，；，；，代入得， ， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵方程有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个不同的交点，抛物线的顶点是， ∴如图所示， ∴可知，． 22. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【答案】（1）w＝﹣10x2+700x﹣10000 （2）当单价为35元时，该文具每天的利润最大 （3）A方案利润高． 理由如下：A方案中：20＜x≤30， 故当x＝30时，w有最大值，此时wA＝2000； B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49， ∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35， ∴当x＝45时，w有最大值，此时wB＝1250， ∵wA＞wB， ∴A方案利润更高． 【解析】 【分析】（1），根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可； （2），根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3），确定两个方案的自变量取值范围，再求出利润，比较即可. 【小问1详解】 由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500， 则w＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000； 【小问2详解】 w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当x＝35时，w最大＝2250， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； 【小问3详解】 略 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了列二次函数关系式，二次函数的图象和性质，求二次函数的极值等，根据等量关系列出关系式是解题的关键． 23. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）0 【解析】 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【小问1详解】 依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． 【小问3详解】 ∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 24. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米，的长为2米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 25. 已知抛物线 （1）当时，请判断点是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点、，若该抛物线与线段只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 【答案】（1）不在 （2） （3）x顶点或x顶点或x顶点 【解析】 【分析】（1）先求出函数关系式，再把代入进行判断即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可； （3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 当时，， 所以，点不在该抛物线上； 【小问2详解】 解： ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴纵坐标为， 令， ∵， ∴抛物线有最高点， ∴当时，有最大值， 将代入顶点坐标得； 【小问3详解】 解：∵点、， 设直线EF的解析式为， 把点E，点F的坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， ， 整理，得：， 解得， 则交点为：和， 而在线段上， ∴若该抛物线与线段只有一个交点，则不在线段上， 或与重合， ∴或或（此时）， ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点或x顶点=或x顶点=． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $