九年级数学上学期第二次月考卷-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：浙教版九年级上册第一章~第四章+九年级下册第一章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么等于（     ） A． B． C． D． 3．二次函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转50°，得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（    ）    A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表： x … 0 1 5 … y … 7 0 7 … 则该二次函数图像的对称轴是 ． 12．已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 13．河堤横断面如图所示，迎水坡的坡比为，则 ．    14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则管中水的最大深度（即的中点到弦的距离）为 ． 15．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    16．如图，在边长为4的正方形中，E在边上，连接AE，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，连接，若，则的长是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．求下列各式的值： (1) (2) 18．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)直接写出的面积为______； (3)将绕点D顺时针旋转后，其对应点分别为，则点D的坐标为______． 19．小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着（餐厅）、（客厅）、（走廊）三盏电灯．在正常情况下，小明按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，按下两个开关，则打开对应的两盏电灯，按下三个开关，则打开对应的三盏电灯．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．    (1)若小明任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是______． (2)若任意按下其中两个开关，则正好客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？ 20．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 21．如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知．    (1)求证：； (2)若，．求的长． 22． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 23．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 24．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标； (3)点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：浙教版九年级上册第一章~第四章+九年级下册第一章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解决问题的关键．根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．如果，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，利用等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， 则令，， ∴； 故选：D． 3．二次函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：A． 4．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不符合题意； B、∵，故符合题意； C、∵，故不符合题意； D、∵，故不符合题意． 故选：B． 5．如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据求概率，根据概概率等于所求情况数与总情况数之比，即可解答． 【详解】解：一共有（个）， 红球有2个， ∴摸到红球的概率， 故选：B． 7．如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转50°，得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据旋转的性质，求得，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：C． 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 9．如图，在矩形中，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故选：B． 10．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（    ）    A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断CD． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，即，选项A不正确； 抛物线的对称轴是直线， ，选项B不正确； 点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当抛物线与轴交点为时，，选项C不正确； 关于直线的对称点坐标为， 当时，随的增大而减小，， ，选项D正确； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表： x … 0 1 5 … y … 7 0 7 … 则该二次函数图像的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据当时，所对应的有两个，分别是和5，故对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：从二次函数的变量x与变量y的部分对应值的表格得出： 当时，所对应的有两个，分别是和5， ∵二次函数是个轴对称图形， ∴点和关于二次函数的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 12．已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据点P是线段的黄金分割点（），得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．河堤横断面如图所示，迎水坡的坡比为，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意理解坡度的定义是解此题的关键．根据坡比等于竖直高度与水平长度的比解答即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， 故答案为：． 14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则管中水的最大深度（即的中点到弦的距离）为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，交于，则，由勾股定理得，，根据管中水的最大深度为，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，交于，    ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴管中水的最大深度（即的中点到弦的距离）为， 故答案为：． 15．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 16．如图，在边长为4的正方形中，E在边上，连接AE，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，连接，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，过作于，交延长线于，由旋转和正方形可证明，得到，，再证明四边形是正方形， 设，则，，最后证明，得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于，交延长线于，则， ∵边长为4的正方形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． （1）直接把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （1）直接把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)直接写出的面积为______； (3)将绕点D顺时针旋转后，其对应点分别为，则点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的变换，点在平面直角坐标系中的变换，掌握旋转的性质，“割补法”求面积是解题的关键． （1）将三点绕点O旋转180度得到，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，，根据旋转的性质得，点D为的垂直平分线与的垂直平分线的交点，即可求解． 【详解】（1）解：即为所作： （2）解： 故答案为：； （3）解：如图， 连接，，根据旋转的性质得，点D为的垂直平分线与的垂直平分线的交点， ∴， 故答案为：． 19．小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着（餐厅）、（客厅）、（走廊）三盏电灯．在正常情况下，小明按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，按下两个开关，则打开对应的两盏电灯，按下三个开关，则打开对应的三盏电灯．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．    (1)若小明任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是______． (2)若任意按下其中两个开关，则正好客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； （2）解：画树状图得：    共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 20．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 21．如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知．    (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质性质． （1）首先由得到，然后结合即可证明出； （2）首先求出得到，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 22． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 23．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可； （2）①过点作于点，证明得，设，在中，则勾股定理列出的方程解答便可； ②延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，求出便是的最小周长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上， ，， ， ， 四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过作于点，如图1， 则， 四边形是“直等补”四边形，，，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， 解得，，或（舍， ； ②如图2，延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，过作，与的延长线交于点． 则，， ， ，， 的周长的值最小， 四边形是“直等补”四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定、的位置． 24．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标； (3)点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)4， (3)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由抛物线与x轴交于点和点，设交点式计算即可求解； （2）过点作轴交于点，由面积，即可求解； （3）当点在上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在下方时，由，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点， 当时，， ∴， 由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， ∴面积有最大值， 当时，面积的最大值为4，此时点D的坐标为； （3）解：存在． 如图2， 当点在上方时， ， 平行于轴， 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在下方时， 设交轴于点，设点， ， ， ， 解得：， 即点， 由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立，得到 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：， 综上，点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$