内容正文：
几何图形初步
1、 【考点聚焦】
· 立体图形和平面图形：
立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，它们是立体图形.
平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.
立体图形的展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
· 点、线、面、体：
①长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体；
②包围着体的是面.面有平的面和曲的面两种；
③面和面相交的地方形成线；
④线和线相交的地方是点.
· 两个基本事实：
①经过两点有一条直线，并且只有一条直线.（简称：两点确定一条直线.）
②两点的所有连线中，线段最短.（简称：两点之间，线段最短.）
· 角和角的度量：
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（angle），这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
角的度量：我们常用量角器两角，度、分、秒时常用的角的度量单位.
把一个周角分为360等份，每一份就是1度的角，记作1°；把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
一周角= °；一平角等于 °；1°= ′；1′= ″.
· 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
· 余角和补角：
余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角（complementary angle），简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角（supplementary angle），简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
· 余角和补角的性质：
①同角（等角）的余角相等.
②同角（等角）的补角相等.
· 正方体的平面展开图：11种
141（6种）：
231（3种）：
其他（2种）：
2、 【典例分析】
· 几何体及三视图：
1.左图是五个相同的小正方体搭成的几何体，从左边看到的平面图形是（ ）
2.有一些相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方块有（ ）
A.3块 B.4块 C.6块 D.9块
3.由个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如图所示，则的最大值是（ ）
A.18 B.19 C.20 D.21
4.如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体的名称分别为（ ）
A.圆锥、正方体、三棱锥、圆柱 B.圆锥、正方体、四棱锥、圆柱
C.圆锥、正方体、四棱锥、圆柱 D.正方体、圆锥、圆柱、三棱柱
5.下列图形中可以折成正方体的是（ ）
6.将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A B C D
7.一个正方体展开图如图所示，若相对面上标记的两个数均互为相反数，则xy的值为 _____．
8.把14个棱长为的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立方体，然后将露出的表面部分涂上油漆，若每平方厘米的面需要用5克油漆，请计算该几何体一共需要多少克油漆？
9.如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体．
（1）请在方格中画出该几何体的三个视图．
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体．
10.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式.被称为欧拉公式.请你观察下图中几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1） 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（）
面数（）
棱数（）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是 ；
（2） 一个多面体面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ；
（3）
某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值.
11.如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
（1）做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为 ，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为 ；（直接写出答案）
（2）做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
（3）做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
· 直线、射线和线段：
1.如图，给出的图形分别有直线、射线、线段，能相交的图形是（ ）
A B C D
2.如图，若，且D是AC的中点，则AC的长为 .
3.如图，D，E数次为线段AB上的两点，，C为AD的中点，则的值为 .
4.6条直线两两相交，最多有 个交点，最多将平面分割为 个部分.
5.在线段AB中插入一个点时，共有 条线段；在中间插入两个点时，共有 条线段；在中间插入三个点时，共有 条线段；当在中间插入个点时，共有 条线段；
6.观察下列图形，并阅读图形下面的文字，像这样的十条直线相交最多的交点个数有 个.
7.已知线段，点C在直线AB上，，则 .
8.已知线段AB，延长AB至C，使，反向延长AB至D，使，若，则的值为 .
9.如图，已知，点E，F分别是AB，CD的中点，且，求AB，CD的长.
10.如图，在平面内有A，B，C三点.
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于点B，C），连接AD；
（3）数数看，此时图中有多少条线段？
11.如图，已知线段，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长.
12.如图1，直线AB上有一点P，点M，N分别是PA，PB的中点，AB=16.
（1）若点P在线段AB上，且AP=10，求线段MN的长度；
（2）若点P在线段AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在线段AB上的位置无关；
（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，计算的值.
· 角：
1.下列语句正确的有（ ）
①有公共端点的两条线段组成的图形叫角； ②两条射线组成的图形叫角；
③角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形； ④射线OA和射线BO组成的图形叫角；
⑤由有交点的两条直线组成的图形叫角； ⑥直线是一个平角；
⑦一条射线是一个周角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（ ）
3.如图，A，O，B在一条直线上，∠AOC=∠BOC，若∠1=∠2，则图中互余的角共有（ ）
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
4.如图，AB是直线，O是AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，则图中与∠EOD互补的角有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.周末小明从家出发，骑车去位于自己家南偏东35°方位的人民公园游玩，那么他准备回家时，自己家位于他现在位置的（ ）方位
A.北偏西55° B.北偏西35° C.南偏东35° D.南偏西35°
6.如图，小明手持手电筒照向地面，手电筒发出的光线CO与地面AB形成了两个角，∠BOC＝8∠AOC，则∠BOC的度数是（ ）
A. 160° B. 150° C. 120° D. 20°
7.如图，∠AOB为直角，∠BOC＝20°，OD是∠AOB的平分线，则∠COD的度数为 _____．
8.如图，，射线OM，ON分别平分∠AOB与∠COD，若，则 .
9.小明晚上6时许外出购物，看手表上时针和分针的夹角是110°，接近7点时回家，发现时针和分针的夹角又是110°，问小明外出用了 分钟.
10.如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，求∠2的度数.
11.如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOC＝2∠BOD．
（1）当∠BOD＝20°时，求∠AOD度数；
（2）当∠AOD＝120°时，求∠BOD的度数．
10
12.如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
（1） 若∠ACE=40°，求∠DCB的度数；
（2） 若∠ACB=130°，求∠DCE的度数；
（3） 猜想∠ACB与∠DCE的度数之和是否为定值，并说明原因.
13.如图，，ON是的平分线，OM是的平分线.
（1）
求的度数；
（2）
若，求的大小.
14.（1）已知OD，OE分别是∠AOB，∠AOC的角平分线.
①如图1，若∠AOB与∠AOC互为补角，直接写出∠DOE的度数 ；
②如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，若∠DOC=20°，∠AOE=25°，求的度数；
（3）
如图3，，若，求的度数.
15.已知，过O作射线OC，设，将射线OC逆时针旋转一定的角度得到射线OD.
（1）
如图1，，则 °；
（2）
如图2，.
①直接写出与之间的数量关系；
②若OE平分，求与的数量关系.
16.如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在处，BC为折痕.
（1）图1中，若∠1=30°，则 ；
（2）如果在图2中改变∠1的大小，使的位置也随之改变，又将活页的另一边斜折过去，使BD边与重合，折痕为BE，那么∠CBE的度数是否会发生变化呢？请说明理由.
3、 【课后习题】
1.在下列几何体中，四棱锥是（ ）
A B C D
2.下列说法中，错误的是（ ）
A．圆柱、圆锥的底面都是圆
B．八棱柱有8条侧棱，10个面
C．由六个同样的正方形所组成的图形一定是正方体的展开图
D．直棱柱的侧面一定是长方形（包括正方形）
3.下列平面图形中能围成正方体的是（ ）
4.下列四个几何体，从正面和上面看，看到的相同，这样的几何体共有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5.如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体搭成，从正面看到的几何体的形状图是（ ）
6.如图是一个花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成这个花瓶表面的是（ ）
A B C D
7.用一个底面为的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是和的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
8.如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若∠BOC＝∠AOD，则∠BOC的度数为（ ）
A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°
9.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为和3，点C为线段AD的中点，且，则点C表示的数为（ ）
10.从学校操场某处看旗杆是北偏西70°，则从旗杆看该处是（ ）
A. 南偏西70° B.南偏东20° C.南偏西20° D.南偏东70°
11.小明星期天早上去找同桌去文化宫，路上小明看了一下手表刚好8:40，想到昨天刚学了角度，便和同桌讨论起8:40的时候时针和分针的夹角为多少度，请你帮助他们算一下，早上8:40时，时针与分针所成的角度为 .
12.星期天，小明下午4时到5时之间外出购买文具，离开家和回到家时，都发现时钟的时针与分针相互垂直，他外出的时间共 分钟.
13.从六边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线，它们将六边形分成 个三角形.
平面内两条直线最多有1个交点，三条直线最多3个交点，四条直线最多6个交点，…，那么，五条直线最多有 个交点，条直线最多 个交点.
14.某个正方体的展开图如图所示，各个面上分别标有1～6的不同数字，若将其围成正方体，则这个正方体相对的面上的数字之和最大是 ．
15.如图，OC是∠AOB的角平分线，∠BOD∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOC等于 °．
16.如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
17.如图：已知线段AB=16cm，点N在线段AB上，NB=3cm，M是AB的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）若在线段AB上有一点C，满足BC=10cm，求线段MC的长度．
18.已知线段AB，延长线段AB至点C，设BC=AB，延长线段BA到点D，使，点M是AD的中点，如果，求线段BD和AM的长度.
19.如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
20.21.随着我国轨道交通的飞速发展，高铁已成为我们前往各地的重要交通方式.在一条双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长，慢车长．正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点为原点，取水平向右为正方向画数轴，如图，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以22个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以18个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数．
（1）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少个单位长度？
（2）从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车恰好满足？
21.如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．
（1）这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）．
（2）的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纸盒容积
72
①请通过表格中的数据计算：_____，______；
②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______．
（3）若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）：
②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值．
22.如图，射线OC在∠AOE内部，OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB＝22°，∠DOE＝54°，则∠BOD＝ °；
（2）若∠AOE＝α，则用含α的代数式表示∠BOD＝ ；
（3）若∠AOE＝150°，∠COD＝2∠COB，求∠AOB的度数．
23.点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
24.如图，∠AOB＝150°，将一直角三角尺COD的顶点与O重合，∠COD＝30°，OM平分∠AOD，三角尺COD始终在∠AOB的内部（可以与OA，OB重合）．
（1）如图1，当OD在射线OB上时，求∠COM的度数：
（2）如图2，三角尺COD在∠BOM的内部，当OC平分∠BOM时，求∠BOD的度数；
25.（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC，BD为折痕，求∠CBD的度数；
（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC,BD为折痕，若，求∠CBD的度数；
（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若，请直接写出∠CBD的度数（用含的式子表示）.
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