16.1 二次根式 解答题常考题型分类训练（5大题型37题）2024-2025学年人教版数学八年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第16章 16.1 二次根式 解答题常考题型分类训练（5大题型37题）（解析版） 题型1：求二次根式的值（2题） 题型2：求二次根式中的参数（6题） 题型3：二次根式有意义的条件（6题） 题型4：利用二次根式的性质化简（14题） 题型5：复合二次根式的化简（9题） 1．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ， 解得， ． 2．根据下图，化简． 【答案】﹣b． 【分析】先利用数轴确给出数的符号，再利用二次根式的性质化为绝对值，根据数的符号化去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可以看出：a＞0，b＜0，c＜0，a＜﹣c， ∴， =|b|-|b+c|+|a-c|+|a+c|， ＝﹣b﹣[﹣（b+c）]+（a﹣b）+[﹣（a+c）]， ＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c， ＝﹣b． 【点睛】本题考查二次根式的化间问题，掌握利用数轴确定符号，利用二次根式性质化为绝对值，利用数的正负化去绝对值符号，合并同类项是解题的要点． 3．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 4．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 5．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 6．已知满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为0的值后，代入的表达式，求出值，然后将代入所求式子化简整理即可． 【详解】由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵2的平方根为 ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取值是否符合题意，求平方根时注意平方根有两个． 7．知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 8．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 9．（1）若，求的值． （2）若a，b为实数，且，求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方的非负性，求算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）首先根据，可得，，据此求出、的值各是多少，然后把求出的、的值代入，求出算式的值是多少即可； （2）由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到，即可求出a，再求出b，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 解得，， ； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 10．张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【答案】(1)2023；2024； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由， 解得:，， ∴ ； （3）解：由， 得，， ∵， ∴． 11．（1）若都是实数，且，求的立方根； （2）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）的立方根为5；（2） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根的性质． （1）根据二次根式有意义的条件，可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入求解即可； （2）根据题意得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，解得， 所以， 所以； （2）∵与互为相反数， ∴， ∴． 12．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是 （请直接写出答案）； (2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． （1）把代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长； （2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围． 【详解】（1）解：当， 则， ∵， ∴的最长边的长度是3； （2）解：由二次根式有意义的条件得， 解得：， ∴，， ∴ ． 13．已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的答案不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解； （2）根据绝对值的非负性和二次根式的性质将化简即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）小明的答案不正确，理由如下： ， ， ， ， ， 小明的答案不正确． 14．已知，且为偶数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为偶数可确定x的值，然后对原式先化简再代入求值. 【详解】解：∵， ∴ 解得，， ∵为偶数，， ∴， ∴ ． 15．实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，立方根；先由数轴得出，则，，再化简，然后合并同类项，即可作答． 【详解】解：由数轴得，， 则，， 故 ． 16．已知 ，求的值． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、二次根式化简等知识，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后将、的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， 解得， ∴， ∴， ∴． 17．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，解题的关键是掌握相关知识．由数轴可知：，，得到，，，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ，，， ， ， ， ， ． 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根和算术平方根求原数，无理数的估算，化简二次根式： （1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于a、b的方程求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出c的值即可； （2）根据（1）所求先求出的值，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴， ∴； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 19．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 20．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式， 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简； 【拓展提升】（3）若，求x的取值范围． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边关系，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）先将化简为，然后分类讨论：当时， 当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； （3）∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 21．已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【答案】(1)，；，；， (2) (3)证明见解析 【分析】（）把的值分别代入计算即可求解； （）根据（）所得结果即可判断求解； （）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证； 本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，； 当时，，， 故答案为：，； 当时，，； 故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值． (1)若，当取最小值时，求a的值． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次的性质，完全平方公式，分式的求值，解分式方程： （1）根据，得到，当且仅当，取等号，进行求解即可； （2）将转化为，利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 当且仅当，取等号，解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的根； ∴； （2）当 当且仅当时取等号，解得：（负值舍去）， 经检验是原方程的解， 则的最小值为3． 23．已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： (1)______；若，______； (2)若a，b，c为三角形三边长，化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，根据二次根式的性质即可求出答案． （1）根据，结合已知条件求出结果即可； （2）根据三角形的三边关系可得，，，据此化简原式即可． 【详解】（1）解：， ； 当时，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵a，b，c为三角形三边长， ∴，，， ，，， 原式 ． 24．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗?请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的化简． （1）根据题意得到 ，即可到答案； （2）把化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 25．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 （其中，，，均为正整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分（的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，且，，均为正整数，求的值； (2)请化简： 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式； （1）根据完全平方公式求出，求出，，求出，根据、为正整数得出，或，，再求出即可． （2）根据，进而根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 、都为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，， 所以的值是7或13． （2）解：∵， ∴ 26．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)的值为或7 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 27．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有： ． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以． (1)化简为_____． (2)根据上述方法化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，对于（1），根据理解可知，可得完全平方公式，再开方即可； 对于（2），先把化为，由，可得完全平方公式，开方即可． 【详解】（1）解：因为， 即， 所以. 故答案为：； （2）解：先把化为，这里， 因为， 即， 所以． 28．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简：________； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得________，________； （3）若，且，均为正整数，求的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）： 型号 长 宽 高 型 型 型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4），两种型号的包装纸箱符合条件．应选择型号包装纸箱． 【分析】本题主要考查二次计算与化简与应用，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断，两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴， 故答案为：，；   （3）∵， ∴，    ∴， ∴，   ∴； （4）底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴，C两种型号的包装纸箱符合条件． B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， 所以应选择C型号包装纸箱． 29．（1）；（2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将被开方数写成乘积的形式，再利用二次根式的积的性质进行化简；（2）先将带分数写成假分数，再利用二次根式商的性质进行化简. 【详解】（1）. （2）. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用积的算术平方根的性质进行化简时，要注意被开方数一宽是乘积的形式，一定不要出现“”的错误. 30．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 31．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 32．阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 33．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 35．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 36．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 37．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第16章 16.1 二次根式 解答题常考题型分类训练（5大题型37题）（原卷版） 题型1：求二次根式的值（2题） 题型2：求二次根式中的参数（6题） 题型3：二次根式有意义的条件（6题） 题型4：利用二次根式的性质化简（14题） 题型5：复合二次根式的化简（9题） 题型1：求二次根式的值（2题） 1．若求的值． 2．根据下图，化简． 题型2：求二次根式中的参数（6题） 3．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 4．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数的最小值． 5．阅读材料并解决下列问题：已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 6．已知满足，求的平方根． 7．知n=-6，求的值． 8．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型3：二次根式有意义的条件（6题） 9．（1）若，求的值．（2）若a，b为实数，且，求的值． 10．张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境：例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移：若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用：已知，求的值． 11．（1）若都是实数，且，求的立方根； （2）已知与互为相反数，求的值． 12．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是 （请直接写出答案）；(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； 13．已知实数满足等式．(1)的取值范围是 ；(2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 14．已知，且为偶数，求的值． 15．实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 题型4：利用二次根式的性质化简（14题） 16．已知 ，求的值． 17．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简： 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值；(2)求的平方根 19．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：(1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______；(3)若，求a的值． 20．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式， 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简； 【拓展提升】（3）若，求x的取值范围． 21．已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 22．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值． (1)若，当取最小值时，求a的值．(2)若，求的最小值． 23．已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： (1)______；若，______； (2)若a，b，c为三角形三边长，化简：． 24．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗?请根据上面的方法化简：(1)；(2)． 25．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中，，，均为正整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分（的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，且，，均为正整数，求的值； (2)请化简： 26．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______．(2)解方程：． 27．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以． (1)化简为_____． (2)根据上述方法化简：． 28．【观察发现】∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】（1）化简：________； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得________，________； （3）若，且，均为正整数，求的值； 【解决问题】（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）： 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 型号 长 宽 高 型 型 型 题型5：复合二次根式的化简（9题） 29．（1）；（2）. 30．先阅读再求值．在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；(2)计算：． 31．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题：(1)；(2)． 32．阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．(3)化简：． 33．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即．根据以上方法，求的值． 34．阅读下列材料回答问题：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，．(1)填空：______，______； (2)化简：①，②； (3)计算：． 35．先阅读材料，然后回答问题：小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 36．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题：(1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 37．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$