精品解析：上海市风华初级中学2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题

风华初级中学2024学年第一学期八年级数学学科期中考试试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： ①本试卷含三个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． ②除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 化简：，那么化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把式子分母有理化过程中，错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两个全等的三角形一定关于某点成中心对称 B. 周长相等的两个等边三角形全等 C. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根 D. 无法确定 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：__________． 8. 不等式的解集是________． 9. 比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 10. 若方程的两根之差的平方为48，则的值为________． 11. 若关于的方程有实根．则实数的取值范围是______． 12. 某商场三月份的销售额是100万元，计划五月份销售额达到121万元，若每个月的增长率都是，则可以列方程是________． 13. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________． 14. 二次三项式在实数范围内因式分解：________． 15. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 16. 如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积是____________________． 17. 等腰中，，点、点分别在边、边上，，设，，则与的数量关系是________． 18. 已知中，，，直线经过点，过点、分别作，，垂足为点、点，则垂线段、的长度与线段的长度满足的数量关系是________． 三、解答题：（本大题共9题，满分58分） 19. 计算：． 20. 化简求值：已知，求的值． 21. 解方程8（x+2）2＝（3x+1）2 22. 用配方法解方程： 23. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 24. 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 25. 已知：如图，中，平分交于点，且平分，联结并延长交边于点，说明的理由． 26. 求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 27. 如图，已知等边，直线，点为垂足，点是直线上的一个动点，线段绕点顺时针方向旋转60°得线段，联结、． （1）如图1，当点在线段上时，说明的理由； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，求的度数； （3）定义：有一个内角是的等腰三角形称作黄金三角形，联结，当是黄金三角形时，直接写出为______度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华初级中学2024学年第一学期八年级数学学科期中考试试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： ①本试卷含三个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． ②除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程”．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程不是整式方程，则此项不符合题意； B、方程整理为，是一元一次方程，则此项不符合题意； C、方程整理为，是一元二次方程，则此项符合题意； D、方程中当时，方程为，是一元一次方程，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 化简：，那么化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 把式子分母有理化过程中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意；   故选：C ． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∵， ∴   故选：D ． 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两个全等的三角形一定关于某点成中心对称 B. 周长相等的两个等边三角形全等 C. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义判断即可． 【详解】解：A．两个全等的三角形不一定关于某点成中心对称，原命题是假命题； B．周长相等的两个等边三角形边长相等，故全等，真命题． C．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，真命题． D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可知，可知一元二次方程根的情况． 【详解】解：， ∵a、b、c是三角形三边的长， ∴， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 8. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题关键是掌握解不等式的步骤，此题移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为： ． 9. 比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 10. 若方程的两根之差的平方为48，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，解题关键是牢记公司，本题根据以上知识，将变形为即可求解． 【详解】解：设方程的两个根分别为，， 由题意得， ∵， ∴， ∴， 此时符合题意； 故答案为： ． 11. 若关于的方程有实根．则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当=0时，方程为一元一次方程； 当k≠0时，方程是一元二次方程.分别求出k的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当=0时，方程为，有实根； 当k≠0时，方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式△=b2-4ac=4（k+1）2-4k2=8k+4≥0， 即， 且k≠0． 综合上述两种情况可知，当时，关于的方程有实根. 故答案是：. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．分类讨论是解题关键，此题很容易因考虑不周而出错． 12. 某商场三月份的销售额是100万元，计划五月份销售额达到121万元，若每个月的增长率都是，则可以列方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“+”，下降用“”． 可设平均增长率为，则四月份的营业额是，五月份的营业额是，则可以得到方程即可． 【详解】解：设平均增长率为． 根据题意得：， 故答案为：． 13. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________． 【答案】13 【解析】 【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案． 【详解】解：解方程可得或， 当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13； 当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去． 则此三角形的周长为13． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论． 14. 二次三项式在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键． 首先解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：当时， 解得：， 则． 故答案为：． 15. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 16. 如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积是____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=2，求b的值，即可求得正方形的面积． 【详解】解：根据图形和题意可得： （a+b）2=b（a+2b），其中a=2， 则方程是（2+b）2=b（2+2b）， 解得：b=(负值已舍)， 所以正方形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，解一元二次方程，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积． 17. 等腰中，，点、点分别在边、边上，，设，，则与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质，解题关键是正确进行角的转化，本题由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 18. 已知中，，，直线经过点，过点、分别作，，垂足为点、点，则垂线段、的长度与线段的长度满足的数量关系是________． 【答案】或  【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是发现全等三角形，本题证明即可求解． 【详解】解：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，同理可证； 故答案为：或 ． 三、解答题：（本大题共9题，满分58分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质、零指数幂进行计算，再合并即可． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 化简求值：已知，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再代入a,b即可求解． 【详解】 = = = = ∵ ∴原式= = =． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 21. 解方程8（x+2）2＝（3x+1）2 【答案】，． 【解析】 【分析】先去分母，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵8（x+2）2＝（3x+1）2，∴16（x+2）2＝（3x+1）2， ∴4（x+2）＝3x+1或4（x+2）＝﹣（3x+1）， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 22. 用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可． 【详解】解：， 系数化为1得：， 配方得：， 即：， 两边同时开平方得：， 即，． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系． 23. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 【答案】 解：有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程有两个不相等的实数根， ， ， 对于关于的方程， ， ， ∴，即， ∴方程一定有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 首先根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围，然后求出方程根的判别式，进而作出判断． 【详解】略 24. 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 【答案】与墙垂直的边的长为25 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并计算求解，本题根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设与墙垂直的边的长为x． ∴长为米， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：与墙垂直的边的长为25 ． 25. 已知：如图，中，平分交于点，且平分，联结并延长交边于点，说明的理由． 【答案】 ∵， ∴，        ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】由得，由平分得，可得，从而得，由平分可得，再根据证明，可得，从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质 ，角平分线的意义等知识，运用证明是解答本题的关键． 26. 求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 【答案】 已知：如图，是不等边的中线 求证：B点和C点到的距离相等． 证明：分别过 B点和C点作于，于， ∴ ∵是不等边的中线 ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴B点和C点到的距离相等． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是画出图形构造全等三角形，本题利用“”证明两个三角形全等即可． 【详解】略 27. 如图，已知等边，直线，点为垂足，点是直线上的一个动点，线段绕点顺时针方向旋转60°得线段，联结、． （1）如图1，当点在线段上时，说明的理由； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，求的度数； （3）定义：有一个内角是的等腰三角形称作黄金三角形，联结，当是黄金三角形时，直接写出为______度． 【答案】（1） ∵是等边三角形， ∴, ∵线段绕点顺时针方向旋转得线段， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即 ∴， ∴ ∴， ∴； （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质，证明，得出，即可得证； （2）同理证明，得出，根据邻补角相等，则，根据，即可求解； （3）根据题意分类讨论，分别画出图形，根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴,， ∵线段绕点顺时针方向旋转得线段， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问3详解】 由（1）可知，在的的垂线上运动， 如图，是黄金三角形时，当时，时， ∴， ∴， 如图，当点在点上方时，, 如图，当时， ， 如图，当点在的下方时，， 综上所述，当是黄金三角形时，为或或或． 故答案为： 或或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $