重庆育才中学教育集团2024—2025学年上学期第四次自主作业 数学试卷

重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； ③相等的圆心角所对的弧相等；④若两个圆有公共点，则这两个圆相交． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 时，函数有最小值 D. 时，随的增大而减小 9. 如图，在正方形中，对角线与交于点，在中，，点、分别在边、上，点在线段上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于多项式：，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差相加求和，并算出结果，称之为“差之和操作” 例如：，； 给出下列说法： ①只存在一种“差之和操作”，使其结果为单项式； ②至少存在一种“差之和操作”，使其结果为； ③所有的“差之和操作”只共有4种不同的结果． 以上说法中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每题4分，共32分）将答案书写在答题卡对应位置上． 11. ______． 12. 若点与点关于原点对称，则______． 13. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 14. 湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是________． 15. 如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是________________． 16. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 17. 如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点，连接交于点，若，，则的长度为______；的长度为_______． 18. 对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则___________；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 每年4月中上旬的体育考试，是初三同学们决胜中考的第一关．为了提高同学们的身体素质，某校九年级的同学们加强了“仰卧起坐”的训练，为了了解同学们的训练情况，从初三1班和2班中各随机抽取40名同学进行1分钟“仰卧起坐”测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟“仰卧起坐”完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：）下面给出了部分信息： ①1班1分钟“仰卧起坐”个数的扇形统计图； ②2班1分钟“仰卧起坐”个数频数分布统计表 分组 A B C D 频数 8 15 a 5 ③1班和2班1分钟“仰卧起坐”个数的平均数、中位数、众数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 1班 49 48 48 15% 2班 49 b 49 20% ④2班B组数据从高到低排列，排在最后的8个数据分别是：54，54，54，53，52，52，51，51． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有2400名学生，请估计九年级所有学生1分钟“仰卧起坐”个数在45个以下的学生有多少人？ 21. 学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． 22. 南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史—公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批每的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个挂件． （1）求第二批每个挂件的进价． （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得1350元的利润？ 23. 如图，在中，，，，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y， （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若，结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 24. 六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图．入口在点，露营基地在点．经勘测，入口在点的正北方向，点在入口的南偏东方向800处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向200处，且在点的正南方向．（参考数据） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪从入口处进入前往露营基地点．小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？ 25. 已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，点R在直线上，当取最大值时，求此时点的坐标及的最大值． （3）如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线上是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 26. 如图，菱形中，，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点． （1）如图1，若，连接、，求的长度； （2）如图2，若，点、点分别为、延长线上的一点，连接、，且的延长线交于点，连接，且平分，试探究、之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，点是线段的中点，是直线上的一个动点，将沿直线折叠，得到，连接，求的最大值． 重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题：（本大题8个小题，每题4分，共32分）将答案书写在答题卡对应位置上． 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】6 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 4 【18题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）12；52；20 （2） 解：1班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练， ∵从中位数看，1班中位数小于2班， ∴1班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练．（理由不唯一） （3）390人 【21题答案】 【答案】（1） 解：如图，，即为所求； （2），，； 【22题答案】 【答案】（1）40元 （2）55元 【23题答案】 【答案】（1） （2） 描点、连线，函数图象如下图所示：     ①当时，y随x增大而减小；（答案不唯一） ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值8，当时，函数取得最小值0．（答案不唯一） （3） 【24题答案】 【答案】（1）的长度为米 （2）小聪选择塑胶步道所用时间较少 【25题答案】 【答案】（1） （2）， （3）， 【26题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $