湖南省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习图形的相似部分重难点专项练习

湖南省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 图形的相似部分重难点专项练习 本资料以2023年湖南省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）是成比例线段，其中，则线段的长可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）已知，一个三角形的三边长分别为4、5、6，如果它与另一个三角形相似，那么另一个三角形的三边长可能是（    ） A．2、3、4 B．8、10、12 C．12、15、20 D．15、20、30 3．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是2，则的面积是（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是（    ） A．16 B．15 C．9 D．6 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则 ．(    ) A．4 B．8 C．12 D．18 8．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在中，点D为上的点，点F是的中点，连接并延长交于点E．已知，则（） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．②③ 10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（    ） ① ② ③ ④）若，，则． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）已知，若，则 ． 12．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）若，，，面积为10，则的面积为 ． 13．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）在平面直角坐标系中，已知△OEF的顶点分别为，，，若与是以原点为位似中心，且点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 14．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 .（结果保留根号）    15．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为 尺． 16．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 17．（23-24九年级上·湖南永州·期末）若两个相似多边形的周长分别为和，若较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为 ． 18．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为 ． 19．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，将先向左平移 4 个单位，得到，再以原点 O 为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点 A 的对应点的坐标是 ．    20．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，分别是的边上的点，，且分别为边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是 ．    ①；②；③；④ 三、解答题 21．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将作下列变化，请画出相应的图形． (1)向上平移个单位； (2)以点为位似中心，相似比为． 22．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． (1)求证： (2)若，，，求的长． 23．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 24．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图, ,. 求证： (1)； (2)． 25．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 26．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 27．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的度数； (2)如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标； (3)点为线段上任意一点（不与、重合），经过三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标． 28．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，矩形中，为上一点，，动点F从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动．连，过E作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）． (1)当时，试求出的长． (2)当F在线段上时，设面积为周长为W． ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，W有最小值． (3)当与相似时，求t的值． 29．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）【特例感知】如图1，在中，，，平分，交于点．求证：． 【性质探究】如图2，在中，平分交于点．求证：． 【应用迁移】如图3，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，，点在的延长线上，当为何值时，与相似． 30．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； (2)如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； (3)如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了比例线段的定义．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：， 则． 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质找到对应边成比例的三角形即可． 【详解】解∵两个三角形相似的三边对应成比例， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且与的位似比是， ， 的面积是2， ∴ ∴的面积是：8． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是由相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A、B中的条件，又，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； C、，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； D、，两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：直线，，，， ， ， ． 故选：C． 6．C 【分析】此题主要考查了以原点为中心的位似图形．根据以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， 故点的坐标是，则点的坐标是， 故选：C． 7．D 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质求得的面积． 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题关键是正确做出辅助线．过点D作交于点，可得结合点是的中点，可得由即可求解． 【详解】如图，过点D作交于点， ， 点是的中点， 即 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题根据条件首先得到，利用相似的性质得到，从而，且，从而进一步证明． 【详解】在中，， ∴，故①错误， 在直角三角形和中，， ∴，故②正确； ∴，， ∴，， 所以，故③正确； 而和中，直角边的比明显不相等，所以三角形不能相似，故④错误； 正确的的有：②③． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查反比例函数图像与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合思想是解答的关键．根据相关知识逐个分析即可作出判断． 【详解】解：设，则，， ①∵点D、E在反比例函数的图像上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，， ∴，， ∴，则，故③正确； ④由得 ， 则，又， ∴（负值舍去），故④正确， 综上，正确的结论为①②③④， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解本题的关键． 根据比例的性质解答即可． 【详解】解： 12．40 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又面积为10， ∴的面积为， 故答案为：40． 13． 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先根据点的坐标、点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算是解决问题的关键， 【详解】解：∵与以原点为位似中心，点的坐标为，点的对应点E'的坐标是， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为（，即， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割比例直接求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系较长线段的平方等于较短边乘以整条线段． 【详解】∵为的黄金分割点()， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据题意可知，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深． 【详解】解：依题意有， ∴， 即， 解得， ∴（尺）． 故答案为：． 16．24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是． 故答案为：24． 17．18 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：若两个相似多边形的周长分别为和， 两个相似多边形的周长比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的面积比是， 较小多边形的面积为， ∴较大多边形的面积为． 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查图形与坐标及位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据相似比为且在同一象限内可进行求解． 【详解】解：由将先向左平移 4 个单位，得到，可知：， ∵作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内， ∴，即； 故答案为． 20．① 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．根据，得到，即可得到，故①正确；根据，得到，即可得到∴，故②错误；根据，得到，故③错误；根据，得到，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵分别为边上靠近点的三等分点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④错误． 故答案为：①． 21．(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查图形的平移，画位似图形，掌握图形平移的方法，位似图形的画法上解题的关键． （1）根据图形平移的方法即可求解； （2）根据位似图形的做法，延长，使得，即即可求解． 【详解】（1）解：向上平移4个单位，作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：以点为位似中线，相似比为，作图如下， ∵， ∴，即相似比为2， ∴即为所求图形． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及等角的补角相等， 根据题意得和，进一步可得即可； 由得，结合平行四边形的性质可得即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，解得． 23．(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由四边形是平行四边形易得，再结合即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质可得且，再利用相似三角形的性质求得的长，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又， ． （2）解：四边形是平行四边形， 且， ∵， ，即，解得：， 又且， ， ， 在中，由勾股定理可得． 24．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； （2）证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 25．(1) (2)秒或秒 (3)当为或秒钟，使与相似． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． （1）用含的代数式表示线段和，代入求得、，利用三角形的面积计算公式求得答案； （2）由（1）得到，，根据三角形的面积公式得出方程解答即可； （3）要使与相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， ∴， 当时，，，的面积； （2）解：由题意得， 即， 答：当为或秒，使的面积为． （3） 解：设经过秒钟，使与相似， ， 第一种情况：当时，与相似，即， 解得：， 第二种情况：当时，与相似，即， 解得：． 答：当为或秒钟，使与相似． 26．(1) (2)64，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式是解题的关键； （1）分别用t表示出和，则按求解即可； （2） 结合（1）的结论，在中，，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； (3)分和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）四边形是矩形，，， ，，， 点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动， ，，， ∵当时，是等腰直角三角形， ∴即， ∴当时，△AQP是等腰直角三角形； （2）∵在中，，边上的高，， 在中，，边上的高， ， ， 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． （3）根据题意，可分为两种情况， 在矩形ABCD中： ①当时， ， ， 解得， ②当时， ， ， 解得， 所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似． 27．(1)； (2)或或； (3)面积，的坐标． 【分析】（）过作轴于点，则，由得，当时，，当时，，得，则，同理，从而求解； （）由勾股定理得，，设，则，根据相似三角形的性质分三种情况讨论即可； （）设经过三点的圆的圆心为，则为直径，当轴时，面积最大，即可求解； 本题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作轴于点，则， 由得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∵的坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∴； （2）如图，由（）得，点，，， 由勾股定理得， ， 设，则， 当， ∴，即， ∴， 解得：，， ∴, ∴， 同理， 当， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， 综上可知：或或； （3）如图，设经过三点的圆的圆心为，由（）得， ∴为直径， 由面积为，要使面积最大则， 当轴时，面积最大， ∴， ∵， ∴， ∴的坐标，面积． 28．(1) (2)  ② (3)或 或 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可； （2）①利用三角形面积公式计算即可；②当最小时最小，作点关于的对称点，连接，此时最小； （3）由推出，推出 ，分三种情形当点在点的左边时，即时， ，当时，当，当点在点的右边时，即时, 若时，分别构建方程求解即可； 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵， 即: ， ， ∵， ∴， 又∵是矩形， ∴， ∴， ，即:， 解得：， 当，此时 ； （2） 的面积的面积， 即； ②如图， ， ， 根据勾股定理得， ，是定值， 所以当最小时最小，作点关于的对称点 连接，此时最小， 在中, ， 根据勾股定理得， ， ∴的最小值为； （3）∵， ∴， 又∵， ，即 ， ， 当点在点的左边时， 即时, ， 此时, 当时，，即 ， 解得：； 此时，当时，有，即 ， 解得：； 当点在点的右边时，即时, ， 此时, 当时， 即 ，解得：； 综上， 或 或 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质、掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 29．（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）先证明，再证明，得，从而证明结论； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再证明，即可得到结论； （3）由，求出的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出，由，求出，，，再分和两种情况，由相似三角形的性质求出． 【详解】解：（1）证明：，， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作，交的延长线于点， ， ，， ， 平分， ， ， ； （3）由（2）得， ， ， ， ， 在中， ，， ， ， ， 在中， ，， ， ，， ， ， ①若， ，即， 解得； ②若， ，即， 解得； 综上所述，的值为或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等面积法，相似三角形的存在性问题，掌握相似三角形的判定和性质，分类讨论，图形结合分析是解题的关键． 30．(1)，； (2)理由见解析； (3)线段的长为或． 【分析】（）根据“等对角四边形”的定义即可求解； （）由为斜边边上的中线得，则，由，，得，又，从而求解； （）根据“等对角四边形”的定义分若，，若，，两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵四边形是“等对角四边形”，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）在中 ， ∵为斜边边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴ 四边形是“等对角四边形”； （3）若，，如图，    ∵平分， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴； 若，，如图，    在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，线段的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$