福建省福州第四中学2024-2025学年高一上学期第一学段考试数学试卷

高一数学 第 1 页（共 4 页） 2024-2025 年福州四中第一学期第一学段试卷 高一数学 命题： 崔文坤 审核：张唐蕾 一．单选题：（每题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求） 1．设集合 { | 3}A x x  ， 1{ | 0} 4 xB x x    „ ，则 ( ) (RA B ð ) A． (1,3) B．[1，3] C． (3,4) D． [3， 4) 2．幂函数 ( ) af x x 的图象过点 1 2( , ) 2 2 ，则 f （4） ( ) A． 1 16 B． 1 4 C．2 D．4 3．设 a， b， c R ，且 a b ，则 ( ) A． ac bc B． 1 1 a b  C． 2 2a b D． a c b c   4．若 0.32a  ， 0.3log 2b  ， 20.3c  ，则 a， b， c的大小关系为 ( ) A． c a b  B．b c a  C． c b a  D． b a c  5．函数 2 1( ) ( 0) 2 2x x xf x x     的图象大致为 ( ) A． B． C． D． 6．已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x  ，当 a， ( ,0)b  时总有 ( ) ( ) 0( )f a f b a b a b     ， 若 ( 1) (2 )f m f m  ，则实数m的取值范围是 ( ) A． 1m  或 1 3 m   B． 1 1 3 m   C． 1m  D． 1m  7．设 ,0 1( ) 2( 1), 1 x xf x x x      … 若 ( ) ( 1)f a f a  ，则 1( ) (f a  ) A．2 B．4 C．6 D．8 高一数学 第 2 页（共 4 页） 8．已知函数 ( )f x 是定义在 [ 4,0) (0,4]  上的奇函数，当 (0,4]x 时， ( )f x 的图象如图所 示，那么满足不等式 ( ) 3 1xf x … 的 x的取值范围是 ( ) A．[ 1,0) (0,1]  B．[ 4, 2] (0,1]   C． [ 4, 2] [2,4]   D． [ 1,0) [2,4]  二．多选题：（每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，有 选错得 0 分，部分选对得部分分） 9．下列说法中正确的有 ( ) A．命题 20 0 0: , 2 2 0p x R x x     ，则命题 p的否定是 x R  ， 2 2 2 0x x  … B．“ | | | |x y ”是“ x y ”的必要条件 C．若命题“ (2,3)x  ，3 0x a  ”是真命题，则 a的取值范围为 9a… D．“ 0m  ”是“关于 x的方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充要条件 10．若正实数 a， b满足 2 1a b  ，则下列说法正确的是 ( ) A． 1 2 a b  有最小值 9 B． 2 4a b 的最小值是 2 2 C． ab有最大值 1 4 D． 2 2a b 的最小值是 2 5 11．若函数 ( )f x 同时满足：①对于定义域上的任意 x，恒有 ( ) ( ) 0f x f x   ；②对于定义 域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有 1 2 1 2( ) [ ( ) ( )] 0x x f x f x   ，则称该函数为“理 想函数”．下列函数中是“理想函数”的有 ( ) A． 2 2 2 , 0 ( ) 2 , 0 x x f x x x     … B． 1 5( )f x x  C． 1( )f x x x   D． 2( ) | |f x x x  三．填空题：（每题 5 分，共 15 分） 12．已知幂函数 2( ) ( 3 3) af x a a x   在 (0, ) 为增函数，则实数 a的值为 ． 13．设函数 2 , 0,( ) ( ), 0 x m x f x g x x      „ 是奇函数，则 (2)f  ______________________ 高一数学 第 3 页（共 4 页） 14．已知函数 ( ) | | 4f x x x x  ，则该函数的单调递增区间为 ，若方程 ( )f x k 有三个不同的实根，则实数 k的取值集合是 ． 四．解答题：（共 6 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）计算： （1） 2 4 0 2 23 33 27( 2019) ( ) ( ) (1 3) ( 2 2 ) 2 8       ； （2） ln 20.5 2 3l (log 32 lg og 4) (log2 4 3l )5 g e    ． 16．（15 分）已知函数 1( ) (9 3 ) 1 xf x ln x     的定义域为集合 A，集合 { |1 8}B x x   ， { | 2 1}C x a x a    ， （1）求 RAð ， ( )RA Bð ； （2）若 A C A ，求 a的取值范围 17．（15 分）已知函数 2 1( ) 2 1 x xf x    ． （1）判断函数 ( )f x 的奇偶性并证明， （2）利用单调性定义证明： ( )f x 在区间 ( , )  上单调递增； （3）求关于 x的不等式 2 1 2 [log (2 1)] (log ) 0f x f x  „ 的解集． 高一数学 第 4 页（共 4 页） 18．（17 分）某厂生产某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 ( 0)x x  千件，需另投 入成本 ( )C x ，当年产量不足 80千件时， 21( ) 10 3 C x x x  （万元）；当年产量不小于 80千件时， 10000( ) 51 1450C x x x    （万元），每千件售价为 50万元，通过市场分析， 该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润 ( )L x （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 19．（17 分）已知指数函数 ( ) xf x b （1）若函数 ( ) ( ) ( )( )F x f x af x a R    在 x R 上具有奇偶性，求 a的值； （2）若 1b  ，当 0a  且 [0x ，3]时，不等式 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 恒成立，求 a的取 值范围； （3）若 2b  ，求函数 ( ) ( ) (2 )( )G x f x af x a R   在 ( ,0] 上的最大值 ( )H a ． 高一数学 第 1 页（共 5 页） 2024-2025 年福州四中第一学期第一学段试卷 高一数学参考答案 一．单选题：（每题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求） 1．设集合 { | 3}A x x  ， 1{ | 0} 4 xB x x    „ ，则 ( ) (RA B ð ) A． (1,3) B．[1，3] C． (3,4) D． [3， 4) 【解答】集合 { | 3}A x x  ， 1{ | 0} { |1 4} 4 xB x x x x      „ „ ， { | 3}U A x x ð „ ， ( ) { |1 3} [1RA B x x  ð „ ，3]． 故选： B． 2．幂函数 ( ) af x x 的图象过点 1 2( , ) 2 2 ，则 f （4） ( ) A． 1 16 B． 1 4 C．2 D．4 【解答】幂函数 ( ) af x x 的图象过点 1 2( , ) 2 2 ， 2 1( ) 2 2  ， 1 2   ，幂函数 1 2( )f x x x  ，则 f （4） 4 2  ， 故选：C． 3．设 a， b， c R ，且 a b ，则 ( ) A． ac bc B． 1 1 a b  C． 2 2a b D． a c b c   【解答】 a b ， a c b c    ，因此 D正确． 0c„ 时， A不正确； 0a b  时， B不正确；取 1a   ， 2b   ，C不正确． 故选： D． 4．若 0.32a  ， 0.3log 2b  ， 20.3c  ，则 a， b， c的大小关系为 ( ) A． c a b  B．b c a  C． c b a  D． b a c  【解答】 0.3 02 2 1a    ， 0.3 0.3log 2 log 1 0b    ， 高一数学 第 2 页（共 5 页） 2 00 0.3 0.3 1   ， 0 1c   ， b c a   ， 故选： B． 5．函数 2 1( ) ( 0) 2 2x x xf x x     的图象大致为 ( ) A． B． C． D． 【解答】函数 ( )f x 为偶函数，当 0x 时， ( ) 1f x  ． 故选： A． 6．已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x  ，当 a， ( ,0)b  时总有 ( ) ( ) 0( )f a f b a b a b     ， 若 ( 1) (2 )f m f m  ，则实数m的取值范围是 ( ) A． 1m  或 1 3 m   B． 1 1 3 m   C． 1m  D． 1m  【解答】根据题意，函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x  ，即函数 ( )f x 为偶函数，当 a， ( ,0)b  时总有 ( ) ( ) 0( )f a f b a b a b     ，则 ( )f x 在区间 ( ,0) 上为增函数，则 ( )f x 在 (0, ) 上 为减函数，若 ( 1) (2 )f m f m  ，则 (| 1|) (| 2 |)f m f m  ，则有 | 1 | | 2 |m m  ，解可得 1m  或 1 3 m   ，即m的取值范围为 1m  或 1 3 m   ， 故选： A． 7．设 ,0 1( ) 2( 1), 1 x xf x x x      … 若 ( ) ( 1)f a f a  ，则 1( ) (f a  ) A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】当 (0,1)a 时， ,0 1( ) 2( 1), 1 x xf x x x      … ，若 ( ) ( 1)f a f a  ，可得 2a a ，解得 1 4 a  ， 则 1( ) (4)f f a  2(4 1) 6   ． 当 [1a ， ) 时， ,0 1( ) 2( 1), 1 x xf x x x      … ，由 ( ) ( 1)f a f a  得 2( 1) 2a a  ，显然无解． 高一数学 第 3 页（共 5 页） 故选：C． 8．已知函数 ( )f x 是定义在 [ 4,0) (0,4]  上的奇函数，当 (0,4]x 时， ( )f x 的图象如图所 示，那么满足不等式 ( ) 3 1xf x … 的 x的取值范围是 ( ) A．[ 1,0) (0,1]  B．[ 4, 2] (0,1]   C． [ 4, 2] [2,4]   D． [ 1,0) [2,4]  【解答】 ( )f x 为 [ 4 ， 0) (0 ， 4]上的奇函数， 如图，画出 ( )f x 在 [ 4 ， 0)的图象， 得点 8( 2, ) 9   、点 (1,2)在 ( )f x 上． 画出 3 1xy   的图象，得到其渐近线为 1y   ， 且在第一象限与 ( )f x 的图象交点为 (1,2)， 要解不等式 ( ) 3 1xf x … ，则结合图象， 需 ( )f x 的图象在 3 1xy   图象的上方， 从而解得： [ 4x  ， 2] (0  ，1]．故选： B． 二．多选题：（每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分） 9．下列说法中正确的有 ( ) A．命题 20 0 0: , 2 2 0p x R x x     ，则命题 p的否定是 x R  ， 2 2 2 0x x  … B．“ | | | |x y ”是“ x y ”的必要条件 C．若命题“ (2,3)x  ，3 0x a  ”是真命题，则 a的取值范围为 9a… D．“ 0m  ”是“关于 x的方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充要条件 【解答】对于 A，命题 20 0 0: , 2 2 0p x R x x     ， 则命题 p的否定是 x R  ， 2 2 2 0x x  … ，故 A正确； 对于 B， | | | |x y 不能推出 x y ，例如 | 2 | |1 |  ，但 2 1  ； x y 也不能推出 | | | |x y ，例如 2 3  ，而 | 2 | | 3 |  ； 高一数学 第 4 页（共 5 页） 所以“ | | | |x y ”是“ x y ”的既不充分也不必要条件，故 B错误； 对于C ， (2,3)x  ， 3 0x a  ，即 3a x ， 即 9a… ，故 a的范围为 9a… ，故C 正确； 对于D，关于 x的方程 2 2 0x x m   有一正一负根 4 4 0 0 0 m m m       ， 故“ 0m  ”是“关于 x的方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充要条件，故 D正确． 故选： ACD． 10．若正实数 a， b满足 2 1a b  ，则下列说法正确的是 ( ) A． 1 2 a b  有最小值 9 B． 2 4a b 的最小值是 2 2 C． ab有最大值 1 4 D． 2 2a b 的最小值是 2 5 【解答】 1 2 1 2 2 2 2 2( )( 2 ) 5 5 2 9b a b aa b a b a b a b a b          … ， 当且仅当 2 2 1 3 b a a b a b     时等号成立， A对； 2 22 4 2 2 2 2 2 2a b a b a b   … ，当且仅当 22 2a b ，即 1 1, 2 4 a b  时等号成立，B对； 2 1 2 2a b ab  … ，则 1 8 ab„ ，当且仅当 2a b ，即 1 1, 2 4 a b  时等号成立，C错； 由 1 2a b  ，则 2 2 2 22 15 4 1 5( ) 5 5 a b b b b       ，而 10 2 b  ，所以 2 2 1 5 a b … ， 当且仅当 2 5 b  时等号成立， D错． 故选： AB． 11．若函数 ( )f x 同时满足：①对于定义域上的任意 x，恒有 ( ) ( ) 0f x f x   ；②对于定义 域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有 1 2 1 2( ) [ ( ) ( )] 0x x f x f x   ，则称该函数为“理 想函数”．下列函数中是“理想函数”的有 ( ) A． 2 2 2 , 0 ( ) 2 , 0 x x f x x x     … B． 1 5( )f x x  C． 1( )f x x x   D． 2( ) | |f x x x  【解答】由 ( ) ( ) 0f x f x   可得 ( ) ( )f x f x   即 ( )f x 为奇函数， 由对于定义域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有 1 2 1 2( ) [ ( ) ( )] 0x x f x f x   可得 ( )f x 高一数学 第 5 页（共 5 页） 单调递减， A： 2 2 2 , 0 ( ) 2 , 0 x x f x x x     … 的图象如图所示，函数图象关于原点对称， 满足奇函数，且在 R上单调递减， A符合题意； B：根据幂函数的性质可知， 1 5( )f x x  单调递减的奇函数，符合题意； C：由于 1( )f x x x   中 f （1） ( 1) 0f   ，故函数不单调，不符合题意； D： 2( ) | |f x x x  为偶函数，不符合题意． 故选： AB． 三．填空题：（每题 5 分，共 15 分） 12．已知幂函数 2( ) ( 3 3) af x a a x   在 (0, ) 为增函数，则实数 a的值为 ． 【解答】因为 2( ) ( 3 3) af x a a x   为幂函数，所以 2 3 3 1a a   ，解得 1a   或 4a  ，又 ( )f x 在 (0, ) 为增函数，所以 0a  ，所以 4a  ． 故答案为：4． 13．设函数 2 , 0,( ) ( ), 0 x m x f x g x x      „ 是奇函数，则 (2)f  ______________________ 【解答】根据题意，函数 2 , 0, ( ) ( ), 0 x m x f x g x x      „ 是奇函数，则有 0(0) 2 0f m   ， 解可得： 1m   ，则 2 3( 2) 2 1 4 f      ，又由 ( )f x 为奇函数，则 f（2） 3( 2) 4 f    ， 故答案为 3 4 ． 14．已知函数 ( ) | | 4f x x x x  ，则该函数的单调 递增区间为 ，若方程 ( )f x k 有三 个不同的实根，则实数 k的取值集合是 ． 【解答】由函数 2 2 4 , 0 ( ) | | 4 4 , 0 x x x f x x x x x x x           … ， 高一数学 第 6 页（共 5 页） 作出函数 ( )f x 如图所示：从图上可得该函数的单调递增区间为 (， 2] 和 [2， ) ， 方程 ( )f x k 有三个不同的实根，即 ( )f x 的图象与 y k 有三个不同的交点，从图象 可得 4 4k   ； 故答案为 (， 2] 和 [2， ) （ 2 处写开区间也对）； ( 4,4) 四．解答题：（共 6 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）计算： （1） 2 4 0 2 23 33 27( 2019) ( ) ( ) (1 3) ( 2 2 ) 2 8       ； （2） ln 20.5 2 3l (log 32 lg og 4) (log2 4 3l )5 g e    ． 【解答】（1）原式 4 91 ( 3 1) 2 9 4       （2+1+2+1=6 分） 3 3  （1 分） （2）原式 5 2 2 2 2      （2+1+1+1=5 分） 1 2   （1 分） 16．（15 分）已知函数 1( ) (9 3 ) 1 xf x ln x     的定义域为集合 A，集合 { |1 8}B x x   ， { | 2 1}C x a x a    ， （1）求 RAð ， ( )RA Bð ；（2）若 A C A ，求 a的取值范围 【解答】（1）函数 1( ) (9 3 ) 1 xf x ln x     的定义域为集合 A， 1 0 { | } { | 1 2} 9 3 0x x A x x x           ，（3 分） { | 1RC A x x  „ 或 2}x… ，（1 分）  { |1 8}B x x   ， ( ) { | 1RA B x x  „ð 或 1}x  ．（2 分） （2） A C A  ， C A  ，（2 分） 当C  时， 2 1a a … ，解得 1a „ ，（2 分）（等号错误扣 1 分） 高一数学 第 7 页（共 5 页） 当C  时， 2 1 1 2 1 2 a a a a       … „ ，（3 分）（式 2 没有等号不扣，式 1 和 3 等号错误各扣 1 分） 解得 11 2 a  „ ．（1 分） 综上， a的取值范围是 (， 1] 2 ．（1 分） 17．（15 分）已知函数 2 1( ) 2 1 x xf x    ． （1）判断函数 ( )f x 的奇偶性并证明， （2）利用单调性定义证明： ( )f x 在区间 ( , )  上单调递增； （3）求关于 x的不等式 2 1 2 [log (2 1)] (log ) 0f x f x  „ 的解集． 【解答】（1）判断： ( )f x 是奇函数（1 分）（判断与结论共享此分） 证明：根据题意， 2 1( ) 2 1 x xf x    ，其定义域为 R，关于原点对称（无此行不扣分） 则 2 1 1 2( ) ( ) 2 1 1 2 x x x xf x f x            ，（3 分）故 ( )f x 是奇函数， （2）任取 1x ， 2x R 且 1 2x x ，（1 分） 则 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 1 2 1 2(2 2 )( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x x x xf x f x            ，（2 分） 又由 1x ， 2x R 且 1 2x x ，则 1 2 1 22 1 0,2 1 0,2 2 x x x x     ，则有 1 2( ) ( ) 0f x f x  ， 即 1 2( ) ( )f x f x （1 分），故 ( )f x 在区间 ( , )  单调递增；（1 分） （3）由（1）（2）知： ( )f x 是奇函数且在区间 ( , )  单调递增， 2 1 2 2 2 [log (2 1)] (log ) 0 [log (2 1)] (log )f x f x f x f x   „ „ （1 分） 2 2log (2 1) logx x  „ （1 分） 2 1 0 2 1 x x x      „ （2 分）（也可以列三个不等式） 1 1 2 x  „ （1 分）， 故不等式的解集为 1{ | 1} 2 x x „ ．（1 分） 18．（17 分）某厂生产某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 ( 0)x x  千件，需另投 高一数学 第 8 页（共 5 页） 入成本 ( )C x ，当年产量不足 80千件时， 21( ) 10 3 C x x x  （万元）；当年产量不小于 80千件时， 10000( ) 51 1450C x x x    （万元），每千件售价为 50万元，通过市场分析， 该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润 ( )L x （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解答】（1）每千件售价为 50万元， x 千件商品销售额为 50x万元， ①当 0 80x  时，根据年利润 销售收入 成本， 2 21 1( ) 50 ( 10 ) 250 40 250 3 3 L x x x x x x         ；（3 分） ②当 80x… 时，根据年利润 销售收入 成本， 10000 10000( ) 50 (51 1450) 250 1200 ( )L x x x x x x          ；（3 分） 综合①②可得， 21 40 250 (0 80) 3( ) 100001200 ( ) ( 80) x x x L x x x x           … ；（1 分） （2）①当 0 80x  时， 2 21 1( ) 40 250 ( 60) 950 3 3 L x x x x        ，（3 分） 当 60x  时， ( )L x 取得最大值 (60) 950L  万元；（1 分） ②当 80x… 时， 10000 10000( ) 1200 ( ) 1200 2 1200 200 1000L x x x x x        „ ，（3 分） 当且仅当 10000x x  ，即 100x  时， ( )L x 取得最大值 (100) 1000L  万元．（2 分） 综合①②，由于 950 1000 ， 年产量为 100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大（1 分） 19．（17 分）已知指数函数 ( ) xf x b （1）若函数 ( ) ( ) ( )( )F x f x af x a R    在 x R 上具有奇偶性，求 a的值； （2）若 1b  ，当 0a  且 [0x ，3]时，不等式 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 恒成立，求 a的取 值范围； 高一数学 第 9 页（共 5 页） （3）若 2b  ，求函数 ( ) ( ) (2 )( )G x f x af x a R   在 ( ,0] 上的最大值 ( )H a ． 【解答】（1）若函数 ( ) ( ) ( )F x f x af x   为偶函数； 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x af x F x f x af x        恒成立；解得： 1a  （2 分） 若函数 ( ) ( ) ( )F x f x af x   为奇函数； 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x af x F x f x af x          恒成立；解得： 1a   （2 分） 综上得： 1a  时是偶函数， 1a   时是奇函数 （2）（解一）因 ( ) 2xf x  是单调增函数，故由 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 得 21 (2 )x x a „ （1 分） 因为 0a  ，且 [0x ，3]，所以 1 2x x a „ 恒成立， ( 2 1a x x   … )max （1 分） 设 ( ) 2 1m x x x    ，令 1x t  ，则 2 1x t  ， [1t ， 2]，（1 分） 2 21 17( ) 2( 1) 2( ) 4 8 m t t t t         ．（1 分） 所以，当 1t  时， ( ) 1maxm x  ，（1 分） 1a … （1 分） （解二）因 ( ) 2xf x  是单调增函数，故由 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 得 21 (2 )x x a „ （1 分） 即 21 (2 )x x a „ ，即 2 24 (4 1) 1 0x a x a    … ，对于 [0x ， 3]恒成立， 令 2 2( ) 4 (4 1) 1h x x a x a     ，则 min( ) 0h x  （1 分） 若 1 4 0 8 a  ，必需且只需 (0) 0h … ，此时得 1a… ；（1 分） 若 1 4 3 8 a  ，必需且只需 h（3） 0… ，此时得 8a „ （舍去）；（1 分） 若 1 40 3 8 a„ „ ，必需且只需△ 2 2(4 1) 16( 1) 0a a    „ ，此时无解．（1 分） 综上得 a的取值范围是{ |a 1}a… ．（1 分） （3） 2( ) 2 2x xF x a   ， (x ， 0]．令 2x t ，因 (x ， 0]，故 (0t ，1] 2 22 2 (0 1)x xy a at t t      „ ．（1 分） 当 0a  时， ( ) 1maxF x  ．（1 分） 高一数学 第 10 页（共 5 页） 当 0a  时，令 2 21 1( ) ( ) (0 1) 2 4 g t at t a t t a a       „ ．（1 分） 若 0a  ，则当 1t  时 ( )g t 取最大值， g（1） 1a  ．（1 分） 若 1 0 2 a   ，则当 1t  时 ( )g t 取最大值， g（1） 1a  ．（1 分） 若 1 2 a „ ，则当 1 2 t a   时 ( )g t 取最大值， 1 1( ) 2 4 g a a    ．（1 分） 综上， 11 , 2( ) 1 1, 4 2 max a a F x a a         „ （1 分） 高一数学 第 11 页（共 5 页） 15．（13 分）计算：（1） 2 4 0 2 23 33 27( 2019) ( ) ( ) (1 3) ( 2 2 ) 2 8       ； （2） ln 20.5 2 3l (log 32 lg og 4) (log2 4 3l )5 g e    ． 【解答】（1）原式 4 91 ( 3 1) 2 9 4       （2+1+2+1=6 分） 3 3  （1 分） （2）原式 5 2 2 2 2      （2+1+1+1=5 分） 1 2   （1 分） 16．（15 分）已知函数 1( ) (9 3 ) 1 xf x ln x     的定义域为集合 A，集合 { |1 8}B x x   ， { | 2 1}C x a x a    ， （1）求 RAð ， ( )RA Bð ；（2）若 A C A ，求 a的取值范围 【解答】（1）函数 1( ) (9 3 ) 1 xf x ln x     的定义域为集合 A， 1 0 { | } { | 1 2} 9 3 0x x A x x x           ，（3 分） { | 1RC A x x  „ 或 2}x… ，（1 分）  { |1 8}B x x   ， ( ) { | 1RA B x x  „ð 或 1}x  ．（2 分） （2） A C A  ， C A  ，（2 分） 当C  时， 2 1a a … ，解得 1a „ ，（2 分）（等号错误扣 1 分） 当C  时， 2 1 1 2 1 2 a a a a       … „ ，（3 分）（式 2 没有等号不扣，式 1 和 3 等号错误各扣 1 分） 解得 11 2 a  „ ．（1 分） 综上， a的取值范围是 (， 1] 2 ．（1 分） 17．（15 分）已知函数 2 1( ) 2 1 x xf x    ． （1）判断函数 ( )f x 的奇偶性并证明， （2）利用单调性定义证明： ( )f x 在区间 ( , )  上单调递增； 高一数学 第 12 页（共 5 页） （3）求关于 x的不等式 2 1 2 [log (2 1)] (log ) 0f x f x  „ 的解集． 【解答】（1）判断： ( )f x 是奇函数（1 分）（判断与结论共享此分） 证明：根据题意， 2 1( ) 2 1 x xf x    ，其定义域为 R，关于原点对称（无此行不扣分） 则 2 1 1 2( ) ( ) 2 1 1 2 x x x xf x f x            ，（3 分）故 ( )f x 是奇函数， （2）任取 1x ， 2x R 且 1 2x x ，（1 分） 则 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 1 2 1 2(2 2 )( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x x x xf x f x            ，（2 分） 又由 1x ， 2x R 且 1 2x x ，则 1 2 1 22 1 0,2 1 0,2 2 x x x x     ，则有 1 2( ) ( ) 0f x f x  ， 即 1 2( ) ( )f x f x （1 分），故 ( )f x 在区间 ( , )  单调递增；（1 分） （3）由（1）（2）知： ( )f x 是奇函数且在区间 ( , )  单调递增， 2 1 2 2 2 [log (2 1)] (log ) 0 [log (2 1)] (log )f x f x f x f x   „ „ （1 分） 2 2log (2 1) logx x  „ （1 分） 2 1 0 2 1 x x x      „ （2 分）（也可以列三个不等式） 1 1 2 x  „ （1 分）， 故不等式的解集为 1{ | 1} 2 x x „ ．（1 分） 18．（17 分）某厂生产某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 ( 0)x x  千件，需另投 入成本 ( )C x ，当年产量不足 80千件时， 21( ) 10 3 C x x x  （万元）；当年产量不小于 80千件时， 10000( ) 51 1450C x x x    （万元），每千件售价为 50万元，通过市场分析， 该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润 ( )L x （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解答】（1）每千件售价为 50万元， x 千件商品销售额为 50x万元， ①当 0 80x  时，根据年利润 销售收入 成本， 高一数学 第 13 页（共 5 页） 2 21 1( ) 50 ( 10 ) 250 40 250 3 3 L x x x x x x         ；（3 分） ②当 80x… 时，根据年利润 销售收入 成本， 10000 10000( ) 50 (51 1450) 250 1200 ( )L x x x x x x          ；（3 分） 综合①②可得， 21 40 250 (0 80) 3( ) 100001200 ( ) ( 80) x x x L x x x x           … ；（1 分） （2）①当 0 80x  时， 2 21 1( ) 40 250 ( 60) 950 3 3 L x x x x        ，（3 分） 当 60x  时， ( )L x 取得最大值 (60) 950L  万元；（1 分） ②当 80x… 时， 10000 10000( ) 1200 ( ) 1200 2 1200 200 1000L x x x x x        „ ，（3 分） 当且仅当 10000x x  ，即 100x  时， ( )L x 取得最大值 (100) 1000L  万元．（2 分） 综合①②，由于 950 1000 ， 年产量为 100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大（1 分） 19．（17 分）已知指数函数 ( ) xf x b （1）若函数 ( ) ( ) ( )( )F x f x af x a R    在 x R 上具有奇偶性，求 a的值； （2）若 1b  ，当 0a  且 [0x ，3]时，不等式 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 恒成立，求 a的取 值范围； （3）若 2b  ，求函数 ( ) ( ) (2 )( )G x f x af x a R   在 ( ,0] 上的最大值 ( )H a ． 【解答】（1）若函数 ( ) ( ) ( )F x f x af x   为偶函数； 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x af x F x f x af x        恒成立；解得： 1a  （2 分） 若函数 ( ) ( ) ( )F x f x af x   为奇函数； 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x af x F x f x af x          恒成立；解得： 1a   （2 分） 综上得： 1a  时是偶函数， 1a   时是奇函数 （2）（解一）因 ( ) 2xf x  是单调增函数，故由 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 得 21 (2 )x x a „ （1 分） 高一数学 第 14 页（共 5 页） 因为 0a  ，且 [0x ，3]，所以 1 2x x a „ 恒成立， ( 2 1a x x   … )max （1 分） 设 ( ) 2 1m x x x    ，令 1x t  ，则 2 1x t  ， [1t ， 2]，（1 分） 2 21 17( ) 2( 1) 2( ) 4 8 m t t t t         ．（1 分） 所以，当 1t  时， ( ) 1maxm x  ，（1 分） 1a … （1 分） （解二）因 ( ) 2xf x  是单调增函数，故由 2( 1) [(2 ) ]f x f x a „ 得 21 (2 )x x a „ （1 分） 即 21 (2 )x x a „ ，即 2 24 (4 1) 1 0x a x a    … ，对于 [0x ， 3]恒成立， 令 2 2( ) 4 (4 1) 1h x x a x a     ，则 min( ) 0h x  （1 分） 若 1 4 0 8 a  ，必需且只需 (0) 0h … ，此时得 1a… ；（1 分） 若 1 4 3 8 a  ，必需且只需 h（3） 0… ，此时得 8a „ （舍去）；（1 分） 若 1 40 3 8 a„ „ ，必需且只需△ 2 2(4 1) 16( 1) 0a a    „ ，此时无解．（1 分） 综上得 a的取值范围是{ |a 1}a… ．（1 分） （3） 2( ) 2 2x xF x a   ， (x ， 0]．令 2x t ，因 (x ， 0]，故 (0t ，1] 2 22 2 (0 1)x xy a at t t      „ ．（1 分） 当 0a  时， ( ) 1maxF x  ．（1 分） 当 0a  时，令 2 21 1( ) ( ) (0 1) 2 4 g t at t a t t a a       „ ．（1 分） 若 0a  ，则当 1t  时 ( )g t 取最大值， g（1） 1a  ．（1 分） 若 1 0 2 a   ，则当 1t  时 ( )g t 取最大值， g（1） 1a  ．（1 分） 若 1 2 a „ ，则当 1 2 t a   时 ( )g t 取最大值， 1 1( ) 2 4 g a a    ．（1 分） 综上， 11 , 2( ) 1 1, 4 2 max a a F x a a         „ （1 分）