精品解析：湖南省益阳市安化县第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024年下学期高二期中考试试卷 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用集合的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以或. 故选：D 2. 已知直线，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若“”， 则m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=−1，或m=−2 故“”是“”的充分不必要条件， 故选A 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 4. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 5. 设直线l的斜率为k，且，求直线l的倾斜角的取值范围 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围. 【详解】直线l的斜率为k，且， ∴，. ∴. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题. 6. 一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆位置关系分析可得，结合椭圆的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 因为，可知圆与圆内切于点， 显然圆心不能与点重合，设圆的半径为， 由题意可知：，则， 可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外）， 且，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 7. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（ ） A. 1 B. 2 C. 13 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：B 8. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出． 【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则 ， 则， ， 的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号． 的周长最大值等于18． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由 求解判断；B. 利用空间向量的数量积运算求解判断； C. 由是否为零判断；D. 由与AC的夹角的余弦值判断. 【详解】A.因为， 所以 ， ， ，故正确； B. 因为， 所以， 所以，故正确； C. 因为， 所以，又，所以平面，故正确； D. 由题意知：与平面上的射影为AC，则与AC的夹角即为所求， 而，故错误. 故选：ABC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为，故A对； 因为，且，则P，A，B，C四点共面， 因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对； 是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线， 所以也是空间的一组基底，故C对； 因为直线的方向向量为平面的法向量， 且，则直线或，故D错； 故选：ABC 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ） A. C的方程为 B. 在x轴上存在异于的两定点，使得 C. 当三点不共线时，射线是的平分线 D. 在C上存在点M，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】设点，根据求出的轨迹方程可判断A；假设在x轴上存在异于的两定点使得，设，根据、点P的轨迹方程求出可判断B；由利用余弦定理可判断C；设，由、点M在C上解得无实数解可判断D. 【详解】设点，则，化简整理得， 即，故A错误； 假设在x轴上存在异于的两定点， 使得.设，则， 化简整理得， 由点P的轨迹方程为得， 解得或，因为点异于点，所以， 所以假设成立，故B正确； 由于， 只需证明， 即证， 化简整理得，又， 则 ，则，故C正确； 设，由得， 整理得①， 又点M在C上，故满足②，联立①②，解得无实数解，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分15 分 12. 设复数满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，，利用复数的除法运算可化简得到，利用模长公式即得解 【详解】由题意， 故答案为：2 13. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米． 【答案】8 【解析】 【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度. 【详解】 画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得； 旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为. 所以答案为 8. 14. 已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别为，，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，求出，再由圆的性质可得的取值范围． 【详解】由题意可知，，半径为2，直线，， 因为直线，与圆相切， 所以，， 两边同时平方整理可得， ， 所以，是方程 的两个不相等的实数根，所以．又， 所以，即，则； 又， 根据圆的性质可得， 所以， 即． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求解定点到圆上动点距离的最值问题时，一般需要先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果；也可根据圆的参数方程，结合三角函数的性质求解. 四、解答题：本题共5小题，满分87分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15. （1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出角，再求角即可； （2）由余弦定理结合题设条件求出，即可求得的面积. 【详解】（1）因，则，由余弦定理，， 因，则，； （2）由余弦定理，，代入整理得， 因则，解得， 故的面积为 16. “山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题： （1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率. 【答案】（1），平均值为93分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率之和可得的值，从而可估计样本数据的平均数； （2）结合古典概型运算公式，列举基本事件总数和符合条件的事件总数即可得所求概率问题. 【小问1详解】 由， 得. 观看时长在：频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中平均值为93分. 【小问2详解】 由题意可知，观看时长在的人数为（人）， 在的人数为（人）. 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在内抽2人，分别记为，， 需在内抽3人，分别记为，，. 设“从样本中任取2人，至少有1人在内”为事件， 则样本空间 共包含10个样本点，而的对立事件包含3个样本点， 所以，. 即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为. 17. 已知圆，直线. （1）求证直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1）证明：直线，可化为， 联立，解得． 故直线恒过定点． （2）；最短弦长为4 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，列方程组，求得定点坐标，即可得证； （2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为求出直线斜率，由两点间的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 圆，圆心，半径 设，则点在圆内，故当直线时，直线被圆截得的弦长最短． 因为直线的斜率为． 故直线的斜率为，解得． 此时圆心到直线的距离为， 所以最短弦长为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，，如图所示： ∵M为棱的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面. （2） ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面，又平面， ∴； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明四边形是平行四边形，得得证； （2）根据面面垂直的性质定理证明平面即可； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∴， 因为，， ∴以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即. 令，则，．所以平面的一个法向量为， 易知为平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）（2）过定点 【解析】 【分析】（1）由点M（﹣1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a＝2，b，由此能求出椭圆C的标准方程． （2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x0＝1，从而直线PQ过（1，0）．由此能求出直线PQ过定点（1，0）． 【详解】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是， 可得， 可解得： 故椭圆的标准方程为. （2）设点的坐标分别为， （ⅰ）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，， （ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得：， 由，有， 由韦达定理得：，， 故，可得：， 可得：， 整理为：， 故有， 化简整理得：，解得：或， 当时直线的方程为，即，过定点不合题意， 当时直线的方程为，即，过定点， 综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过定点. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期高二期中考试试卷 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设直线l的斜率为k，且，求直线l的倾斜角的取值范围 A. B. C. D. 6. 一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（ ） A. 1 B. 2 C. 13 D. 26 8. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 与平面所成角的余弦值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ） A. C的方程为 B. 在x轴上存在异于的两定点，使得 C. 当三点不共线时，射线是的平分线 D. 在C上存在点M，使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分15 分 12. 设复数满足，则______． 13. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米． 14. 已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别为，，且，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，满分87分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15. （1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积. 16. “山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题： （1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率. 17. 已知圆，直线. （1）求证直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，，求二面角的余弦值. 19. 已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $