北京市第三十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学试卷

2024—2025学年度第一学期北京市第三十五中学期中质量检测 初三数学 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分． 2．考试时间120分钟． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分．符合题意的选项只有一个） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 4. 二次函数的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 5. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图，内接于，连结接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ） x (单位：m) y (单位：m) 3.05 A. B. C. D. 8. 如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 10. 写出一个开口向上，且与y轴交点在x轴下方的抛物线的表达式：______． 11. 若多项式可以写成的形式，且，则的值可以是______，的值可以是______（写出一组符合条件的的值即可） 12. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为______． 13. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为__． 14. 某商品原来每件的售价为元，经过两次降价后每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同．设该商品每次降价的百分率为，则根据关系可列方程为______． 15. 如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为______． 16. 已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是______． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 三、解答题（共68分，第17—18题，每题5分，第19题6分，第20题6分，第21题5分，第22—24题，每题5分，第25—26题，每题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 解方程： 18. 已知，求代数式的值． 19. 数学课上，王老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于点C． 求作：的中点D． 同学们分享了如下四种方案： 方案一，连接，作的垂直平分线，交于点D． 方案二，过点O作的平行线，交于点D． 方案三，作的平分线，交于点D． 方案四，在射线上截取，使，连接，交于点D． 你选择的方案是 ，画出相应图形并证明． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程都有实数根； （2）m为何值时，方程有负数根． 21. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，结合函数图象，直接写出的取值范围． 23. 在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点A顺时针旋转得到． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）直接写出线段在变换到的过程中扫过的区域的面积．（结果保留） 24. 如图，是的外接圆，，连接交于点E，过点A作的平行线交延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求线段的长． 25. 如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm． 小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值； x/cm 0 1 2 3 4 5 y1cm 5 4.9 4 3 0 y2cm 4 3.32 2.47 1.4 0 3 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为　 　cm． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． （1）若，求t的值； （2）已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 27. 等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接． （1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时． ①按照要求补全图形； ②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明． （2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，． （1）在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 2024—2025学年度第一学期北京市第三十五中学期中质量检测 初三数学 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分． 2．考试时间120分钟． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分．符合题意的选项只有一个） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】（答案不唯一） 【11题答案】 【答案】 ①. ②. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】## 【16题答案】 【答案】①②⑤ 三、解答题（共68分，第17—18题，每题5分，第19题6分，第20题6分，第21题5分，第22—24题，每题5分，第25—26题，每题6分，第27题7分，第28题7分） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】21 【19题答案】 【答案】 解：①如图1，由作图可知，的垂直平分线经过圆心O， ∵， ∴点D是弧的中点； ②如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴点D是弧的中点； ③如图3， ∵， ∴点D是弧的中点； ④如图4，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴点D是弧的中点； 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴对于任意实数m，方程都有实数根； （2） 【21题答案】 【答案】直径的长为寸 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1） 解：连接， ， ∵，是的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【25题答案】 【答案】 （1）如下表所示： x/cm 0 1 2 3 4 y1/cm 5 4.9 4.58 4 3 y2/cm 4 3.32 2.47 1.4 0 （2） （3）4.6． 【26题答案】 【答案】（1） （2），理由 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点关于直线的对称点的坐标是， ∴． ∴． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∴． 【27题答案】 【答案】（1）①解：补图如图1， ②解：，证明如下； 如图2，延长 到，使得，连接，作，交于， ∴， ∵等边， ∴， 由旋转的性质可知， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：或，理由如下； 由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解； 当在的右侧时，如图3，连接， 由旋转的性质可知， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴在上， ∴； 当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接， 同理，是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图4，作于， ∴， 设，则，，， ∴，， 由勾股定理得， ， ， ∴； 综上所述，或． 【28题答案】 【答案】（1）和， （2） （3）n的最大值为，最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $