湖南省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习二次函数部分重难点专项练习

湖南省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 二次函数部分重难点专项练习 本资料以2023年湖南省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（  ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x增大而减小 3．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）函数与在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根和满足，小华的上述方法体现的数学思想是（    ） A．公理化 B．分类讨论 C．数形结合 D．由特殊到一般 6．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于点，其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C．关于x的方程有两个不等的实数根 D．当时， 8．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）二次函数的图象如图所示，图像与轴的一个交点是，对称轴是直线，下列结论正确的为（　　）    ①；②；③；④)（为实数） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 10．（23-24九年级上·湖南常德·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点.下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤对任意实数，都有（其中）其中正确的结论有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 12．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的表达式为 ． 13．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 14．（23-24九年级上·湖南常德·期末）已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是 15．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，且对称轴为，点B 坐标为．则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的是 16．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若二次函数（a为常数）与x轴没有交点，则a的取值范围是 ． 17．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是 ．（填序号） 18．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是 ． 19．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 20．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与x轴的交点为和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是．其中正确的结论是 ．（填写序号） 三、解答题 21．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 22．（23-24九年级上·湖南永州·期末）定义：若x，y满足，且（t为常数），则称点为“和谐点”． (1)请直接判断点是否为“和谐点”； (2)是“和谐点”，求m值； (3)若双曲线的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围． 23．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 24．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交轴正半轴于点，连接，． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点，． ①若，求抛物线表达式． ②若与相似，则的值为 ．（请直接写出答案） 25．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 26．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）定义：若直线：与函数交于、两点，将叫做函数在直线上的弦长，且，其中叫做函数在直线上的截距． (1)求出在轴上的截距； (2)若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于，求直线的解析式； (3)若二次函数与反比例函数在第一象限交于点，在第三象限交于、两点． 若、两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数的值； 若，求该二次函数在直线上的截距的取值范围． 27．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； (2)若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 28．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 29．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点． (1)求，两点的坐标． (2)求抛物线的解析式，点，点的坐标，及抛物线的对称轴； (3)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 30．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． (1)若关于x的函数是“T函数”，求m的值； (2)若点与点是关于x的“T函数”，的图象上的一对“T点”，求r，s，t的值； (3)若关于x的“T函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，，且m，n是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可 【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4．D 【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数的图象与各项系数的关系，题目有一定的综合性． 结合二次函数与一次函数的性质，当，时所经过的象限和开口方向，可以得出． 【详解】解：与 ∴二次函数开口向下，一次函数经过一，二，四象限． 故选：D． 5．C 【分析】考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想． 【详解】根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想． 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象向左平移1个单位， 再向下平移2个单位后得到的二次函数为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象逐一判断即可． 【详解】解：A、抛物线开口向下，故，说法正确，不合题意； B、∵抛物线经过点， ∴当时， 观察图象可得，时，， ∴说法错误，符合题意． C、∵抛物线的图象与x轴有两个交点， ∴， ∴关于x的方程有两个不等的实数根， 说法正确，不合题意； D、∵抛物线图象关于直线对称，与x轴交于点， ∴与x轴的；另一个交点为， ∴当时，， 说法正确，不合题意； 故选：B． 8．A 【分析】本题考查二次函数的图象与反比例函数的图象的综合，关键是熟知两个函数的图象与系数的关系．先利用反比例函数图象得到，再根据二次函数图象与系数关系即可得出答案． 【详解】解：∵函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴函数的图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，又对称轴为y轴， 故选项A中图象符合题意，选项B、C、D中图象不符合题意， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右侧，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．由抛物线开口方向、对称轴位置，抛物线与轴的交点，即可判断①；由时，0，即可判断②；由对称轴对称，代入，即可判断③；由时，有最小值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； 当时，， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，从图象中获取正确的信息是解题的关键． 图象可知，，，当时，随着的增大而增大，则，即，可判断①的正误；由轴对称的性质可知，图象经过，当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，可知，可判断④的正误；由题意知，当时，，即，进而可得，可判断⑤的正误． 【详解】解：由图象可知，，，当时，随着的增大而增大， ∴， ∴，①错误，故不符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，图象经过， 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③正确，故符合要求； ∵关于对称轴对称的点坐标为， ∴，④错误，故不符合要求； 由题意知，当时，， ∴， ∴，即，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 11． 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，掌握求抛物线顶点坐标的方法是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握左加右减，上加下减是解题关键．根据平移的规律即可解答. 【详解】解：的函数图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 平移后的图象函数表达式为， 即， 故答案为：． 13．直线 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象过点利，可以求得该函数的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象过点利， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为直线． 故答案为：直线． 14．/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为：． 15．①②/②① 【分析】此题考查二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据对称轴为，得到，即可判断①；根据图象和当时的函数值即可判断②；分别判断a、b、c的符号，即可判断③；根据对称轴为，点B坐标为，得到A点坐标为．根据图象即可判断④． 【详解】解：∵对称轴为， ∴， ∴， ∴．故结论①正确，符合题意． ∵点B坐标为， ∴当时，， 故结论②正确，符合题意． ∵图象开口向下， ∴． ∵， ∴， ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴． ∴，故结论③错误，不符合题意． ∵对称轴为，点B坐标为， ∴A点坐标为． ∴当时或．故结论④错误，不符合题意． 综上可知，正确的是①②， 故答案为：①②． 16．/ 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，抛物线与x轴交点个数由决定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点． 根据判别式，函数图像与x轴没有交点，则，计算求解即可． 【详解】解：二次函数（a为常数）与x轴没有交点， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 17．①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键； 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】由抛物线图象可知：抛物线开口往下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， 故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等于两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 18． 【分析】根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点是上一点，可列关于的一元一次不等式求出范围即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为4，，， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵是上一点， ∴，即：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，勾股定理，利用三角形面积公式列函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 19．②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断、、的值即可判断①；然后根据对称轴为得到，然后代入当时即可判断②；利用数形结合即可判断③；由时抛物线有最小值，即可得到，然后得到结论判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴，即， ∵当时，， ∴，故②正确； 借助图象可得关于x的不等式的解集为或，故③错误； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， ∴，故④正确； 正确的是②④， 故答案为：②④． 20．①②③④ 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数的图象与性质，理解题中新定义，掌握对应二次函数的性质是解答的关键．根据所给图象，结合二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：①∵点和都满足函数， ∴图象与x轴的交点为和，故①正确； ②从图象可知，该函数图象具有对称性，由图象与x轴的交点为和， ∴对称轴为直线，故②正确； ③根据图象可知，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④由图象可知，该函数的最低点就是与x轴的两个交点，故当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可知，该函数没有最大值，故⑤错误， 综上，正确结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 21．(1)， (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用． （1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值； （2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）首先求出的直线解析式以及解析式，再利用等腰三角形的性质得出当时，当时，点P在线段的中垂线上，当时分别求出x的值即可 【详解】（1）解：， ， 解得，，， ∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； ∵直线过点， ∴直线的解析式为， ∵为等腰直角三角形， ∴或或， 设， ①当时，， 解得，，（舍去）， ∴； ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴； ③当时，可得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为 22．(1)点是“和谐点” (2) (3)的取值范围为 【分析】（1）由题意得，，由，可得点是“和谐点”； （2）由题意知，，即，计算求出满足要求的解即可； （3）设点为双曲线（）上的“和谐点”，则，，（），即，可得，由，可得，且，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， 点是“和谐点”； （2）解：∵是“和谐点”， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去） ∴； （3）解：设点为双曲线（）上的“和谐点”， ∴，，（）， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵（）， ∴，且， ∵， ∴图象开口向下，当时，， 当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）把、两点的坐标代入求出和的值即可求出抛物线的解析式； （2）先得出点的坐标为，再结合三角形面积公式，以为底，到的距离为，代入面积公式计算，即可作答． （3）易得关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为点M，连接，运用待定系数法解的解析式为，令，则，即可作答． 此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 当时，， 故点的坐标为， ，两点的纵坐标相同， 轴， 点到的距离为， ． （3）解：∵，，， ∴关于对称轴对称， ∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接， 此时周长最小， ∵， ， 设的解析式为， 把和分别代入， 得出， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴． 24．(1)； (2)①；② 【分析】（1）对于抛物线，令，即可确定点坐标；利用待定系数法求解直线的表达式即可； （2）①由的关系，建立型模型相似，求得点坐标代入解析式可得答案；②分与两种情况，结合相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线，令， 可得， 解得，， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为； 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）①过点作轴于点，过点作于点，交轴于点，如下图， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 将点代入抛物线， 可得， ∴抛物线的表达式为； ②如下图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， 若， 则有，， 即，解得，， ∵， ∴， 即， 将代入直线， 可得，解得， ∴， ∴将点代入抛物线， 可得，解得； 若， 则有，， 即，解得，， ∴， ∴不成立，不符合题意． 综上所述，的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 25．(1)； (2)有最大值为8，； (3)存在，P点的坐标为或或． 【分析】（1）将，坐标分别代入抛物线解析式得方程组，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设，则，得出，再求出，再求其最大值即可； （3）先求出对称轴为直线，得，设P点的坐标为，再根据平行四边形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将，代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴，      设直线的解析式为， 将B、C点坐标代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点H，则， ∴ ， ． ∴ ∵是关于x的二次函数，， ∴当时，有最大值为8， 此时； （3）解：由，可知对称轴为直线， ∴， ∵，， 设P点的坐标为， ①当为对角线时，，， 解得，， ∴P点的坐标为； ②当为对角线时，      ，， 解得，， ∴P点的坐标为；     ③当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； 综上，P点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，正确掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积和平行四边形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键． 26．(1)； (2)； (3)或；． 【分析】（）令，解得或，即可求解； （）联立直线和抛物线的表达式得，即则 ，，由弦长公式即可求解； （）联立两个函数表达式并整理得两个函数在第三象限交于、两点，则即可求解； 由知，由截距的公式即可求解； 本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、 一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）令， 解得：或， 则截距； （2）设直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：，即， 则，， 则弦长 解得：； 则直线的表达式为：； （3）联立两个函数表达式得：， 整理得：， ∵两个函数在第三象限交于、两点，则， 若、两点的横纵坐标均为整数，则 或，则，解得：， 或，则，解得：， 或，则，解得：（舍去）， 或，则，解得：（舍去）， 综上可知：或； 由知，，， 设二次函数在直线上的截距 ， ∵， 则． 27．(1)； (2)①，；②当时，销售总利润达到最大，最大总利润． 【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量,即可得出关于y的二次函数； ①令，解之取其正值即可； ②利用二次函数的最值求解即可. 【详解】解：（1）； （2）①由题意可得：， 令，即 ， 解得，. ∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；   ②， ∴当时，取得最大总利润， 此时 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键. 28．(1)； (2)存在，点P的坐标为或或； (3)，． 【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在， 理由：， ∴抛物线对称轴为直线， ，且， ， ∵点P在对称轴上， ∴可设， ， 当时，则有， 解得，此时P点坐标为或； 当PC=CD时，则有， 解得（与D重合，舍去）或， 此时P点坐标为， 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或； （3）当时，即， 解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点E是线段上的一个动点， ∴可设，则， ， ， ∴当时，S△CBF有最大值，最大值为， 此时， ， ∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 29．(1)， (2)，，， (3)或 【分析】根据一次函数图像性质即可求解； 先用待定系数法求出二次函数的解析式，对二次函数的一般形式进行变形，再根据二次函数的图像与性质即可求解； 根据题意可知，若存在直线与抛物线的交点则有，整理后根据根与系数的关系得到，，代入即可求得值． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于、两点， ，． （2）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线解析式为， 当时，， ， 解得或， ， ， ，对称轴． （3）解：值存在， 依题得：， ， ，， 代入可得， ， 解得或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与一元二次方程综合、一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． 30．(1)； (2)，，； (3)直线l必过定点． 【分析】本题考查了新定义，关于y轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）根据“T函数”的定义可知，的对称轴是y轴，据此求解即可； （2）先根据关于y轴对称的点坐标变换规律，可得r、s的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入“T函数”即可得； （3）由过原点得，再根据“T函数”的定义可得，从而可得，与直线联立，可得，，根据可得从而进而可求出直线l必过定点． 【详解】（1）依题意得：，且， 解得； （2）∵点与点是一对“T点”， ∴A，B关于y轴对称， ∴，， ∴A的坐标为， 把代入是关于x的“T函数”中，得：； （3）∵过原点， ∴， ∵是“T函数”， ∴， ∴， 联立直线l和抛物线得：，即：， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 当时，， ∴直线l必过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$