湖南省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习锐角三角函数部分重难点专项练习

湖南省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 锐角三角函数部分重难点专项练习 本资料以2023年湖南省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，则 (  ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 4．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）在中，，，，那么的正弦值是（ ） A． B．7 C． D． 5．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，坡度，小明从山坡脚下点A上坡走了50米到达点B，则他升高的高度为（    ） A．25米 B．米 C．米 D．米 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（    ） A．米 B．米 C．15米 D．10米 7．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）对于任意锐角和，下列说法中，正确的有（    ） （1），；（2）如果，那么； （3）如果，那么；（4）如果，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在菱形中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，点是的三等分点，，垂足为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是（    ） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知中，均为锐角，且满足，则 ． 12．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）已知，锐角的正切值是3，则它的余弦值是 ． 13．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在正方形网格中， ． 14．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）关于x的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，则 ． 15．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）在中， ，，，则 ． 16．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，菱形的对角线交于点O，  过点D作于点H，连接．若，菱形的面积为24，则 ． 17．（23-24九年级上·湖南永州·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现．在计算时，如图，，，，设，则，，，所以．类比这种方法，计算的值为 ． 18．（23-24九年级上·湖南永州·期末）定义：在直角三角形中，斜边与锐角的对边的比叫做角的余割，记作，即，在直角三角形中，，则 ． 19．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 20．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数中最小的数. 例如：， 结合上述材料，可求得 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·湖南常德·期末）计算： 22．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）在坐标平面内，A点的坐标为，，，如图，求： (1)B点的坐标； (2)求． 23．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，，交于点，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 24．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为和，若此观测点离地面的高度为50米，A，B两点在的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）． 25．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）2001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体系斜拉桥（如图1），图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索、与桥面所成角度分别为37°、45°，若米，求立柱的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，结果精确到1米） 26．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角，为节省家里空间，小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高，垃圾桶高，桶盖直径，当垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？（参考数据：，，．） 27．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，旗杆垂直地面，小阳同学在广场上点A处测得旗杆顶部D的仰角是，然后在水平地面上向旗杆前进了5米到达点B处，测得旗杆顶部D的仰角是，已知小阳的观测高度米，请你帮小阳解决以下问题： (1)求的度数； (2)如果设米，求的值（结果用含x的代数式表示）； (3)求旗杆的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，） 28．（23-24九年级上·湖南常德·期末）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，如图，对称轴垂直于地面的支杆所在直线，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得点A、D、E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，． （参考数据：，） (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度．（结果精确到0.1m）． 29．（23-24九年级上·湖南永州·期末）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．      (1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示； (2)为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为，在C点处测得碑顶A的仰角为，已知，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高．（，，） 30．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，射线在第一象限内，射线在第二象限内，，射线与函数交于点A，射线与函数交于点B，连接，根据下列条件解答问题： (1)如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，求证：； (2)如果点A的坐标是，求点B的坐标； (3)当在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，的度数是否保持不变？如果不变，求的值？如果变化，请说明理由． 参考答案： 1．B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答． 【详解】 由题意得：． 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 4．C 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，熟知在直角三角形一个角的正弦值等于该角的对边比上斜边是解题的关键．首先根据勾股定理求出，然后利用正弦值的概念求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选C． 5．A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据坡度与坡角的关系、特殊角的三角函数值求出，再根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：过点作水平面于点， 斜坡的坡度， ， ， （米）， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据坡比为可得，据此可得答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵米， ∴米， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了三角函数的性质．理解锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；余弦值等于它的邻边与斜边的比值；正切值等于它的对边与邻边的比值.了解锐角三角函数的变化规律：正弦值和正切值随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．即可解题． 【详解】解：（1）锐角的正弦和余弦的函数值大于0而小于1，说法正确； （2）锐角的余弦函数值随着锐角度数的增大而减小，原说法不正确； （3）锐角的正弦函数值随着锐角度数的增大而增大，反之也对，说法正确； （4）两个互余的锐角的正切值相乘得1，反之也对，说法正确， 共3个说法正确． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查菱形的性质，锐角三角形函数，勾股定理的应用，解题的关键是设，根据，解出，根据菱形的性质，勾股定理，则，求出；再根据，即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了求一个角的正切值，证得可推出、；设，则，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵点是的三等分点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵， ∴ ∴ 故选：C 10．B 【分析】由正方形的性质得到，证明， 得到，再证明，得到，故①正确；证明，得到．由于，则，进而得到，故②错误；证明， 推出．进而证明，故③正确；求出，由相似三角形的性质得到，则．证明，得到，即，故④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11． 【分析】本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值的非负数． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意设锐角的邻边为a，则对边为，求出斜边长，然后根据余弦等于邻边与斜边的比计算是解题的关键． 【详解】解：设锐角的邻边为a，则对边为， ∴斜边为， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键． 连接，根据勾股定理可求出，从而得出，则根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由图可知， ， ∴为直角三角形，且， ， 故答案为：． 14．/30度 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵是锐角三角形的一个内角， ∴． 故答案为：． 15．24 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 先根据三角函数的定义表示出，设，，利用勾股定理列出方程，解方程确定与的长，即可确定三角形的面积． 【详解】解：在中，， ， 设，， 根据勾股定理得， ， ， ， 解得：， ，， 则， 故答案为：24． 16． 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及求锐角正弦值，由菱形的性质可求出，，再由勾股定理求出，再求出，由勾股定理求出，证明，得，所以，，从而得出结论． 【详解】解：在菱形中，， ∵ ∴ ∴ 在中， 又 ∴， 在中， ∵是的中点， ∴ ∴ ∴, 故答案为：． 17．/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角．在中，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：在中，，延长使，连接，得， 设，则， ∴， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握余割的概念并灵活应用． 【详解】解：如下图，在中，，设， ， 在中，，设， ， ， 故答案为：．    19． / 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ①由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求出的长，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长；②如图：过点A作，交的延长线于点H，利用平角定义可求出∠，从而可得是等腰直角三角形，则，先求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后证明，从而利用平行线的性质可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵中，， ∴； 如图：过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 20． 【分析】本题考查了新定义题型，本质上是特殊角的三角函数值及比较实数大小，掌握特殊角得三角函数值是解决问题的关键． 根据定义，计算三角函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 21．3 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角形函数值，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 22．(1)B点的坐标为 (2) 【分析】此题考查了锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造直角三角形． （1）过点B作于点C，根据，求出，根据勾股定理求出，则点B即可求； （2）由（1）知，，根据，求出，在中，根据即可求解． 【详解】（1）解：作， ∵A点的坐标为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴B点的坐标为； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， 在中， ∴． 23．(1)见详解 (2)36 【分析】本题考查正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定． （1）根据正方形得，根据同角的余角相等得即可； （2）由（1）得，由得，再求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）， ， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 24． 【分析】在和中分别求出，的长度，然后根据即可求出的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角三角形． 【详解】解：由题意得，，， ， ，， ， 在中，， 米， 米， （米）． 答：，之间的距离为米． 25．立柱的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 在中，利用的正切值表示出，然后表示出，，列出方程即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点，在中，，设立柱米， ∴，即米， 又∵在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得：． 答：立柱的高度约为米． 26．桶盖完全打开没有碰到桌子下沿，理由见解析． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形， 熟练掌握矩形的判定和性质，解直角三角形． 过点C作分别交，于点F、H，根据矩形性质得到，根据直角三角形性质得到，根据求出值看是否不大于55即得． 【详解】解：如图所示，过点C作分别交，于点F、H，则四边形是矩形， ， 在中，，，， ， ， ． ∴桶盖完全打开没有碰到桌子下沿． 27．(1) (2) (3)旗杆的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质．熟练掌握解直角三角形的应用，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）设，则，则，，计算求解即可； （3）由题意知，，，则，即，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∴的度数是． （2）解：设，则， ∵， ∴（米）， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴（米） ∴旗杆的高度约为米． 28．(1)遮阳宽度约为3.6m (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角函数可进行求解； （2）设点E下降到点，过点E作于点M，过点作于点N，根据题意易得，，，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：是轴对称图形， ，， ，， （m）， ， 答：遮阳宽度约为3.6m． （2）解：如图，设点E下降到点，过点E作于点M，过点作于点N， 则四边形和四边形都是矩形， ，，，， ，即， 当时，， 当时，，则． 29．(1) (2) 【分析】本题考查余角关系，三角函数实际应用． （1）根据题意过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交，再利用互余关系即可得到本题答案； （2）根据题意先求出，再利用三角函数列出等式正确计算即为本题答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意知 在中，，则，即 ∴； （2）解：由题意可得：， 在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，， 由， 即， 解得：， 检验：把代入中，，所以是方程的解， ∴烈士纪念碑的高为． 30．(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】（1）由，可得，进而可证； （2）设，，则，，由题意知，，由，可得，即，整理得，，求满足要求的值，然后可求点B的坐标； （3）设，，，，则，，，，由，可得，即，可求满足要求的，则，，可知的度数保持不变，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设，，则，， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴，即，整理得， 解得，或（舍去）， ∴； （3）解：设，，，，则，，，， ∵， ∴，即， 整理得，， 解得，或（舍去）， ∴，即，， ∴的度数保持不变， 由勾股定理得，， ∴， ∴的度数保持不变，的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$