精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年上学期期中阶段性综合练习九年级数学试卷

河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度上期期中阶段性综合练习 九年级数学试卷 一、选择题．（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 3. 如图，将等腰直角三角尺ABC绕着点C顺时针旋转到A′B′C的位置，使点A，C，B′在同一条直线上，则旋转角的大小为（　　） A 45° B. 90° C. 120° D. 135° 4. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 若点，为函数图象上的两点，则 6. 下列命题中是真命题的为（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 圆的两条平行弦所夹的弧相等 D. 相等的圆周角所对的弧相等 7. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 半径为的圆的内接正六边形的边心距是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，点A，B，C均在6×6正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（　　） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_________． 12. 若抛物线中，无论m取何值都通过定点，则这个定点的坐标为________． 13. 若，则值为___________. 14. 如图，在中，＝，＝．将绕点逆时针旋转角后得到，当点的对应点落在边上时，阴影部分的面积为____． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是_____． 三、解答题．（共75分） 16. 解方程： （1） （2）． 17 如图，． （1）绕点_______逆时针旋转_______度得到； （2）画出绕原点O顺时针旋转90°的，直接写出点C2坐标_________；若内一点在的对应点为Q，则Q的坐标为_________．（用含m，n的式子表示） （3）在x轴上描出点M，使AM+BM最小，此时AM+BM=_________． 18. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是． （1）求点，，的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 20. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F. (1)求证：DF⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求弧BD的长(结果保留π)． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱销售不得高于72元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售500箱，价格每提高1元平均每天少销售10箱． （1）设每箱涨价x元，每天盈利y元，列出y与x的函数关系式． （2）若该批发商要盈利8750元，则每箱苹果的售价多少元？ （3）当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中， 当，，三点在同一直线上时，求的长． 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长． （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长． 23. 正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； （2）如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． （3）在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度上期期中阶段性综合练习 九年级数学试卷 一、选择题．（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可． 【详解】A、，没有给出a的取值，所以A选项错误； B、不含有二次项，所以B选项错误； C、是一元二次方程，所以C选项正确； D、不是整式方程，所以D选项错误．故选C． 考点：一元二次方程的定义． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键． 3. 如图，将等腰直角三角尺ABC绕着点C顺时针旋转到A′B′C的位置，使点A，C，B′在同一条直线上，则旋转角的大小为（　　） A. 45° B. 90° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠BCB′=180°−45°=135°， ∵等腰直角三角尺ABC绕着点C顺时针旋转到A′B′C的位置， ∴∠BCB′等于旋转角， 即旋转角为135°. 故选：D． 4. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． 每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有人感染,则经过第二轮有 人被感染,根据两次一共有100被感染即可列出方程． 【详解】解：由题可知． 故选：A． 5. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 若点，为函数图象上的两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断CD． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，即，选项A不正确； 抛物线的对称轴是直线， ，选项B不正确； 点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当抛物线与轴交点为时，，选项C不正确； 关于直线的对称点坐标为， 当时，随的增大而减小，， ，选项D正确； 故选：D． 6. 下列命题中是真命题的为（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 圆的两条平行弦所夹的弧相等 D. 相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】判断命题的真假关键是要熟悉课本中圆的性质定理，即可依次判断，选出正确答案． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够相互重合的两条弧是等弧，故本小题命题是假命题，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本小题命题是假命题，不符合题意； C、圆的两条弦平行时，对两条弦的端点交叉连线，形成的内错角相等，即两条平行弦所夹的弧的圆周角相等，故圆的两条平行弦所夹的弧相等，是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故选C． 8. 半径为的圆的内接正六边形的边心距是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H．根据圆内接正六边形的性质，即可证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理，即可解出正六边形边心距． 【详解】如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H， ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴，OA=OB=AB=a，AH=BH=， ∴ OH即为正六边形边心距． 故选C 【点睛】本题考查圆内接正六边形的性质．了解圆的半径即为正六边形的边长是解本题的关键． 9. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在上时，点D的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明是等边三角形，则，，如图，过作轴于，则，，则，，由勾股定理得，，进而可求点D的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作轴于，则， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴点D的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，点坐标等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，点坐标是解题的关键． 10. 如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的作法，先做出过A，B，C三点的△ABC的外接圆，从而得出答案． 【详解】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的△ABC的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为a，则根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12. 若抛物线中，无论m取何值都通过定点，则这个定点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断． 把含m的项合并，只有当m的系数为0时，不管m取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标． 【详解】解：∵ ∴ ∴当时，；且与m的取值无关； 故不管m取何值时都通过定点． 故答案为：． 13. 若，则的值为___________. 【答案】2. 【解析】 【分析】因为，所以，即可转化为，解方程即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴, 解得：(舍去) 故x=2. 【点睛】本题考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，正确理解题意是解题基础. 14. 如图，在中，＝，＝．将绕点逆时针旋转角后得到，当点的对应点落在边上时，阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】证明三角形是等边三角形即可得到旋转角的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及的两直角边长，进而得出图形面积即可． 【详解】解：如图所示，设交于点， ，且， 是等边三角形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则阴影部分的面积为： 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形面积，扇形面积以及勾股定理应用，解题的关键是灵活运用以上知识并保证计算正确． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是_____． 【答案】﹣3≤m≤﹣2.5． 【解析】 【分析】如图，将阴影区域绕着点O顺时针旋转90°，与直线x＝2交于C，D两点，则点A（2，m）在线段CD上，结合点C,D纵坐标，即可求出m的取值范围. 【详解】如图，将阴影区域绕着点O顺时针旋转90°，与直线x＝2交于C，D两点，则点A（2，m）在线段CD上， 又∵点D的纵坐标为﹣2.5，点C的纵坐标为﹣3， ∴m的取值范围是﹣3≤m≤﹣2.5， 故答案为﹣3≤m≤﹣2.5． 【点睛】考查旋转的性质，根据旋转的性质，画出图形是解题的关键. 三、解答题．（共75分） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程． 用十字相乘法分解因式可得，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的两个根； 用提公因式法分解因式可得，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的两个根． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 17. 如图，． （1）绕点_______逆时针旋转_______度得到； （2）画出绕原点O顺时针旋转90°的，直接写出点C2坐标_________；若内一点在的对应点为Q，则Q的坐标为_________．（用含m，n的式子表示） （3）在x轴上描出点M，使AM+BM最小，此时AM+BM=_________． 【答案】（1）A，90；（2）作图见解析，，；（3）5 【解析】 【分析】（1）观察图形，利用旋转性质解决； （2）分别将三个顶点绕原点O顺时针旋转90°，顺次连接即可； （3）将沿着x轴对称至，连接，与轴交于点，即可求得结果． 【详解】（1）由图中可知：，所以绕点A逆时针旋转90度得到； （2）作图如图所示，则，由题意； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值为的长度，，故的最小值为5． 【点睛】本题考查了旋转的性质与作图方法，以及轴对称最短路径问题，解题关键是熟练掌握基本知识，灵活进行推理计算． 18. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 【答案】解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0． 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值． 【详解】(1)∵方程有实数根， ∴△=22−4(k+1)≥0， 解得k ≤0 故k的取值范围是k≤0． (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=−2,=k+1， −=−2−(k+1) 由已知,得−2−(k+1)<−1，解得k>−2 又由(1)k≤0， ∴−2<k≤0 ∵k为整数， ∴k的值为−1或0． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点．点的坐标是． （1）求点，，坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1），，，当时，； （2）平移后抛物线的解析式为． 【解析】 【分析】（）把点坐标代入抛物线的解析式即可求出的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点的坐标，二次函数的图象在轴上方的部分对应的的范围即为当时的取值范围； （）先由点和点的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可； 本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得：， ∴， ∴， 由得，当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，两点关于直线对称， ∴， ∴根据图象可知：当时，； 【小问2详解】 解：由（）知：，， ∴点平移到点，抛物线应向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后抛物线的解析式为． 20. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F. (1)求证：DF⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求弧BD的长(结果保留π)． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC； （2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论． 试题解析：（1）证明：连接OD，如图所示． ∵DF是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90° ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∴∠CFD=∠ODF=90°， ∴DF⊥AC． （2）解：∵∠CDF=30°， 由（1）得∠ODF=90°， ∴∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60° ∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴BD弧的长= 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱销售不得高于72元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售500箱，价格每提高1元平均每天少销售10箱． （1）设每箱涨价x元，每天盈利y元，列出y与x的函数关系式． （2）若该批发商要盈利8750元，则每箱苹果的售价多少元？ （3）当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）65元 （3）当每箱售价为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 【解析】 【分析】（1）依据题意，易得出平均每天销售量与涨价x元之间的代数式为箱，然后根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的盈利y（元与涨价x元之间的函数关系式即可； （2）令代入（1）的函数解析式，进行计算，注意售价不能高于72元这个条件，即可作答． （3）根据（1）所给，化为顶点式，运用二次函数的图象性质，即可作答． 此题考查了二次函数的性质，以及二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：， 【小问2详解】 解：依题意，把代入， 则， ∴， 则 则（故舍去），， ∴则每箱苹果的售价65元； 【小问3详解】 解：由（1）得出， ∴， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则（元）， ∴当每箱售价为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 22. 如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中， 当，，三点在同一直线上时，求的长． 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长． （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长． 【答案】（1）①或；②或； （2）． 【解析】 【分析】当，，三点在同一直线上时，分点在上和点在的延长线上，两种情况计算；当，，三点为同一直角三角形的顶点时，分为直角边和为斜边两种情况计算； 连接，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得． 【小问1详解】 解：当，，三点在同一直线上时， 若点在的延长线上， 则， 若点在上， 则， 综上所述的长为或； 当，，三点为同一直角三角形的顶点时， 若为直角边， 则， 若为斜边， ， 综上所述当，，三点为同一直角三角形的顶点时，的长为或； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； （2）如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． （3）在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 【答案】（1），，理由见解析 （2）或 （3）30 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）如图1中，证明，可得结论； （2）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于，利用勾股定理求出，可得结论； （3）连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则，由可得当，最大，最后根据求解即可． 【小问1详解】 结论：，，理由如下： 如图1中，设交于点，交于点， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ， ， ， ， 如图中，当，，共线时，连接交于． 同法可得，可得， 综上所述，满足条件的的长为或； 【小问3详解】 解：如图1中，连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则， 四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ，当，，三点共线时最大， 此时由，即，此时与重合，最大， ∵ ∴当时最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$