湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

武汉市常青联合体2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十七中学 命题教师： 审题教师： 考试时间：2024年11月14日14:00-16:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，然后结合倾斜角与斜率关系即可求解． 【详解】由题意得直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 由，得， 故选：B． 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆列出不等式组求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：D. 3．数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答. 【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9， 因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个， 其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个， 所以所求概率为． 故选：A 4．设直线与圆相交于两点，且△ABC的面积为8，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 5．设A，B为随机事件，则的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可判断AB；取特例可判断C；由，可判断D. 【详解】对于A，由可知A，B为互斥事件，概率不一定相等，A错误； 对于B，由可知A，B相互独立，与概率大小无关，B错误； 对于C，抛掷一颗骰子，记掷出点数为事件A，掷出点数为事件B， 则事件表示掷出点数为，为不可能事件， 所以，，， 显然，由推不出，C错误； 对于D，， ， 若，则， 即，反之亦然， 故的充要条件是，D正确. 故选：D 6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】设甲、乙、丙三人用， 由题意可知：传球的方式有以下形式， ， 所求概率为. 故选：B 7．椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】，设，则，则，， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：A 8．直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【详解】依题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，因此所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 所以共有9条. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 10．已知F为椭圆的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意为该椭圆的两个顶点，且，结合椭圆的几何性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，已知F为椭圆的一个焦点， 其中为该椭圆的两个顶点，且， 当为左右两个顶点时，可得，解得， 所以，此时椭圆的方程为； 当为椭圆短轴的顶点，为长轴的顶点时，可得 解得，则，此时椭圆的方程为； 当为椭圆长轴的顶点，为短轴的顶点时，可得， 解得，则，此时椭圆的方程为. 故选：BCD. 11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．存在实数使得 D．三棱锥的体积为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，由计算求出即可得解；对于D，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故C正确. 对于D，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的方程为 ． 【答案】（或） 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，结合圆心在上，列出方程组，求出圆心和半径，写出圆的标准方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 由题意得：，解得：， 故所求圆的方程为 故答案为：．（或） 13．王先生忘记了自己电脑的密码，但记得密码是由两个3，一个6和一个9组成的四位数，于是他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑，则其能一次就打开电脑的概率是 ． 【答案】 【分析】利用古典概率模型即可求解. 【详解】由题可知，密码的可能情况有： 3369,3396,3639,3693,3936,3963,6339,6393,6933,9336,9363,9633共有12种情况， 其中只有1个密码正确， 所以能一次就打开电脑的概率是， 故答案为: . 14.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设， 则切线，即，切线的斜率， 直线的斜率，则，所以. 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得. （2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程. 【详解】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1， 直线方程为，即， 由，解得， 所以点的坐标是. （2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上， 因此，解得，即得点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 16．垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为． (1)求p的值； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解. （2）设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2，分别求出其概率，设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则从而可得答案. 【详解】（1）设 “一轮活动中小明答对一题”， “一轮活动中小亮答对一题”，则，. 设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”， 则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响， 所以A与B相互独立，从而与相互独立， 所以， 所以 （2）设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2. 由题意得，， ， 设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”， 则.由于和相互独立，则与互斥， 所以. 所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为. 17.如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD .    (1)求证：平面； (2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可. 【详解】（1）由题意：，同理， 又．而，即 又平面平面，平面平面平面， 平面平面，又，且面面平面． （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设，有， 取面的一个法向量， 则， 故． 令是平面的一个法向量，则，即 令，有，则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18．已知椭圆C：的焦距为2，且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l：与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当时，①求证：∠PAQ为直角. ②求m的值. 【答案】(1) (2) ② 【分析】（1）利用椭圆方程的关系求解即可； （2）由可得，设，，将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可 【详解】（1）由题意知，，， 又椭圆经过点，所以，解得， 所以，所以C的方程为. （2）因为在中， 因为P、Q不同于A，当时，， 此时，且， 设， 联立得，， 令解得， 所以，，① ，② 把①代入②并整理得：，解得（舍去）或. 故m的值为. 19．在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. 求W的体积的值； 【答案】(1)，； (2)，； (3)16 【分析】（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合代表的点，后得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可. （2）首先根据（1）分析得出为截去三棱锥所剩下的部分. 后用割补法求解体积即可. （3）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量求法求解，再看图得到面数和棱数即可. 【详解】（1）集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此. 对于，当时， 表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知Q表示，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点. 它是边长为的正方形，因此. （2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故的体积. 当由对称性知，. （3） 如图所示，即为所构成的图形. 其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥， 其中到面的距离为， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市常青联合体2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十七中学 命题教师： 审题教师： 考试时间：2024年11月14日14:00-16:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（    ）    A． B． C． D． 4．设直线与圆相交于两点，且△ABC的面积为8，则（    ） A． B． C．1 D． 5．设A，B为随机事件，则的充要条件是（     ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（     ） A． B． C． D． 7．椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 8．直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．已知F为椭圆的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．存在实数使得 D．三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的方程为 ． 13．王先生忘记了自己电脑的密码，但记得密码是由两个3，一个6和一个9组成的四位数，于是他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑，则其能一次就打开电脑的概率是 ． 14.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 16．垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为． (1)求p的值； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 17.如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD .    (1)求证：平面； (2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知椭圆C：的焦距为2，且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l：与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当时，①求证：∠PAQ为直角. ②求m的值. 19．在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. 求W的体积的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$武汉市常青联合体2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十七中学 命题教师：黄冲 审题教师：杨昌环 考试时间：2024年11月14日8：00-10：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.直线x+V3y-√2=0的倾斜角为() A.2 B. 5π 3 6 c D. 6 2.若方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() 6-mm-4 A.4<m<6 B.m>5 C.4<m<5 D.5<m<6 3.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进 制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木 棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“=”，26可表示为“=⊥”， 现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两 位数中，个位数与十位数之和为5的概率是() ,=L上士 123456789 A B.2 C. 2 0:12 4.设直线x+ay+2=0与圆C:x2+(y-2)2=16相交于A,B两点，且△ABC的面积为8， 则a=() A.-√2 B.-1 C.1 D.√2 5.设A,B为随机事件，则P(A)=P(B)的充要条件是() A.P(AUB)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(AB)=P(AB) D.P(AB)=P(BA) 高二数学试卷第1页共5页 6.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球， 作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为() A日 B. C.6 5 D:2 行+F=1(a>b>0)的上顶点为4，点P,0均在C上，且关于x轴对称.若 7.椭圆C:+广 直线4P,A0的斜率之积为，则C的离心率为(） A. 2 B.② 2 C.3 8.直线1过点(2，)，且与圆C:(x-2)+(y-4)2=10相交所形成的长度为整数的弦的条 数为() A.5 B.8 C.9 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.已知直线l:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() A.I始终过定点 B.若l儿2，则a=1或-3 C.若4⊥2，则a=0或2 D.当a>0时，I1始终不过第三象限 10.已知F为椭圆+若1(a>b>0)的一个焦点，A,B为该椭圆的两个顶点，若 AF=3,BF=5,则满足条件的椭圆方程为() A. =1 B.2 y +=1 43 95 C. D. 1615 2521 11.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，E、F、G分别为BC、CCBB的中点， 则下列选项正确的是() 高二数学试卷第2页共5页 D C B A.DD⊥AF B.直线4G与EF所成角的余弦值为0 10 C.存在实数元、4使得AG=元AF+山AE D。三棱锥G-AF的体积为写 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆C的圆心在直线3x-y-1=0上，且过点A(-2,3),B(2,5),则圆C的方程 为 13.王先生忘记了自己电脑的密码，但记得密码是由两个3，一个6和一个9组成的四 位数，于是他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑，则其能一次就打开电脑的概 率是 14,关于椭圆有如下结论：“过椭圆+品 。+F=1(a>b>0)上一点P(6,%)作该椭圆的切线. 切线方程为+1”设椭圆C:怎+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A, 过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M,过M作椭圆的切线l,若切线1的斜率k 与直线AM的斜率k,满足k+2k,=0,则椭圆C的离心率为 高二数学试卷第3页共5页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知△ABC的顶点A(4,I),边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0,边 AC上的中线BM所在的直线方程为3x-y-1=0. (1)求点B的坐标： (2)求直线BC的方程. 16.垃圾分类(Garbage classification),一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、 投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称.垃圾分类具有社会、经济、生 态等多方面的效益.小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由 小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为P,小亮每轮答对的概率为子，且在 每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知一轮活动中，“明 亮队”至少答对1道题概率为 11 (I)求p的值： (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中， PD=PC=CB=BA=号AD=2,AD∥CB∠CPD=∠ABC=90°，平面PCD⊥平面 2 ABCD. (I)求证：PD⊥平面PCA: (2②)点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦值为 3 ,求平面PCD与平面CDQ夹 角的余弦值. 高二数学试卷第4页共5页 18已知椭圆C二+卡=1a>6>0的张距为2，且经过点405】 (1)求C的方程： (2)若直线：y=x+m与C相交于不同于A的P,Q两点，PQ的中点为M,当 ∠PMA=2∠PQA时， ①求证：∠PAQ为直角. ②求m的值. 19.在空间直角坐标系O-z中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0, 其中A,B,C,D∈R,A+B2+C2≠0，且n=(A,B,C)为该平面的法向量.已知集合 P={(xz)≤1by≤1≤1,2={(xy,zx+y+≤2， T={(xy,z)x+y川s2川+≤2，+≤2 ()设集合M={(x,,zz=0,记P⌒M中所有点构成的图形的面积为S,Q∩M中所 有点构成的图形的面积为S2,求S,和S的值： (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V,P⌒Q中所有点构成的几何体的体积 为'，求V和'的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. 求W的体积V的值 高二数学试卷第5页共5页